2024-2025學年四川省廣安市高二下學期第一次月考（3月）數學檢測試題第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若是等差數列，且，，則（）A.39 B.20 C.19.5 D.33【正確答案】D【分析】根據等差數列的性質求出，，可得公差，利用等差數列的性質可得.【詳解】因為，且是等差數列，所以，所以，因為，且是等差數列，所以，所以，所以公差，所以.故選：D本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列通項公式基本量的計算，屬于基礎題.2.已知正項等比數列，若，是方程的兩個實數根，則（）A. B.15 C.20 D.25【正確答案】D【分析】利用一元二次方程的根與系數的關系、等比數列的性質即可得出．【詳解】，是方程的兩個實數根，，，為正項等比數列，．故選：D3.在等比數列中，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】因為數列是等比數列，且已知前項和，所以可求通項，進而可求，仍然是等比數列，再利用求前項和公式解出結果.【詳解】解：因為數列是等比數列，且，解得，，所以是以為首項，為公比等比數列，則，那么，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以根據前項和公式得.故選.4.已知函數在處的導數為1，則=A.3 B. C. D.【正確答案】D【詳解】分析：先根據導數定義將極限化成在的導數定義形式，再代入求結果.詳解：,選D.點睛：函數在處的導數為,形式多樣，注意實質.5.函數的圖象如圖所示，則下列數值排序正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由函數的圖象可知單調性，再根據圖象切線斜率的變化可判斷的單調性，從而得出結果.【詳解】解：由函數的圖像可知：當時，函數單調遞增，又在各點處的切線的斜率越來越大且為正，所以，即.故選：A6.等比數列中，首項，則數列是嚴格遞增數列的條件是公比滿足（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由等比數列通項公式可表示出；分別在和的情況下進行分析得到結果.【詳解】由題意得：，，嚴格遞增數列，，又，；當，即時，只需恒成立，；當，即時，，不合題意；綜上所述：公比滿足.故選：C.7.已知數列中，，當時，，設，則數列的通項公式為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據遞推關系式得到，進而利用累加法可求得結果．【詳解】數列中，，當時，，

