2025屆上海市長征中學高三零模數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上都存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．6．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．7．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．11．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為________.14．某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數(shù)量情況，隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數(shù)，得到如下莖葉圖：由此可估計，全年（按360天計算）中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點比乙景點多______天.15．已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C的離心率為________.16．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是，（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線l與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若，時，在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．20．（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．21．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為的中點，為上的動點（不與重合）求二面角的正切值的最小值22．（10分）已知拋物線，直線與交于，兩點，且.（1）求的值；（2）如圖，過原點的直線與拋物線交于點，與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點，證明：直線過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價于，因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.2．B【解析】

求出，把坐標代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值．3．C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).4．B【解析】

設(shè),則,可得,即可得到,進而找到對應的點所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為,在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在象限,考查復數(shù)的模,考查運算能力.5．A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．6．B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.7．A【解析】

根據(jù)復數(shù)乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題題.8．C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項A，B；又∵當時，，故選：C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應用，屬于中檔題.10．D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.11．D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質(zhì).12．C【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

注意平移是針對自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎(chǔ)題.14．72【解析】

根據(jù)給定的莖葉圖，得到游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，進而求得全年中，甲景點比乙景點多的天數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)給定的莖葉圖可得，在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數(shù)中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點共有7天，乙景點共有3天，所以在全年）中，游客人數(shù)在內(nèi)時，甲景點比乙景點多天.故答案為：.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用，其中解答中熟記莖葉圖的基本知識，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應用,考查分類討論思想.16．【解析】

設(shè)，，，，由，，，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點，連結(jié)，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點，連結(jié)，，，，，為直角，，平面，平面，∴面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可取為平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量為.則，其中，，不妨取，則..為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18．（1）（2）【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解；（2）設(shè)直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB（不含端點）相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,因為線段AB的中點是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當,即時,，因此四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應用,考查運算能力.19．（1）（2）見解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價于在恒成立，分離參數(shù)即可解決.(2)先對求導，化簡后根據(jù)零點存在性定理判斷唯一零點所在區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），時，，，∵在上單調(diào)遞減．∴，．令，，時，；時，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）若，，時，，，令，顯然在上為增函數(shù)．又，，∴有唯一零點．且，時，，；時，，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴．又，∴，，．∴．，．∴當時，．【點睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào)，和零點存在性定理等知識點，難點為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域，屬于較難題目.20．直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程，進一步利用點到直線的距離的應用求出直線和圓的位置關(guān)系．【詳解】直線為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為．圓轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為，轉(zhuǎn)換為標準形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系式的應用，點到直線的距離公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．21．（1）見解析（2）【解析】

（1）推導出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，設(shè)，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當余弦值取得最大時，正切值求得最小值；【詳解】（1）因為，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，則，設(shè)，則平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為則，即，令，如圖二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角為，則，時取得最大值，最大值為，則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.22．（1）；（2）見解析