第/講系學式/

大腦體操）

作業完成懵為

知識梳理）

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的。我們用數學符號

“2”“W”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，

叫做不等式。

2.比較兩個實數的大小

兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，有a-b>O=a>b；a-b=O<=>a=b；a-b

<0<=>a<bo

3.不等式的性質

性質1對稱性：a>bObVa。

性質2傳遞性：若4>1?且13>（:,則a>c。

性質3加法法則：a>bOa+c>b+co

推論1移項法則：a+b>c<z>a>c-bo

推論2同向可加性：若a>b,c>d,則a+c>b+d。

性質4乘法法則：若a>b且c>0,則ac>bc；若a>b且cVO,則acVbc。

推論1同向可乘性：若a>b>0且c>d>0,則ac>bd。

推論2乘方法則:若a>b>0,則a-&N+,且n>l）。

推論3開方法則：若a>b>0,則布〉轎（nSN-,且n>l）。

bb

4.一元一次不等式ax>b：若a>0,則解集為｛x|x>一｝；若aVO,則解集為｛x|x<—｝；

aa

若a=0,則當b20時，解集為R,當b<0時，解集為

x>axVa

5.一元一次不等式組（aVB）：（的解集為｛x|x>B｝；4的解集為｛x|x

x>a%<ca

<?）;\c的解集為｛xla<xVB｝;\的解集為0。

x<（3[x>/3

6.一元二次不等式ax、bx+c>0（a#0）,其中△二〃之―4〃。，xi>X2是方程ax'+bx+c=O

（aWO）的兩個根，且（x】Vx2）。

（1）當a>0時，若△>0,則解集為｛x|xVxi或x>X2）；若△二0,則解集為｛x|x￡R

h

且XW——）；若AV0,則解集為R。

2a

（2）當aVO時，若A>0,則解集為｛x|x】VxVx2｝；若AR,則解集為。；若AV0,

則解集為。。

、—

7.分式不等式：（1）/（也20=<f([x)g(八x)>0=/(x)g(x)>(W(x)=0；

g（x）[g(x)wO

/(x)/(x)>0或嚴X。

(2)>0o/(x)g(x)>0=<

g(x)g(x)>0g(%)<0

教學重?蔽）

趣味引入）

0特色講解)

例1如果aVO,b>0,那么下列不等式中正確的是()

A.—<—B.J—a<\[bC.a'<b~D.|a,>Ib

ab

解析如果a<0,b>0,那么一<0,—>0,—<一,故選A.

abab

例2設a>b>l,c<0,給出下列三個結論：①二>E；0a<bc；③logb(a-c)>

ab

loga(b-c)?其中正確的是()

A.①B.①②C.②③D.??③

?a>b>l^i>0,1、1

11—〉一c/cc、c

解析=>a---->b-----=>ba>=>—V—n—>一,

ahah/haah

d>bc<0

.,.①正確;

->1

?a>b>lnbJ”..②正確;

c<0bc>0

③

例3已知T<x+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是,

1

m=——

m-n=-32

解析設2x-3y=m(x+y)+n(x-y),=v

m+n=25

n=—

2

??2元—3y=——(x+y)+—(x—y)，,**—1Vx+yV4,???-2V——(x+y),

,?，2Vx-y<3,?，.5</(x—，?，.3V2x—3y=—/(1+歷+耳。—y)<8,

???z=2x-3y的取值范圍是(3,8)。

例4解關于x的不等式ax2-(l+2a)x+220(aWR,a為常數)。

解析①當a=0時，原不等式等價于-x+220,???xW2,即解集為(-8,2］；

②當時，原不等式等價于,(X-2)2ZO,即解集為R：

22

③當a<0時，原不等式等價于(ax-1)(x-2)20,.?.,4x42,即解集為［工,2］；

aa

④當OVaV1時，原不等式等價于(ax-1)(x-2)20,??.xW2或,即解集為(-8,2]