，

，

，且，

，

故選：A．8.已知函數，數列滿足，且數列是單調遞增數列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由數列是單調遞增數列可知當時，單調遞增，當時，單調遞增，且，列出不等式，解不等式即可.【詳解】數列是單調遞增數列，可知當，時，單調遞增，即或，解得；當時，單調遞增恒成立，且，即；解得，所以若數列單調遞增數列，則，故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數的求導運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】直接利用導數的運算法則與基本初等函數的導函數逐一求解得答案.【詳解】對于A,，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：BC.10.古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙粒或小石子所排的形狀，把數分成許多類，如圖1，圖形中黑色小點個數：1，3，6，10，…稱為三角形數，如圖2，圖形中黑色小點個數：1，4，9，16，…稱為正方形數，記三角形數為數列，正方形數為數列，則（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】利用觀察歸納法，結合等差數列前n項和公式求出，再逐項判斷即得.【詳解】依題意，，，AD正確；，，B錯誤；，，C正確.故選：ACD11.下列說法正確的是（）A.若為等差數列，為其前項和，則，，，…仍為等差數列B.若為等比數列，為其前項和，則，，，仍為等比數列C.若為等差數列，，，則前項和有最大值D.若數列滿足，則【正確答案】ACD【分析】根據等差數列的定義，可判定A正確；當時，取，得到，可判定B錯誤；根據等差數列的性質，可判定C正確；化簡得到，利用裂項法，可判定D正確.【詳解】對于A中，設數列的公差為，因為，，，，可得，所以，，，構成等差數列，故A正確；對于B中，設數列的公比為，當時，取，此時，此時不成等比數列，故B錯誤；對于C中，當，時，等差數列為遞減數列，此時所有正數項和為的最大值，故C正確；對于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因為，所以，可得，所以，故D正確.故選：ACD方法點睛：由，得到，進而得出，結合“裂項法”求解是解答本題的難點和關鍵.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等差數列的前n項和，，，則的最小值為___________．【正確答案】28【分析】由已知可得求出等差數列基本量，并寫出通項公式，進而可得，利用基本不等式及易知當或5時目標式有最小值，寫出最小值即可.【詳解】由題設，，可得，即，∴，則，∴，當且僅當時等號成立，而，且，當時，，當時，.故當或5時，的最小值為.故13.法國數學家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數論》中給出一個定理：如果函數滿足如下條件：（1）在閉區間上是連續不斷的；（2）在區間上都有導數．則在區間上至少存在一個實數，使得，其中稱為“拉格朗日中值”．函數在區間上的“拉格朗日中值”______．【正確答案】##【分析】由拉格朗日中值定理求得，求得的導數，計算可得在區間,上的拉格朗日中值．【詳解】由拉格朗日中值定理可得,即有，由，，可得，解得，故．14.已知數列滿足，則最接近的整數為___________.【正確答案】4【分析】令，將原遞推化簡為可得是以為首項，公比為的等比數列.進而得到，再根據的范圍確定的范圍即可【詳解】令，則且，原遞推即為，整理后即為，由得，即，故是以為首項，公比為的等比數列.所以.所以，另一方面，，所以，綜上所述，，所以與之最接近的整數為4.故4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列前n項和，滿足．（1）證明是等比數列；（2）數列，，求數列的前n項和．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由得，.從而得到是等比數列.（2）將代入并化簡得，裂項相消即可.【小問1詳解】由得：，，所以，即，，當時，，則，所以是以為首項，公比為2的等比數列．【小問2詳解】由（1）知，則，故，.所以.16.記為數列的前n項和，已知（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的關系求的通項公式；（2）應用錯位相減法及等比數列前n項和公式求【小問1詳解】當時，，當時，滿足上式，所以.【小問2詳解】由題知，所以，，兩式相減得所以17.已知函數.（1）求曲線y=f(x)在點P(1，-2)處的切線方程；（2）過點P(2，2)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.【正確答案】（1）；（2）與.【分析】（1）求出在處的導數即為在點P(1，-2)處的切線斜率，代入點斜式方程化簡則可求出切線方程；（2）根據函數方程設出切點，求得在切點處的導數，代入點斜式方程，因為過點P(2，2)，將點代入直線方程，可求出切點坐標，從而求出切線方程.【詳解】解：（1）由題意可知，則在處的切線斜率，則在點P(1，-2)處的切線方程為：，即切線方程為.（2）因為，所以設切點為，斜率為則所求切線方程為：①因為切線過點P(2，2)，所以有解得：或代入①化簡可得切線方程為：或.方法點睛：（1）求切線方程分為在點處的切線和過點處的切線，在點處的切線，直接求導得到切線的斜率，代入點斜式方程化簡即可；（2）過點處的切線，需設切點，求出在切點處的導數，然后寫出點斜式方程，將所過的點代入直線方程，求解，然后重新代入化簡可求出直線方程.18.王先生今年初向銀行申請個人住房貸款80萬元購買住房，按復利計算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內把本金總額等分，每月償還同等數額的本金和剩余本金在該月所產生的利息；②等額本息：在還款期內，每月償還同等數額的貸款(包括本金和利息)．（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應還10333元，最后一個還貸月應還6667元，試計算王先生該筆貸款的總利息；（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3％，銀行規定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為17000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批(不考慮其他因素)．參考數據【正確答案】（1）元（2）能，理由見解析【分析】（1）每月還款金額構成等差數列，設為，求和得到總金額，減去本金得到利息.（2）設王先生每月還款為元，根據等比數列性質得到方程，解得答案.【小問1詳解】每月還款金額構成等差數列，設為，表示數列前項和，則，，故，故總利息為：(元).【小問2詳解】設王先生每月還款為元，則，即，解得，，故貸款能夠獲批.19.記是等差數列的前項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的的最小值；（3）求數列的前項的和．【正確答案】（1）（2）4