第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶八中高二（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋擲同一枚硬幣兩次，若事件A=“至少有一次正面朝上”，則事件A?=(

)A.兩次均正面朝上 B.至多有一次正面朝上

C.兩次均反面朝上 D.至少有一次反面朝上2.甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，則兩人拋出的點數之和為4的概率為(

)A.16 B.112 C.1183.函數f(x)=2x?3ex(x?1)A. B.

C. D.4.兩雙不同的鞋，其中一雙的兩只記為a左，a右.另一雙的兩只記為b左，b右.從中隨機取出2只，記事件A=“取出的鞋不成雙”；B=A.A包含于B B.P(A?B)=13 C.A與5.過原點的直線與f(x)=lnx+2及g(x)=ex+a的圖象都相切，則實數a的值為A.0 B.1 C.e D.16.正項數列{an}的前n項和為Sn，首項a1=1，已知函數A.120 B.125 C.57 D.2477.定義在(0,π2)上的函數f(x)的導函數為f′(x),?x∈(0,π2)A.2f(π6)<f(π4) 8.已知橢圓x29+y225=1和雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)有公共焦點F1，F2A.32 B.145 C.52二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績(單位：厘米)如下：

甲組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263

乙組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252

則下列說法正確的是(

)A.甲組數據的第75百分位數是255

B.乙組數據的眾數是245

C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在248.5厘米以上的概率為740

D.10.橢圓C：x24+y22=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上，圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓O的一條直徑(M在第一象限)A.若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為233

B.若∠F1PF2=90°，則直線PF2被橢圓C截得的弦長為23

11.定義域為R的函數f(x)的導函數記為g(x)，g(x)的導函數為g′(x)，若g′(32?2025x)為奇函數，f(3A.g′(2025)=0 B.f(34)=g(34)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過F傾斜角為45°的直線與C交于A，B兩點，且|AB|=8，則p=______．13.若函數f(x)=ex+1?a(x+2)有兩個零點，則實數a14.(1+mx2)cosx≤1對?x∈[0,π2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記Sn是公差大于0的等差數列{an}的前n項和，a1=1，且a3，a5+1，a13?1成等比數列．

(1)求an和Sn16.(本小題15分)

某中學高二年級舉行了一次知識競賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績x(單位：分，得分取正整數，滿分為100分)作為樣本進行統計，將成績進行整理后，分為六組(如圖)：

(1)求m的值，并估計本次競賽成績的平均分．

(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績為[70,80)和[80,90)的學生中共抽取6人，再從6人中選2人，求2人中有來自[80,90)組的學生的概率．

(3)某老師在此次競賽成績中抽取了6名學生的分數：x1，x2，x3，x4，x5，x6，已知這6個分數的平均數x?=85，標準差s=5，若再抽取兩名分數分別為17.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等，D，E，F，G是棱AC，CC1，B1C1，AA1的中點，C1D⊥平面ABC．

18.(本小題17分)

已知函數f(x)=lnx+x2+ax，a∈R．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若當x∈(12,34)時，f(x)存在極大值，求實數19.(本小題17分)

雙曲線Ei：25x2?my2=ai2(ai>0,i=1,2,?,n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l2均過原點，且分別與E1，E2，?，En的右支交于點A1，A2，?，An和點B1，B2，?，Bn．

(1)求實數m的值；

(2)作斜率為k的過原點的直線l(異于l1，l2)與E1，E2，?，參考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.A

6.A

7.C

8.B

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.2

13.(1,+∞)

14.(?∞,115.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，則d>0，

因為a3，a5+1，a13?1成等比數列，

所以(1+4d+1)2=(1+2d)×(1+12d?1)，

解得d=1或d=?12(舍)，

所以an=1+n?1=n，Sn=n(n+1)2=n2+n2；

(2)證明：由上問得Sn=n(n+1)2，因為bnSn=12，

所以bn×n(n+1)2=12，則bn=1n(n+1)=1n?1n+1，

得到Tn=1?12+12?13+…+1n?1n+1=1?1n+1，

因為n>0，所以1n+1>0，得到1?1n+1<1，即Tn<1得證．

16.解：(1)根據題意可得10×(0.010+m+0.025+0.030+m+0.005)=1，解得m=0.015，

所以平均數估計為x?=10×(0.010×45+0.015×55+0.025×65+0.030×75+0.015×85+0.005×95)=69分；

(2)若從樣本成績為[70,80)和[80,90)的學生中共抽取6人，

且成績在[70,80)的人數為6×0.30.3+0.15=4人，

在[70,80)的人數為6×0.150.3+0.15=2人，

即從[70,80)的學生中取4人，從[80,90)中取2人，

設這6名學生分別為1，2，3，4，5，6，2人中有來自[80,90)組的學生的概率為P，

則基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15種基本事件，

符合條件的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9種，

故2人中有來自[80,90)組的學生的概率為915=35．

(3)因為這6個分數的平均數x?=85，標準差s=5，

所以這6個分數的平均數為85×6+82+888=85分，s2=25，

則16i=16(xi?85)2=25，解得i=16(xi?85)2=150，

設新的方差為s12=18[i=16(xi?85)2+(82?85)2+(88?85)2]=18[150+9+9]=21．

17.(1)證明：因為三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等，

所以不妨設棱長為4，則AB=AC=BC=CC1=A1C1=4，

得到△ABC是等邊三角形，因為D是AC的中點，

所以DB⊥AC，且C1D⊥平面ABC，

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，

因為C1D⊥平面ABC，所以C1D⊥AC，

因為D，E，F，G是棱AC，CC1，18.解：(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x，

令g(x)=2x2+ax+1，x>0，對稱軸為：x=?a4，

當x=?a4>0時，即a<0，

若Δ=a2?8≤0，即?22≤a<0，此時g(x)>0，即f′(x)>0恒成立，

此時f(x)的單調增區間是(0,+∞)，無減區間；

若Δ=a2?8>0，即a<?22，拋物線開口向上，與x軸有兩個交點；

令2x2+ax+1=0，可得：0<x1=?a?a2?84<x2=?a+a2?84，

此時在(0,?a?a2?84)，g(x)>0，即f′(x)>0，

在(?a?a2?84,?a+a2?84)，g(x)<0，即f′(x)<0，

在(?a+a2?84,+∞)，g(x)>0，即f′(x)>0，

所以f(x)的單調遞增區間：(0,?a?a2?84)和(?a+a2?84,+∞)，

單調遞減區間：(?a?a2?84,?a+a2?84)；

當x=?a4≤0，即a≥0時，g(0)=1>0，所以g(x)>0，即f′(x)>0恒成立，

此時f(x)的單調增區間是(0,+∞)，無減區間；

綜上所述：a≥?22時，單調增區間是(0,+∞)，無減區間；

當a<?22時，單調遞增區間：(0,?a?a2?84)和(?a+a2?84,+∞)，單調遞減區間：(?a?a2?84,?a+a2?84)；

(2)由(1)可知，若x∈(12,?34)時，f(x)存在極大值，

結合(1)中單調性知：

需滿足12<?a?a2?84<34a<?22，解得?3<a<?22，

所以實數a的取值范圍