2024人教A版高一數(shù)學(xué)：必修4122122同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)語(yǔ)文?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，能運(yùn)用這些關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明。能根據(jù)已知三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，掌握已知一個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的方法。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。在運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解題的過(guò)程中，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)自主探究與合作交流，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的推導(dǎo)與理解。運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明。2.教學(xué)難點(diǎn)理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系中"同角"的含義，以及在具體問(wèn)題中如何靈活運(yùn)用這些關(guān)系。三角函數(shù)值符號(hào)的確定，特別是在已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要根據(jù)角所在象限準(zhǔn)確確定符號(hào)。三、教學(xué)方法1.講授法：講解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的概念、推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.探究法：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究、小組合作等方式，探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維。3.練習(xí)法：通過(guò)適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解題的能力。四、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入1.復(fù)習(xí)回顧提問(wèn)學(xué)生：什么是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)？讓學(xué)生在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一個(gè)角\(\alpha\)，并指出\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)的幾何意義。2.情境引入展示一個(gè)直角三角形，已知其中一個(gè)銳角的正弦值，如何求出這個(gè)角的余弦值和正切值呢？引導(dǎo)學(xué)生思考：在同一個(gè)角\(\alpha\)的三角函數(shù)之間是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢？從而引出本節(jié)課的主題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。（二）探究新知1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系的推導(dǎo)讓學(xué)生利用三角函數(shù)的定義，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)角\(\alpha\)終邊上一點(diǎn)\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，則\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。引導(dǎo)學(xué)生探究\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\)的值：\[\begin{align*}\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha&=(\frac{y}{r})^{2}+(\frac{x}{r})^{2}\\&=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}\\&=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}\\&=1\end{align*}\]再探究\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)與\(\tan\alpha\)的關(guān)系：因?yàn)閈(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)，\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。總結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：平方關(guān)系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商數(shù)關(guān)系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.對(duì)基本關(guān)系的理解強(qiáng)調(diào)"同角"的含義：即角是同一個(gè)角，但不一定是具體的某個(gè)度數(shù)，只要是同一個(gè)角的三角函數(shù)之間就滿足這些關(guān)系。讓學(xué)生思考：\(\sin^{2}2\alpha+\cos^{2}3\alpha=1\)是否成立？為什么？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解同角的重要性。分析平方關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)的變形：\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)。\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。強(qiáng)調(diào)商數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)成立的條件是\(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，因?yàn)楫?dāng)\(\alpha=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)時(shí)，\(\cos\alpha=0\)，\(\tan\alpha\)無(wú)意義。（三）例題講解1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。分析：因?yàn)閈(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1\sin^{2}\alpha}\)。又因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中余弦值為負(fù)，所以\(\cos\alpha\lt0\)。解：由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得：\(\cos\alpha=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\sqrt{1\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)再根據(jù)\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，可得：\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)總結(jié)：已知一個(gè)角的正弦值求余弦值時(shí)，要根據(jù)角所在象限確定余弦值的符號(hào)；求正切值時(shí)，直接利用商數(shù)關(guān)系。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值。分析：將所求式子分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，然后利用\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。解：\[\begin{align*}\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}&=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}\\&=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\\&=\frac{2+1}{21}\\&=3\end{align*}\]總結(jié)：對(duì)于含有\(zhòng)(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)的齊次式（即式子中各項(xiàng)的次數(shù)相同），可以通過(guò)分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)的適當(dāng)次冪，將其轉(zhuǎn)化為只含有\(zhòng)(\tan\alpha\)的式子來(lái)求值。3.求證：\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。分析：要證明等式成立，可以通過(guò)交叉相乘，將等式兩邊化為相同的形式，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行證明。證明：左邊\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\)，右邊\(=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。左邊\(\times\)右邊\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}\)。由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha=(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)\)，即\(\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{(1\cos\alpha)^{2}}\)。所以\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\)，即左邊\(=\)右邊，原等式成立。總結(jié)：證明三角函數(shù)等式時(shí)，通常從一邊開(kāi)始，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危猛侨呛瘮?shù)基本關(guān)系，逐步推導(dǎo)出另一邊，也可以兩邊同時(shí)變形，使其都等于同一個(gè)式子來(lái)證明。（四）課堂練習(xí)1.已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，求\(\sin\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\cos^{2}\alpha\)的值。3.求證：\(\frac{\cos\alpha}{1\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。（五）課堂小結(jié)1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：平方關(guān)系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商數(shù)關(guān)系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解題時(shí)的注意事項(xiàng)：注意"同角"的含義。求三角函數(shù)值時(shí)要根據(jù)角所在象限確定符號(hào)。對(duì)于齊次式可以通過(guò)除以\(\cos\alpha\)轉(zhuǎn)化為\(\tan\alpha\)來(lái)求值。證明三角函數(shù)等式時(shí)要靈活運(yùn)用基本關(guān)系進(jìn)行變形推導(dǎo)。（六）布置作業(yè)1.書(shū)面作業(yè)：教材P21練習(xí)第1、2、3題；習(xí)題1.2A組第5、6題。2.拓展作業(yè)：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(0\lt\alpha\lt\pi\)，求\(\tan\alpha\)的值。五、教學(xué)反思