2a

「、

U[―1,+8);

a

⑤當a>!時，原不等式等價于(ax-1)(x-2)》0,；.xW,或x》2,即解集為(-8,l]u[2,+

2aa

°°)o

例5已知:f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.當不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時,求實數a,

b的值。

解析V-3x2+a(6-a)x+b>0即3x2-a(6-a)x-bV0的解集為(T,3),

—1+31脩一為

23

.*.xi=-l,X2=3是方程3x-a(6-a)x-b=O的兩根,

3上

3

例6不等式上x+」522的解集是

di

解析不等式等價于2廠一5；—3wo0(2x+l)(x—3)?0—[(2x+l)(x—3)40

(x-I)2(x-Ip[尤w]

=>--<JV<1SK1<X<3,不等式x+522的解集是[―1,1)(1,3]。

2(x-1)22

當堂練習)

A

1.不等式汽>0的解集是(A)

3x+l

A.B.{x[-]vx〈yC.{xIx>|}D.{x|x>-|}

2.不等式組di3的解集為

2

,-10g2(x-l)>l

A.(0,V3)B.(V3,2)C.(V3,4)D.(2,4)

3.設OVaVL函數f(x)=loga(a2x-2aX—2),則使f(x)<0的x的取值范圍是(C)

A.(-8,0)B.(0,+8)C.(-?>,loga3)D.(loga3,+°°)

4.若log2a罌＜。，則a的取值范圍是（D）

A.(i+8)B.(l,+8)C.(i1)D.(0,i)

1.若關于x的不等式|x+2|+|x-l|<a的解集為。，則a的取值范圍是(C)

A.(3,+8)B.[3,+8)c.(-8,3]D.(-8,3)

2.使不等式|x-41+1x-3|<a有解的實數a的取值范圍是(1,+8)。

3.已知不等式ax2+bx+c>0(aWO)的解為a<x<B,其中B>0>a,求不等式cx2+bx+a

>0的解。

解：???ax2+bx+c>0(a#0)的解為aVxVB,

aVO(■

aVO

Aa<0,且a、B是方程ax2+bx+c=0的兩根，，<a+，=一。=><》=-4(a+，)，

c-aaf3

a/3=-

又B>0>a,/.ex2-\-hx+ciX)^>aa^x2—a(a+aX)

=a/3x2-(a+^)x+l<0^x2-(-+-)%+—>O^(x--)(x-—)>O

aJ3a[3a0

或x>_L,.?.不等式cx2+bx+a>0的解集為(—8,)(-,+00)o

apap

4.設aWb,解關于x的不等式x+b2(1-x)^[ax+b(l-x)]2.

解：原不等式

o(tz2-b2)x+b2>[(a-b)x+bf=(a2-b2)x+b2>(a-b)2x2+2b(a-b)x+b2

(a—b)~x~—(a—b)~xW0(a—/?)~(x?—無)<0x?—尤<()0WxW1

不等式的解集為[0,1]。

1.若x滿足三<2與三>-3,則x的取值范圍是(D)

XX

A.-i<x<iB.x>lC.x<--D.x>三或x<」

322323

2.若關于x的不等式x>2的解集是(o,+8),則a的取值范圍是(D)

X

A.RB.(-8,o)C.(0,+8)D.(-8,0]

3.不等式x-22-^-4的解集是[-6,-4]U[0,+8)。

4.不等式胃<1的解集為{x|xVl或x>2},則a的值為-。

5.設不等式2x+l>m(4x2T)對滿足1WXW2的一切x都成立，求m的取值范圍。

解：當1WXW2時，4x2-1w[3,15],則4x2-1>0,.?.原不等式omV二一=-----

4x2-l2x-]

?.TWxW2,.,.2x-lG[l,3],；.—!一G[-,1],

2x—13

...使mv」一對任意X恒成立，則m<-.

