2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（新高考題型專項）-線性代數(shù)與矩陣運算試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^2$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$2.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$是：A.$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1/3&0&0\\0&1/3&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-1/3&0&0\\0&-1/3&0\\0&0&-1/3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1/3&2/3&1\\0&1/3&2/3\\0&0&1/3\end{pmatrix}$3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$的值是：A.$\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}0&0\\6&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&0\\2&4\end{pmatrix}$4.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$5.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$的值是：A.$\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-4\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&0\\2&4\end{pmatrix}$6.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{AB}$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$7.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^2$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$8.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的值是：A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1/3&0\\0&1/3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-1/3&0\\0&-1/3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$9.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^3$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$10.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^4$的值是：A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&8\\6&32\end{pmatrix}$二、填空題要求：直接寫出答案。1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^2$的值是________。2.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$的值是________。3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^3$的值是________。4.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的值是________。5.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{AB}$的值是________。6.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$的值是________。7.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^4$的值是________。8.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^2$的值是________。9.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$的值是________。10.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}^3$的值是________。三、解答題要求：寫出解答過程，并給出答案。1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{AB}$、$\boldsymbol{BA}$、$\boldsymbol{A}^2$、$\boldsymbol{A}^3$、$\boldsymbol{A}^{-1}$。四、計算題要求：直接寫出計算結果。1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^2$。2.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$。3.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$。4.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。5.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^2$。五、證明題要求：證明下列命題。1.證明：若矩陣$\boldsymbol{A}$是可逆矩陣，則$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{E}$。2.證明：若矩陣$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$都是$n$階方陣，且$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$，則$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$都是可逆矩陣。六、應用題要求：根據(jù)題目要求，寫出解答過程，并給出答案。1.設線性方程組$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$的系數(shù)矩陣為$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，增廣矩陣為$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}$，求該方程組的解。2.設線性方程組$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$的系數(shù)矩陣為$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，增廣矩陣為$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}$，判斷該方程組是否有解，若有解，求出解。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$解析：根據(jù)矩陣乘法公式，$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。2.D.$\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式，得到$|\boldsymbol{A}|=1\cdot4-2\cdot3=-2$。然后根據(jù)逆矩陣的公式$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，代入$\boldsymbol{A}$的元素得到$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$。3.A.$\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$解析：矩陣加法直接對應位置相加，得到$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+1&2+2\\3+3&4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$。4.B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。5.D.$\begin{pmatrix}0&0\\2&4\end{pmatrix}$解析：矩陣減法通過對應位置相減，得到$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-1&2-2\\3-3&4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$。6.A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{AB}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。7.A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。8.D.$\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式，得到$|\boldsymbol{A}|=1\cdot4-2\cdot3=-2$。然后根據(jù)逆矩陣的公式$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，代入$\boldsymbol{A}$的元素得到$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$。9.B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。10.B.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}^4=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。二、填空題1.$\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$解析：根據(jù)矩陣乘法公式，$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\6&16\end{pmatrix}$。2.$\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$解析：矩陣加法直接對應位置相加，得到$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+1&2+2\\3+3&4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}$。3.$\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。4.$\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式，得到$|\boldsymbol{A}|=1\cdot4-2\cdot3=-2$。然后根據(jù)逆矩陣的公式$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，代入$\boldsymbol{A}$的元素得到$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$。5.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{AB}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。6.$\begin{pmatrix}0&0\\2&4\end{pmatrix}$解析：矩陣減法通過對應位置相減，得到$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-1&2-2\\3-3&4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$。7.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot4\\3\cdot1+4\cdot3&3\cdot2+4\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&20\end{pmatrix}$。8.$\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$解析：計算矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式，得到$|\boldsymbol{A}|=1\cdot4-2\cdot3=-2$。然后根據(jù)逆矩陣的公式$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，代入$\boldsymbol{A}$的元素得到$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3&2/3\\0&1/3\end{pmatrix}$。9.$\begin{pmatrix}5&8\\12&16\end{pmatrix}$解析：矩陣乘法通過對應位置相乘并相加，得到$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\be