人教課標版高中數學選修2-1：《拋物線的簡單幾何性質》教案-新版?一、教學目標1.知識與技能目標進一步掌握拋物線的標準方程和幾何性質，能運用這些知識解決與拋物線有關的簡單幾何問題和實際問題。理解拋物線的焦點弦的概念，掌握焦點弦的相關性質，并能進行簡單的應用。2.過程與方法目標通過對拋物線幾何性質的應用，培養學生運用解析幾何的方法解決幾何問題的能力，提高學生的運算求解能力和邏輯推理能力。經歷解決拋物線焦點弦相關問題的過程，體會類比、歸納、推理等數學思想方法，培養學生分析問題和解決問題的能力。3.情感態度與價值觀目標通過拋物線在實際問題中的應用，讓學生感受數學與實際生活的緊密聯系，激發學生學習數學的興趣。在解決問題的過程中，培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生學習數學的自信心。二、教學重難點1.教學重點拋物線幾何性質的綜合應用，特別是焦點弦的性質及應用。運用拋物線的知識解決實際問題。2.教學難點焦點弦性質的靈活運用和證明。將實際問題轉化為拋物線的數學模型，并能準確求解。三、教學方法1.講授法：系統講解拋物線焦點弦的概念和性質，以及解決實際問題的思路和方法，使學生對新知識有初步的認識。2.討論法：組織學生討論焦點弦性質的證明思路，引導學生積極思考，培養學生的合作交流能力和思維能力。3.練習法：通過針對性的練習題，讓學生鞏固所學知識，提高運用能力，及時反饋學生對知識的掌握情況。四、教學過程（一）復習導入（5分鐘）1.提問回顧回顧拋物線的四種標準方程及其對應的幾何性質，如開口方向、對稱軸、頂點坐標、焦點坐標、準線方程等。請學生回答拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點坐標和準線方程。2.引入新課上節課我們學習了拋物線的簡單幾何性質，今天我們將進一步探討拋物線的相關知識，重點研究拋物線的焦點弦問題以及如何運用拋物線的性質解決實際問題。（二）知識講解（15分鐘）1.焦點弦的概念定義：過拋物線焦點的直線與拋物線相交于兩點，這兩點間的線段叫做拋物線的焦點弦。例如，對于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，過焦點\(F(\frac{p}{2},0)\)的直線交拋物線于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點，則線段\(AB\)就是焦點弦。2.焦點弦的性質性質1：弦長公式對于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，過焦點\(F\)的直線與拋物線交于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點。設直線\(AB\)的傾斜角為\(\theta\)，則弦長\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p\)。推導過程：由拋物線的定義可知，\(\vertAF\vert=x_1+\frac{p}{2}\)，\(\vertBF\vert=x_2+\frac{p}{2}\)，所以\(\vertAB\vert=\vertAF\vert+\vertBF\vert=x_1+x_2+p\)。又因為\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，兩式相減得\((y_1y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1x_2)\)，則\(\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}\)。而直線\(AB\)的斜率\(k=\tan\theta=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}\)，所以\(x_1+x_2=\frac{y_1^2+y_2^2}{2p}\)，代入弦長公式可得\(\vertAB\vert=\frac{2p}{\sin^2\theta}\)。性質2：\(y_1y_2=p^2\)，\(x_1x_2=\frac{p^2}{4}\)設直線\(AB\)的方程為\(x=my+\frac{p}{2}\)，代入拋物線方程\(y^{2}=2px\)得：\(y^{2}=2p(my+\frac{p}{2})\)，即\(y^{2}2pmyp^{2}=0\)。由韋達定理可得\(y_1y_2=p^{2}\)。又因為\(y_1^2=2px_1\)，\(y_2^2=2px_2\)，所以\(x_1x_2=\frac{y_1^2y_2^2}{4p^2}=\frac{p^2}{4}\)。性質3：以焦點弦為直徑的圓與準線相切設\(AB\)是拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點弦，\(M\)是\(AB\)的中點，過\(A\)，\(B\)分別作準線\(l\)：\(x=\frac{p}{2}\)的垂線，垂足分別為\(C\)，\(D\)。由梯形中位線定理可知，圓心\(M\)到準線\(l\)的距離\(d=\frac{\vertAC\vert+\vertBD\vert}{2}\)。又由拋物線的定義知\(\vertAC\vert=\vertAF\vert\)，\(\vertBD\vert=\vertBF\vert\)，所以\(\vertAC\vert+\vertBD\vert=\vertAB\vert\)，即圓心\(M\)到準線\(l\)的距離等于半徑\(\frac{\vertAB\vert}{2}\)。