2x—13

6.設不等式2x+l>m(4x2-l)對滿足im|<2的一切m都成立，求x的取值范圍。

解：記f(m)=(4x,-1)m-(2x+l),使mW[-2,2]時,f(m)V0恒成立,則

7(-2)=-8X2-2X+1<013

<o—VxV一。

/(2)=8^2-2X-3<044

7.設不等式x2-2ax+a+2W0的解集為M,如果求實數a的取值范圍。

解：①當M=。時，成立，此時△=4a?-4(a+2)VO,/.-l<a<2；

②當MW。時，只要使x?-2ax+a+2=0的兩根都在[1,4]內部即可，則有

1<?<4

△=4/一4(。+2)20318

\=>2<tz<—

/(l)=-a+3>07

/⑷=—7a+18NO

1Q

綜上得TVaW上

7

當堂檢測)

l.a.bGR,且a>b,則下列不等式中恒成立的是(B)

A.a>b2B.(-)a<(-)"C.lg(a-b)>0D.->1

22b

2.x為實數，且|x—3|—|x—l]>m恒成立，則m的取值范圍是(B)

A.m>2B.m<2C.m>-2D.m<-2

3.若對于任意x￡R,都有(m—2)x2—2(m—2)x—4<0恒成立，則實數m的取值范圍是上

2,2)o

4.解關于x的不等式：Vx4-4x2+4<2x+l?

—2x—3<0

解：原不等式化為：卜2—2|<2x+l=>一2x—152—2<2x+l=><2n

x"+2x—1>0

—1<x<3i—i—

L或x>-l+j2,...不等式的解集是：-l+J2Vx<3。

x<一1—V2

當堂顯結好

。家庭作業）

1.已知仇c滿足c<。<。且ac<0,則下列選項中不：軍能成立的是(C)

bb-a八C.2Cl—?

A.—<—B.---->0D.——<0

aacccac

[|x-2|<2,

2.不等式組《,的解集為(C)

.10g2(x-1)>1

A.(0,5B.(62)C.(V3,4)D.(2,4)

3.若0<xvyvl,則(C)

A.V<yB.logv3<logv3C.log4x<log4yD.(；『<(：

4.若不等式x°+ax+l>0對于—?切xG(0,—)成立，則a的取值范圍是(C)

2

A.a>0B.a<-2C.a>——-D.a〈-3

2

元+[

5.不等式——<1的解集為(D)

x-1

A.(xjO<x<l}lj[xjx>1}B.{x|0〈x〈l}C.{x|-l(x(0)D.{x|x〈0}

6.在R上定義運算?:%(8)丫=%(1一>7).若不等式(％-。)^)(%+。)<1對任意實數工成立，

則(C)

1331

水

-水D-z-

A.-l<a<lB.0<水2c.-22--2x2

7.解關于x的不等式ax~—222x—ax(aWR).

解:原不等式可化為oax2+(a-2)x-2>0,

(l)a=0時，x<—1,即x￡(—8,—1].

(2)aw0時，不等式即為(ax-2)(x+l)20.

①a>0時，不等式化為(x--)(x+1)>0,不等式解為(^o,-l]U[-,4w).

aa

2

②a<0時,不等式化為(x--)(x+l)<0,

a

a<0

2

當42，即一2<水0時，不等式解為[―,-1]

-<-la

。<0

當心，即水一2時，不等式解為

->-lci

a<0

當,2，即a=-2時，不等式解為x=-L

-=-1

[a

綜上：a=0時，x￡(—8,—1)；>0時，xe(-oo,-l]U[―,-Kx));—2<a<0時，xE[—,-l]；

aaa

2

a<一2時，]；a=—2時，x￡{x|x=—1}.

