第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《圖形的相似》專項檢測卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，已知在中，，平分，，垂足為點D，，交邊于點E，，求的值．2．如圖，中，為鈍角，，點是邊延長線上一點，以點為頂點，為邊，在射線下方作．(1)在射線上取點，連接交線段于點．①如圖1，若，請直接寫出線段與的數量關系和位置關系；②如圖2，若，判斷線段與的數量關系和位置關系，并說明理由；(2)如圖3，反向延長射線，交射線于點，將沿方向平移，使頂點落在點處，記平移后的為，將繞點順時針旋轉角，交線段于點，交射線于點，請直接寫出線段與之間的數量關系_______________．3．已知點是矩形邊延長上一點，且，是對角線和的交點．連接，交于，交于，連接，如圖1．(1)求證：平分．(2)若，，求的值．(3)若，如圖2，求的值．4．如圖，在矩形中，，點分別在邊上，滿足．(1)求證∶．(2)若，求的長．5．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，．動點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點從點出發，沿方向勻速運動，速度為．以，為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點．設運動時間為，解答下列問題：(1)當點在的垂直平分線上時，求的值；(2)連接，是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由．(3)是否存在某一時刻，使點在的平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．6．如圖1，在中，，，點D在邊上，連接，作交線段于點E．(1)求證：；(2)如圖2，連接，若，求證：；(3)如圖3，若，求的面積．7．如圖，在中，，，．動點從點出發，沿折線方向向終點運動，點在邊上的速度為每秒3個單位長度，在邊上的速度為每秒5個單位長度，點不與點和點重合．過點向邊作垂線段，垂足為點，以、為鄰邊作平行四邊形，連結．設點的運動時間為秒．(1)用含的代數式表示的長度(2)當點在邊上運動時，①當點落在邊上時，求出的值；②若是以為腰的等腰三角形，求出的值；(3)作直線，當直線將平行四邊形分成面積比為2：3的兩部分時，直接寫出的值．8．如圖1，四邊形的對角線，相交于點O，．(1)在圖1中，過點A作交于點E，求證：；(2)如圖2，將沿AB翻折得到．①求證：；②若，，求的長．9．宣紙是中國獨特的手工藝品，具有質地綿韌、光潔如玉、不蛀不腐、墨韻萬變之特色，享有“千年壽紙”的美譽，被譽為“國寶”．宣紙制作包括108道工序，其中“打漿”這一工序需要使用工具“碓”（圖1），圖2是其示意圖．為轉動點，，與水平線的夾角，，，當點繞點旋轉下落到上時，線段，旋轉到線段，位置，那么點在豎直方向上上升了多少？10．如圖，在中，，，．動點從點出發，沿折線方向向終點運動，點在邊上的速度為每秒個單位長度，在邊上的速度為每秒個單位長度，點不與點和點重合．過點向邊作垂線段，垂足為點，以、為鄰邊作平行四邊形，連結．設點的運動時間為秒（）．(1)邊的長度為______；(2)當點在邊上運動時．①若與相似，求出的值；②若是以為腰的等腰三角形，求出t的值；(3)作直線，當直線將平行四邊形分成面積比為的兩部分時，直接寫出的值．11．在矩形中，點E，F分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當P為的中點，，時，求的長；(3)如圖3，連接，當P，H分別為，的中點時，探究與的數量關系，并說明理由．12．在中，，，D，E分別是，上的動點，與交于點，連接．(1)如圖1，若，求證：；(2)已知．（i）如圖2；求證：；（ii）如圖3，若，，求的值．13．如圖，是的邊上一點，點在外部，且，，交于點．(1)求證：；(2)如果，求證：①；②．14．如圖，E是矩形中邊上一點，將沿折疊得到，點落在邊上．(1)求證：．(2)若，求的值．15．如圖三角形中，點在線段上，點在線段上，連接，交于點．(1)如圖1，，，平分．若．求的長．(2)如圖2，，，，點，在線段上，且，連接，分別交線段于點，，若點為線段的中點，求證：；(3)如圖3，，，且，，．點，是平面內的兩個動點且，，當最大時，請直接寫出三角形面積的最小值．參考答案1．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，平行線的性質，角平分線的定義，先證明，得，，再運用，得出，，結合勾股定理列式計算，再證明，得出，則，所以，即可作答．正確掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，延長交于點F，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，在中，，∴設，則，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，則，∴.2．(1)①，；②，，理由見解析(2)【分析】（1）①作交于H，證明出，得到，然后得到，進而求解即可；②作交于H，證明出，得到，然后結合即可求解；（2）首先得到是等腰直角三角形，然后證明出，得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）①結論：，，理由：如圖1中，作交于H，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴；②結論：．