2024高一數學新教材必修1教案學案-專題3.2-函數的基本性質?一、教學目標1.知識與技能目標理解函數單調性的概念，能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性。掌握用定義證明函數單調性的一般步驟。2.過程與方法目標通過對函數單調性定義的探究，培養學生觀察、分析、歸納和抽象概括的能力。通過用定義證明函數單調性，讓學生體會邏輯推理的嚴謹性，提高學生的推理論證能力。3.情感態度與價值觀目標通過自主探究與合作交流，讓學生體驗數學發現和創造的過程，培養學生的學習興趣和創新意識。在解決問題的過程中，培養學生的耐心和毅力，增強學生學好數學的信心。二、教學重難點1.教學重點函數單調性的概念。用定義證明函數單調性的方法。2.教學難點對函數單調性概念的理解，特別是對"任意""都有"等關鍵詞的把握。用定義證明函數單調性時，如何通過作差、變形、定號來得出結論。三、教學方法講授法、討論法、探究法相結合四、教學過程（一）導入新課1.展示圖片：展示氣溫隨時間變化的圖象、股票價格隨時間變化的圖象等。2.提出問題：觀察這些圖象，你能發現它們有什么變化趨勢？引導學生觀察圖象的上升或下降趨勢，從而引出函數單調性的概念。（二）講解新課1.函數單調性的概念結合導入時展示的圖象，給出函數單調性的直觀定義：在函數\(y=f(x)\)的定義域內的一個區間\(A\)上，如果對于任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當\(x_1<x_2\)時，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就說函數\(y=f(x)\)在區間\(A\)上是增函數（increasingfunction）；如果對于任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當\(x_1<x_2\)時，都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就說函數\(y=f(x)\)在區間\(A\)上是減函數（decreasingfunction）。強調幾個關鍵詞："任意""都有"，讓學生理解這兩個詞在定義中的重要性。舉例說明：對于函數\(y=2x+1\)，當\(x_1<x_2\)時，\(f(x_1)=2x_1+1\)，\(f(x_2)=2x_2+1\)，則\(f(x_2)f(x_1)=2(x_2x_1)>0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)，所以\(y=2x+1\)在\(R\)上是增函數。對于函數\(y=x^2\)，當\(x_1<x_2\leqslant0\)時，\(f(x_1)=x_1^2\)，\(f(x_2)=x_2^2\)，\(f(x_2)f(x_1)=(x_2^2x_1^2)=(x_2x_1)(x_2+x_1)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)，所以\(y=x^2\)在\((\infty,0]\)上是增函數；當\(0\leqslantx_1<x_2\)時，\(f(x_2)f(x_1)=(x_2^2x_1^2)<0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)，所以\(y=x^2\)在\([0,+\infty)\)上是減函數。2.用定義證明函數單調性的步驟設\(x_1\)，\(x_2\)是給定區間內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。作差\(f(x_2)f(x_1)\)。對\(f(x_2)f(x_1)\)進行變形，通常是因式分解、配方等，將其化為易于判斷正負的形式。定號：根據給定區間以及\(x_1\)，\(x_2\)的大小關系，確定\(f(x_2)f(x_1)\)的正負。下結論：若\(f(x_2)f(x_1)>0\)，則函數在該區間上是增函數；若\(f(x_2)f(x_1)<0\)，則函數在該區間上是減函數。以函數\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上的單調性為例進行證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。作差\(f(x_2)f(x_1)=x_2^2x_1^2=(x_2x_1)(x_2+x_1)\)。因為\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_2+x_1>0\)，又\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)。則\(f(x_2)f(x_1)=(x_2x_1)(x_2+x_1)>0\)。所以\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上是增函數。（三）例題講解例1.證明函數\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函數。證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_2)f(x_1)=(3x_2+2)(3x_1+2)=3(x_2x_1)\)。因為\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，則\(3(x_2x_1)>0\)，即\(f(x_2)f(x_1)>0\)。所以函數\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上是增函數。例2.判斷函數\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性，并證明。解：函數\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數。證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_2)f(x_1)=\frac{1}{x_2}\frac{1}{x_1}=\frac{x_1x_2}{x_1x_2}\)。