函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第3講函數(shù)的奇偶性與周期性【考綱導學】1．結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有___________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于______對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有_____________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于______對稱f(－x)＝f(x)

y軸f(－x)＝－f(x)

原點2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有_____________，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_____________，那么這個__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正數(shù)最小正數(shù)5．(教材習題改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R內的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x<0時，f(x)＝________.【答案】x(1－x)【解析】當x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)．∴當x＜0時，f(x)＝x(1－x)．1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數(shù)奇偶性判定時，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(

)(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(

)(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．(

)(4)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函數(shù)．(

)(5)若T為函數(shù)f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√課堂考點突破2函數(shù)奇偶性的判斷【規(guī)律方法】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．【跟蹤訓練】1.設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(

)A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【答案】C【解析】依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯．函數(shù)的周期性函數(shù)性質的綜合應用【考向分析】函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調性是函數(shù)的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數(shù)相結合，并以結合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．常見的考向有：(1)奇偶性的應用；(2)單調性與奇偶性結合；(3)周期性與奇偶性結合；(4)單調性、奇偶性與周期性結合．【答案】(1)C

(2)B【解析】因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R內的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R內是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故選D．【規(guī)律方法】函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題策略：(1)單調性與奇偶性結合．注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．(3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．課后感悟提升31條規(guī)律——奇、偶函數(shù)定義域的特點奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱．函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件.2個性質——奇、偶函數(shù)的兩個性質(1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3條結論——與周期性和對稱性有關的三條結論(1)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(