理由：如圖2中，作交于H，延長，交于點G，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵∴∴；（2）結論：，理由：如圖3中，∵，∴是等腰直角三角形，將繞點逆時針旋轉得到，連接，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，在中，∵，，，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，旋轉的性質等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形．3．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）平行得到，等邊對等角，得到，進而得到，即可得證；（2）過作于，勾股定理求出的長，進而求出的長，角平分線的性質，得到，證明，求出的長，進而得到的長，證明，推出的長，再根據正切的定義，進行求解即可；（3）易證矩形是正方形，設，進而得到，證明，推出的長，勾股定理求出，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵矩形，∴，，，平分．（2）過作于．在矩形中，，，，，，，由（1）得平分，，，，又，，，∵，，∴，，，；（3），矩形是正方形，設，則，由（2）知：，，，∴，，平分，∴，，，，．【點睛】本題考查正方形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質、矩形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．（1）利用矩形的性質和已知條件即可證明；（2）證明，根據相似三角形的性質即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴∵∴．（2）在中，∵，∴∴，∵∴∴．∴，∴，∴．5．(1)(2)存在，當時，(3)存在，當時，點在的平分線上【分析】（1）過點作于點，交于點，當點在的垂直平分線上時，，用等面積法求出，再用含的式子表示、，再利用可求出；（2）連接，過點作于點，先用含的式子表示，再利用，將用含的式子表示，通過面積關系可求出；（3）點在的平分線上，過點作于點，，交的延長線于點，得到，用等面積法求出，再利用求出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，當點在的垂直平分線上時，過點作于點，交于點，四邊形是菱形，對角線，相交于點，，，，，，菱形的面積為，即，，，由題意得：，，四邊形是平行四邊形，，，點在的垂直平分線上，，，，，即，解得：；（2）存在，如圖，連接，過點作于點，，，，，，，即，，，，，，即，，，，，，，整理得：，解得：，當時，；（3）存在，如圖，點在的平分線上，過點作于點，，交的延長線于點，，，，，，，，，即，，當時，點在的平分線上．【點睛】本題考查了菱形的性質，相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，勾股定理，掌握相關知識并正確作出輔助線是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）三角形的外角的性質結合直角三角形的兩銳角互余，即可得證；（2）在上截取，先證明，得到，再證明，得到，根據線段的和差關系即可得出結論；（3）過點作于點，證明，得到，證明為等腰直角三角形，推出，在中，勾股定理定理，求出的長，進而求出的長，分割法求出三角形的面積即可．【詳解】（1）證明：∵，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）在上截取，由（1）知：，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，∴，過點作于點，則：，由（1）知：，∴，∴，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造全等三角形和相似三角形，是解題的關鍵．7．(1)(2)①；②或(3)或【分析】（1）根據點在、上的運動速度和時間t，以及、的長度，分兩種情況表示的長度．（2）①，當點落在邊上時，利用平行四邊形的性質和相似三角形的判定證明，進而可得．進而證明，列出比例式即可求出t的值．②分和兩種情況，根據等腰三角形的性質和相關線段關系求出的值．（3）根據直線將分成面積比為的兩部分，分兩種情況：點在上時，設與交于點，得出，點在上時，設與交于點，延長，交于，結合平行四邊形的性質和相似三角形的性質求出t的值．【詳解】（1）解：在中，根據勾股定理．點在邊上的速度為每秒3個單位長度，當時，，則；當時，點在上，此時．綜上所述，；（2）解：①當點在邊上運動時，當點落在邊上時，如圖：四邊形是平行四邊形，．則，．又因為，．，，，即，解得，那么．，即，，；②當點在邊上運動時，若是以為腰的等腰三角形，當時：如圖所示：，，，；當時：如圖所示：過作于，則．，，，，可得，即，．（3）解：當點在上時，如圖所示：設與交于點，直線將分成面積比為的兩部分，，設，則，，，，，，，，，，，；當點在上時，如圖：設與交于點，延長，交于，直線將分成面積比為的兩部分，，同上可得，，，，點在上時，，，，，，，即，解得，綜上所述，直線將分成面積比為的兩部分時，的值為或．【點睛】本題主要涉及直角三角形的勾股定理、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質以及等腰三角形的性質等數學概念和定理．熟知相關性質定理，正確畫出圖形，結合圖形分類討論是正確解答此題的關鍵．8．(1)證明見解析(2)①證明見解析；②【分析】（1）由題意易得，則有，然后可得，進而問題可求解；（2）①過點A作交于E，交于F，由題意易得，，則有，然后問題可求證；②由題意易得四邊形是平行四邊形，則有，然后可得，進而可得，，最后根據方程進行求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，，，，，，，；（2）①證明：過點A作交于E，交于F，如圖2，由（1）知，．