因為\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_1x_2>0\)，又\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)。則\(f(x_2)f(x_1)=\frac{x_1x_2}{x_1x_2}<0\)。所以函數\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是減函數。（四）課堂練習1.教材P79練習第1、2題。2.證明函數\(f(x)=2x+1\)在\(R\)上是減函數。3.判斷函數\(f(x)=x^24x+3\)在\((2,+\infty)\)上的單調性，并證明。（五）課堂小結1.函數單調性的概念，包括增函數和減函數的定義。2.用定義證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、定號、下結論。3.在證明過程中要注意對"任意""都有"等關鍵詞的理解和運用，以及合理的變形和推理。（六）布置作業1.教材P80習題3.2A組第1、2題。2.思考：函數\(f(x)=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上的單調性如何證明？五、教學反思通過本節課的教學，學生對函數單調性的概念有了初步的理解，并且掌握了用定義證明函數單調性的方法。在教學過程中，通過實例引入、直觀演示等方式，幫助學生理解抽象的概念，取得了較好的教學效果。但在教學中也發現了一些問題，例如部分學生對"任意""都有"等關鍵詞的理解還不夠深刻，導致在證明過程中出現邏輯不嚴謹的情況。在今后的教學中，應加強對這些關鍵概念的強調和訓練，讓學生更好地掌握函數單調性的證明方法，提高學生的邏輯推理能力。同時，要關注學生的個體差異，對于學習困難的學生給予更多的指導和幫助，確保每個學生都能跟上教學進度，理解和掌握所學知識。六、學案部分（一）學習目標1.理解函數單調性的概念，能說出一些簡單函數在給定區間上的單調性。2.掌握用定義證明函數單調性的一般步驟，并能進行簡單的證明。（二）知識梳理1.函數單調性的定義在函數\(y=f(x)\)的定義域內的一個區間\(A\)上，如果對于任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當\(x_1<x_2\)時，都有，那么就說函數\(y=f(x)\)在區間\(A\)上是增函數；如果對于任意兩個自變量的值\(x_1\)，\(x_2\)，當\(x_1<x_2\)時，都有，那么就說函數\(y=f(x)\)在區間\(A\)上是減函數。2.用定義證明函數單調性的步驟設：設\(x_1\)，\(x_2\)是給定區間內的任意兩個自變量的值，且。作差：計算。變形：對\(f(x_2)f(x_1)\)進行變形，通常采用、等方法，將其化為易于判斷正負的形式。定號：根據給定區間以及\(x_1\)，\(x_2\)的大小關系，確定\(f(x_2)f(x_1)\)的正負。下結論：若\(f(x_2)f(x_1)>0\)，則函數在該區間上是；若\(f(x_2)f(x_1)<0\)，則函數在該區間上是。（三）典型例題例1.證明函數\(f(x)=2x3\)在\(R\)上是增函數。證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_2)f(x_1)=(2x_23)(2x_13)\)\(=\)\(=\)因為\(x_1<x_2\)，所以，則，即\(f(x_2)f(x_1)>0\)。所以函數\(f(x)=2x3\)在\(R\)上是增函數。例2.判斷函數\(f(x)=\frac{2}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性，并證明。解：函數\(f(x)=\frac{2}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是函數。證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\((0,+\infty)\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_2)f(x_1)=\frac{2}{x_2}\frac{2}{x_1}\)\(=\)\(=\)因為\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)，所以，又\(x_1<x_2\)，所以。則，即\(f(x_2)f(x_1)<0\)。所以函數\(f(x)=\frac{2}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是函數。（四）課堂練習1.教材P79練習第1、2題。2.證明函數\(f(x)=3x+5\)在\(R\)上是減函數。3.判斷函數\(f(x)=x^2+2x1\)在\((1,+\infty)\)上的單調性，并證明。（五）課堂小結1.函數單調性的定義是判斷函數單調性的依據，要注意對"任意""都有"等關鍵詞的理解。2.用定義證明函數單調性的步驟要牢記，關鍵在于合理變形和準確判斷差的正負。（六）課后作業1.教材P80習題3.2A組第1、2題。2.思考：如何證明函數\(f(x)=\sqrt{x+1}\)在其定義域上的單調性？答案部分知識梳理1.\(f(x_1)<f(x_2)\)；\(f(x_1)>f(x_2)\)2.\(x_1<x_2\)；\(f(x_2)f(x_1)\)；因式分解；配方；增函數；減函數典型例題例1.\(2x_22x_1\)；\(2(x_2x_1)\)；\(x_2x_1>0\)；\(2(x_2x_1)>0\)例2.減；\(\frac{2(x_1x_2)}{x_1x_2}\)；\(x_1x_2>0\)；\(x_1x_2<0\)；\(\frac{2(x_1x_2)}{x_1x_2}<0\)；減課堂練習2.證明：設\(x_1\)，\(x_2\)是\(R\)內的任意兩個自變量的值，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_2)f(x_1)=(3x_2+5)(3x_1+5)\)\(=3x_2+3x_1\)\(=3(x_2x_