a

第2講系學式2

大腦體藻）

作業完成情如

知識梳理）

1.二元一次不等式表示平面區域

一般的，二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面區域為平面直角坐標系中表示直線

Ax+By+C=0的某一側所有點組成的平面區域，我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直

線，當我們在坐標系中畫不等式Ax+By+C20所表示的平面區域時，此區域應包括邊界直線，

則把邊界直線畫成實線。

因為對在直線Ax+By+C=0同一側的所有點（x,y）,實數Ax+By+C的符號相同，所以只

需在此直線的某一側取一個特殊點（xo,y0）,由Axo+Byo+C的正負即可判斷Ax+By+C>0表示

直線哪一側的平面區域。當CW0時，常把原點作為此特殊點。

2.線性規劃的有關概念

約束條件：由未知數x、y的不等式（或方程）組成的不等式組成為x、y的約束條件。

線性約束條件：關于未知數x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組稱為x、y

的線性約束條件。

目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式。

線性目標函數：目標函數為變量x、y的一次解析式。

線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最值問題。

可行解：滿足線性約束條件的解（x,y）。

可行域：所有可行解組成的集合。

最優解：使目標函數取得最值的可行解。

3.基本不等式：^->4ab

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0；

(2)等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號。

4.常用的幾個重要不等式

222+

(l)a+b>2ab；(2)a^<(-);(4)-+->2(a/?e??)

222ab

教學重?難點)

趣味引入)

g特色講解)

x+y-ll>0

例1設不等式組<3x-y+320表示的平面區域為D,若指數函數y="的圖

5x-3y+9<0

像上存在區域D上的點，則a的取值范圍是

A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,-H?]

解析這是一道略微靈活的線性規劃問題，作出區域D的圖象，聯系指數函數y="

的圖象，能夠看出，當圖象經過區域的邊界點(2,9)時，a可以取到最大值3,而顯然只要

a大于1,圖象必然經過區域內的點，選A。

x-y+2>o,

例2設變量*、y滿足約束條件<x-5y+1040,,貝II目標函數2=3x—4y的最大值和

x+y—8<0,

最小值分別為

A.3,-11B.—3,—11C.11,-3D.11,3

解析畫出平面區域如圖所示：可知當直線z=3x-4y平移到點(5,3)時，目標函

數z=3x-4y取得最大值3；當直線z=3x-4y平移到點(3,5)時，目標函數z=3x/y取得

最小值T1，故選A。

x+3y-3>0,

例3若實數x,y滿足不等式組，2x—y—3=0,且x+y的最大值為9,則實數

1>0,

A.-2B.-1C.1D.2

解析將最大值轉化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數，數形結合可知答案選

C,本題主要考察了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想。

3x-y-6<0

例4設x,y滿足約束條件y+2N0,若目標函數z=ax+by(a>0,b>0)的

x>0,y>0

值是最大值為12,則*2+13的最小值為().

ab

A.生8C11

B.—C.—D.4

633

解析不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直

線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時，目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6,而—+—=(—+————=—+(―+—■)>—-+2=——,故選A.

abab66ah66

x-y+2=

例5求下列函數的最大(或最小)值.

(1)y=x+」一(x20)；(2)y=2xV100-x2(0<x<10)

x+1

解析(1)Vx^O,「.x+121,y—x+ld------1>2j(x+l)-----1=1,當

x+1AVx+1

且僅當x+l=」一，即x=0時取等號，.?.x=0時,yrain=l

x+1

(2)V0<x<10,.\100-x2>0,：.y=2c?t經城一)-x2-<x2+100-x2

=100,當且僅當x'lOO-x?即x=50時，yranx=100

當堂練習)

A

L設變量x,y滿足約束條件：卜.則目標函數z=2x+3y的最小值為(B)

2x-y<3

A.6B.7C.8D.23

‘2x+yW40,

2.若變量x,y滿足「丫)W5"則z=3x+2y的最大值是(C)

九30,

y20,

A.90B.80C.70D.40

3.下列各函數中，最小值為2的是(B)

f+2

xx

A.y=x+—C.y=logxa+logaxD.y=3+3(x>0)

x

4.設x>0,則y=3-3x-‘的最大值為（C）

x

A.3B.3-3&C.3-273D.-l

5.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格

c如下表:

ab（萬噸）C,（百萬元）

A50%13

B70%0.56

某冶煉廠至少要生產1.9（萬噸）鐵,若要求C02的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石

的最少費用為叵（百萬元）.

B

1.若Igx+lgy=2,則工+工的最小值是（A）

%y

A.-D.2

54

ea+h

2.若a>b>0,則一之間的大小順序關系是（B）

2

卜號>友B.號5

222

a+片>a+ha+ba+b

C.yfab>D.