，是翻折得到的，，，，，；②解：，，∴四邊形是平行四邊形，，，，又，，，即，，，即，，，，，，，解得（負值舍去）．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定、平行四邊形的性質與判定、平行線的性質及判定及折疊的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定、平行四邊形的性質與判定、平行線的性質及判定及折疊的性質是解題的關鍵．9．【分析】本題主要考查了旋轉變換，矩形判定和性質，含30度直角三角形性質，勾股定理，相似三角形判定和性質，位似三角形性質等知識，正確作出輔助線，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．連接，過點作于點，過作于點，于點，則四邊形是矩形，則，，得，求出，證明，得，得，得，根據，即得．【詳解】解：設上升的高度為，連接，過點作于點，過作于點，于點，則四邊形是矩形，，，，，于點，，，，，，，．，即，，，．，，．答：點在豎直方向上上升了．10．(1)8(2)①或；②或(3)或【分析】（1）在中，由勾股定理即可求解；（2）①第一種情況，如圖所示，若時，則，得，；第二種情況，如圖所示，，則點在線段上，證，設，則，再證，得到，則，所以，由此即可求解；②第一種情況，如圖所示，，第二種情況，如圖所示，，過點作于點，運用相似三角形的判定和性質求解即可；（3）第一種情況，當點在上時，由題意得到，則，證，得；第二種情況，如圖所示，當點在上時，設點在上運動的時間為秒，設與交于點，過點作，交于點，過點作于點，同理得到，，，即，則，證，得到，代入求解即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，故答案為：；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，①第一種情況，如圖所示，若時，則，∴，∴，解得，；第二種情況，如圖所示，，則點在線段上，∵，∴，且，∴，∴，∴，∴設，則，∵，∴，即，解得，，∴，∴，解得，；綜上所述，或；②第一種情況，如圖所示，，同理，設，則，∴，解得，，∴，∴，解得，；第二種情況，如圖所示，，過點作于點，∴，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，解得，；綜上所述，或；（3）解：第一種情況，當點在上時，在中，，，如圖所示，設與交于點，∵直線將平行四邊形分成面積比為的兩部分，∴，∴，∴，則，∵，∴，∴，解得，；第二種情況，如圖所示，當點在上時，設點在上運動的時間為秒，設與交于點，過點作，交于點，過點作于點，∴，則，∴，，∵直線將平行四邊形分成面積比為的兩部分，∴同理可得，，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查勾股定理，平行四邊形的性質，等腰三角形的定義，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質，數形結合分析，分類討論思想是解題的關鍵．11．(1)見解析(2)(3)，見解析【分析】（1）證明對應角相等，即可得到；（2）根據，求得的長度，從而得出長度；（3）延長，交于一點，連接，先證明，得到相等的邊，再根據，得出大小關系．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形是矩形，，，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，為中點，，設，，在中，，即，解得，，，，，即，，，．（3）解：如圖，延長，交于一點，連接，，分別在，上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，，直線，，，，，是等腰三角形，，為中點，設，，為中點，，，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，，即．【點睛】本題考查了矩形與折疊、相似三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握以上基礎知識是解題關鍵．12．(1)見詳解(2)（i）見詳解；（ii）【分析】（1）由，可得，則，進而可證，則，證明是等腰直角三角形，進而可證．（2）（i）如圖，過點作交的延長線于點，則，證明，則，證明，則，進而可得，即可證明；（ii）證明，則，由，可得，則是等腰直角三角形，設，則，證明，則，由（i）可知，則，即，整理得，可求滿足要求的解為，則，根據，求解作答即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（2）（i）證明：如圖，過點作交的延長線于點，則，，，，，，，又，，，，即；（ii）解：∵，，，，，∴是等腰直角三角形．設，則，，，，，由（i）可知，∴，則，整理得，解得：或（舍去），，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正切等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正切是解題的關鍵．13．(1)詳見解析(2)①詳見解析；②詳見解析【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）由得到，根據“角邊角”推得，即可證得答案；（2）①由，可證，進而可證，然后根據可證；②由，得到，再證明，得到，所以，由此即得答案．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）證明：①，，，，，，，，，，；②∵，，，