所以以焦點弦為直徑的圓與準線相切。（三）例題講解（20分鐘）1.例1已知拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，過\(F\)的直線交拋物線于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點，若\(x_1+x_2=6\)，\(\vertAB\vert=8\)，求\(p\)的值。解：由焦點弦長公式\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p\)，已知\(x_1+x_2=6\)，\(\vertAB\vert=8\)，則\(8=6+p\)，解得\(p=2\)。2.例2過拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點\(F\)作直線交拋物線于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點，若\(x_1+x_2=6\)，求\(\vertAB\vert\)及\(y_1y_2\)的值。解：對于拋物線\(y^{2}=4x\)，\(2p=4\)，則\(p=2\)。由焦點弦長公式\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p\)，已知\(x_1+x_2=6\)，所以\(\vertAB\vert=6+2=8\)。設直線\(AB\)的方程為\(x=my+1\)，代入\(y^{2}=4x\)得\(y^{2}=4(my+1)\)，即\(y^{2}4my4=0\)。由韋達定理可得\(y_1y_2=4\)。3.例3求證：以拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切。證明：設\(AB\)是拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點弦，\(M\)是\(AB\)的中點，過\(A\)，\(B\)分別作準線\(l\)：\(x=\frac{p}{2}\)的垂線，垂足分別為\(C\)，\(D\)。由梯形中位線定理可知，圓心\(M\)到準線\(l\)的距離\(d=\frac{\vertAC\vert+\vertBD\vert}{2}\)。又由拋物線的定義知\(\vertAC\vert=\vertAF\vert\)，\(\vertBD\vert=\vertBF\vert\)，所以\(\vertAC\vert+\vertBD\vert=\vertAB\vert\)，即圓心\(M\)到準線\(l\)的距離等于半徑\(\frac{\vertAB\vert}{2}\)。所以以焦點弦為直徑的圓與準線相切。（四）課堂練習（15分鐘）1.過拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點作直線交拋物線于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)兩點，若\(x_1+x_2=10\)，求\(\vertAB\vert\)的值。2.已知拋物線\(y^{2}=2x\)，過焦點\(F\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，若\(AB\)中點的橫坐標為\(\frac{5}{4}\)，求\(\vertAB\vert\)的值。3.證明：拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點弦兩端點的橫坐標之積為定值。（五）課堂小結（5分鐘）1.焦點弦的概念和性質焦點弦：過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段。性質：弦長公式\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p=\frac{2p}{\sin^2\theta}\)；\(y_1y_2=p^2\)，\(x_1x_2=\frac{p^2}{4}\)；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。2.拋物線性質的應用利用焦點弦性質解決與弦長、坐標乘積等相關的計算問題。將實際問題轉化為拋物線模型，運用拋物線性質求解。（六）布置作業（5分鐘）1.必做題已知拋物線\(y^{2}=12x\)，過焦點\(F\)作直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，若\(AB\)中點的橫坐標為\(4\)，求\(\vertAB\vert\)的值。過拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點\(F\)作直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vertAB\vert=8\)，求直線\(AB\)的斜率。2.選做題已知拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，過\(F\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，求證：\(\frac{1}{\vertAF\vert}+\frac{1}{\vertBF\vert}=\frac{2}{p}\)。五、教學反思在本節課的教學中，通過復習導入回顧拋物線的基本性質，為新知識的學習做好鋪墊