222

2x—y+220

3.設x,y滿足約束條件《8x—y—440,若目標函數z=abx+y（a>Q,b>0）的最大值為

x>0,”0

8,則。+人的最小值為—4.

4.函數y=ai（a>O,aWl）的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny-l=0（mn>0）±,則

mn

的最小值為—4.

C

X>1

1.設不等式組?x-2y+320所表示的平面區域是Q,平面區域是Q與Q關于直線

y>x

3x-4y-9=◎寸稱，對于園中的任意一點A與a中的任意一點B,|45|的最小值等于

(B)

2812

A.—B.4C.—D.2

55

x>04

2.若不等式組Jx+3y24所表示的平面區域被直線V=依+§分為面積相等的兩部分，

3x+y<4

則k的值是(A)

7343

A.-B.-C.-D.一

3734

x+2y-1920,

3.設二元一次不等式組(x—y+82O,所表示的平面區域為M,使函數

2x+y—14W0

y=a'(a>0,a。1)的圖象過區域M的。的取值范圍是(C)

A.[1,31B.[2,715]C.[2,91D.[710,9]

4.已知實數x、y滿足x，y2=l,則(1—xy)(1+xy)(B)

A.有最小值1/2,也有最大值1B.最小值3/4,最大值1

C.最小值3/4,無最大值D.最大值1,無最小值

5.設機,〃eR,若直線I:mx+1=0與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且坐標

原點。到直線的距離為則"08的面積S的最小值為(C)

A.—B.2C.3D.4

2

1125

6.已知兩正數x,y滿足x+y=l,則z=(x+—)(y+一)的最小值為_丁

xy一4

當堂檢測)

1.下列各函數中，最小值為2的是(D)

…+三B.y=sinx+熹，xG(0,"C.y=^D-y=x+21

（%-y4-2>0

2.已知實數x,y滿足Ix+y2o則z=2x+4丫的最大值為14.

lx<1.

3.設x,y滿足x+4y=40,且x,yGR",則Igx+lgy的最大值是2.

4.某家具廠有方木料90m:五合板600m,準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產每張書桌

需要方木料0.1m3,五合板2m）生產每個書櫥需要方木料0.2m2,五合板1m2,出售一張方

桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.

（1）如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？

（2）如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少？

（3）怎樣安排生產可使所得利潤最大？

解：由題意可畫表格如下：

方木料（m?）五合板（nP）利潤（無）

書桌（個）0.1280

書博（個）0.2I120

（1）設只生產書桌x個，可獲得利潤z元,

0.1%<90

<900

則,2x<600=>r=>xW300.

z=80xX<300

所以當x=300時,z皿=80X300=24000（元），即如果只安排生產書桌,最多可生產300張書

桌，獲得利潤24000元.

0.2y<90

（2）設只生產書櫥y個，可獲利潤z元，則1?yW600='二藍上yW450.

1”[y<600

\z=120yz

所以當y=450時，z*=l20X450=54000（元）,即如果只安排生產書櫥，最多可生產450個

書櫥，獲得利潤54000兀.

（3）設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元.

O.lx+0.2y<90fx+2y<900

2x+y<600]2x+y<600

%>0x20

.y>0ly>0

z=80x+l20y.

在直角坐標平面內作出上面不等式組所表示的平面區域，即可行域.

作直線L80x+l20y=0,

即直線I：2x+3y=0.

把直線1向右上方平移至L的位置時，直線經過可行域上的點M,此時z=80x+120y取得最

大值.

由=眈解得點M的坐標為（100.400）.

所以當x=100,y=400時,2叼=80XI00+120X400=56000（元）.

因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大.

