2025屆安徽省定遠爐橋中學高中畢業生四月調研測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．2．設雙曲線的右頂點為，右焦點為，過點作平行的一條漸近線的直線與交于點，則的面積為（）A． B． C．5 D．63．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為點，延長交橢圓于點，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．5．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．6．著名的斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40407．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若實數滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．29．已知集合，，則A． B．C． D．10．命題：存在實數，對任意實數，使得恒成立；：，為奇函數，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．11．已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．12．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，則________.14．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.16．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（）的檢測數據，結果統計如下：空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數61418272510（1）從空氣質量指數屬于，的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；（2）已知某企業每天的經濟損失（單位：元）與空氣質量指數的關系式為，試估計該企業一個月（按30天計算）的經濟損失的數學期望.18．（12分）已知正數x，y，z滿足xyzt（t為常數），且的最小值為，求實數t的值.19．（12分）設數列，其前項和，又單調遞增的等比數列，，.(Ⅰ)求數列，的通項公式；(Ⅱ)若，求數列的前n項和，并求證：.20．（12分）已知函數，.（1）求證：在區間上有且僅有一個零點，且；（2）若當時，不等式恒成立，求證：.21．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數，.（1）設，求函數在上的零點個數；（2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.22．（10分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸的路程為S（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

設，延長至，使得，連，可證，得到（或補角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.2．A【解析】

根據雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標，再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中：，因此右頂點的坐標為，右焦點的坐標為，雙曲線的漸近線方程為：，根據雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點作平行的一條漸近線的直線與交于點，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點的坐標是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用，考查了兩直線平行的性質，考查了數學運算能力.3．B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.4．B【解析】

設，則，，因為，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設，則，在中，易得，所以，解得（負值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．5．C【解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.6．D【解析】

計算，代入等式，根據化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.7．A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系．通過數量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉化成或的二次函數，利用二次函數的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線，設點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉化與化歸思想的運用．8．C【解析】

作出可行域，直線目標函數對應的直線，平移該直線可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．9．D【解析】

因為，，所以，，故選D．10．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據含有邏輯聯結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.11．A【解析】

過作與準線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應最大，此時與拋物線相切，再用判別式或導數計算即可.【詳解】過作與準線垂直，垂足為，，則當取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及到拋物線的定義，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.12．D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.14．164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.15．【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示長方體對角線長為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎題.16．【解析】

取的中點，連接，，取的中點，連接，，，直線與所成的角為，計算，，根據余弦定理計算得到答案。【詳解】取的中點，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，，，因為，所以直線與所成的角為，設，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）9060元【解析】

(1)根據古典概型概率公式和組合數的計算可得所求概率；(2)任選一天，設該天的經濟損失為元，分別求出，，，進而求得數學期望，據此得出該企業一個月經濟損失的數學期望.【詳解】解：（1）設為選取的3天中空氣質量為優的天數，則.（2）任選一天，設該天的經濟損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業一個月的經濟損失的數學期望為（元）.【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數的計算及數學期望，屬于基礎題.18．t＝1【解析】

把變形為結合基本不等式進行求解.【詳解】因為即，當且僅當，，時，上述等號成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，利用基本不等式求解最值時要注意轉化為適用形式，同時要關注不等號是否成立，側重考查數學運算的核心素養.19．（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當時，，當時，，當時，也滿足，∴，∵等比數列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，顯然數列是遞增數列，∴，即.）20．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用求導數，判斷在區間上的單調性，然后再證異號，即可證明結論；（2）當時，不等式恒成立，分離參數只需時，恒成立，設（），需，根據（1）中的結論先求出，再構造函數結合導數法，證明即可.【詳解】（1），令，則，所以在區間上是增函數，則，所以在區間上是增函數.又因為，，所以在區間上有且僅有一個零點，且.（2）由題意，在區間上恒成立，即在區間上恒成立，當時，；當時，恒成立，設（），所以.由（1）可知，，使，所以，當時，，當時，，由此在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以.又因為，所以，從而，所以.令，，則，所以在區間上是增函數，所以，故.【點睛】本題考查導數的綜合應用，涉及到函數的單調性、函數的零點、極值最值、不等式的證明，分離參數是解題的關鍵，意在考查邏輯推理、數學計算能力，屬于較難題.21．（1）個；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設，對其求導，及最小值，從而得到的解析式，進一步求值域即可；（1）分別對和兩種情況進行討論，得到的解析式，進一步構造，通過求導得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設，結合與在上圖象可知，這兩個函數的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設存在實數，使得對恒成立，則，對恒成立，即，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設，令，得遞增；令，得遞減，∴，當即時，，∴，∵，∴4．故當時，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．