當堂急結）

家庭作業）

1.若xe（-8,1）,則函數y="2-2X+2有（C）

2X-2

A.最小值1B.最大值1C.最大值-1D.最小值-1

x+”l

2.若x,y滿足約束條件<x-yN-l,目標函數z=ac+2y僅在點（1,0）處取得最小值,

2x-y<2

則a的取值范圍是（B）

A.(—1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)

2x+y>4

3.設x,y滿足<x-yN-l,貝！Jz=x+y(B)

x-2y<2

(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,無最大值

(C)有最大值3,無最小值(D)既無最小值，也無最大值

2%-y+2>0

x-2y+140上，點Q在曲線x2+(y+2)2=l上,那么|PQ|的最小

(%+y-2<0

值為(A)

A.V5-1B.t-1C.2V2-1D.V2-1

%+y-2<0

x-y+4>o表示的平面區域的面積是3_?

(y>o

6.設a、b是實數，且a+b=3,則2%吸的最大值是」或.

7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是_(3,8)(答案

用區間表示)

x+y>2,

8.若實數x,y滿足不等式組<2x-y<4,則2x+3y的最小值是4.

x-”0,

x+2y<\Q

9.設。是不等式組<表示的平面區域，則。中的點P(x,y)到直線x+y=10距

y>\

離的最大值是_4V2._.

4

10.已知正數a,b,c滿足a+=,a+》+c=abc,則c的取值范圍是_(1,§].

11.某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐。己知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物

6個單位蛋白質和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個

單位的蛋白質和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養.中至少含64個單

位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素C.

如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養要求,

并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐?

解：設該兒童分別預訂x,y個單位的午餐和晚餐，共花費z元，則z=2.5x+4y。

可行域為

12x+8y>64,3x+2y>16,

6x+6y>42,x+y>J,

6x+10j>64,即<3x+5j>32,

x>0,xGTV,x>0,

y>Q,yeN.j>0.

作出可行域如圖所示:

經試驗發現，當x=4,y=4時，花費最少，為2.5x4+4x4=26元.

第M餅系等式M

大腦體操)

知識梳理)

1.不等式證明的理論依據：不等式的概念和性質，實數的性質，以及一些基本的不等

式：

(1)若a￡R,則|a|。。,a2^0.

(2)若a,b￡R,貝lj/+b222ab.

(3)若a,b￡R'則"+"2

2

(4)若a,b同號，則2+苗》2.

cib

(5)若a,b￡R,則||a|-|b|IW|a+b|W|a|+|b|

2.證明不等式的基本方法：

比較法(作差、作商)，綜合法，分析法，數學歸納法及反證法；另外還有如換元法、放

縮法等。

常用的放縮技巧有：-一一L=---<4<---=」――-；

n〃+1n(n+1)nn(n-1)n-\n

y/k+1-yfk=,1----j=<—\=<i1-------T==\[k-J"+1

4k+l+4k2a4k^+4k

3.不等式的恒成立,能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規處理方式？(常應

用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用

數形結合法)

(1)恒成立問題

若不等式/(x)>A在區間D上恒成立,則等價于在區間D±/(x)n,n>A

若不等式/(x)<8在區間。上恒成立,則等價于在區間D±/(x)m；Lx<B

(2)能成立問題

若在區間。上存在實數%使不等式/(x)>A成立,則等價于在區間。上/(x)1mx>A;

若在區間D上存在實數%使不等式/(x)<8成立，則等價于在區間。上的

(3)恰成立問題

若不等式f(x)>A在區間D上恰成立，則等價于不等式/(x)>4的解集為D；

若不等式/(x)<3在區間。上恰成立，則等價于不等式/(x)<B的解集為D.

規律方法指導

(1)基本不等式的功能在于“和積互化”。若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是

積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”

有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值則“積”有最大值。

(2)在用基本不等式求函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等。

①一正：函數的解析式中，各項均為正數；

②二定：函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值：

③三取等：函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值。

(3)在不等式證明過程中，應注重與不等式的運算性質聯合使用，用放縮法證明時放

大或縮小應適度。

<?教學重?難點)

亳)趣味引入)

它!特色講解)

例1若不等式/一27nx+2m+1>0對OKxKl的所有實數”都成立，求相的取值

范圍.

解析?.?不等式V—2/nr+2m+1>0對04元41的所有實數x都成立，

，當04x〈l時，min{x2—2iwc+2m+l}>