2025屆安徽省宿州市泗縣第一中學高三下學期學情調研考試（5月）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．2．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統計繪制如圖，其中各項統計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶3．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．4．已知等差數列的公差不為零，且，，構成新的等差數列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．135．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．6．若將函數的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數在上單調遞增 B．函數的周期是C．函數的圖象關于點對稱 D．函數在上最大值是17．已知角的終邊經過點，則的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或8．若復數（為虛數單位），則（）A． B． C． D．9．已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題11．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知純虛數滿足，其中為虛數單位，則實數等于（）A． B．1 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校初三年級共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓練情況，統計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數據（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個．14．曲線在點（1，1）處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為，則實數=____。15．已知正實數滿足，則的最小值為．16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件0.65元，乙公司規定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據題中數據寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數的平均數和眾數；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為(單位：元)，求的分布列和數學期望；（3）根據題中數據估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.18．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設，∠，∠，將沿折起，構成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數，設為的導數，．（1）求，；（2）猜想的表達式，并證明你的結論．21．（12分）已知函數（為常數）（Ⅰ）當時，求的單調區間；（Ⅱ）若為增函數，求實數的取值范圍.22．（10分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面積為，，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據三角形面積公式得到，可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法.2．D【解析】

根據給出的統計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【點睛】本題主要考查對統計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.3．C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4．D【解析】

利用等差數列的通項公式可得，再利用等差數列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構成等差數列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.5．D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.6．A【解析】

根據三角函數伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據正弦型函數最小正周期的求解可知錯誤；根據正弦型函數在區間內值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增在上單調遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數的性質，涉及到三角函數的伸縮變換、正弦型函數周期性、單調性和對稱性、正弦型函數在一段區間內的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數的圖象來判斷出所求函數的性質.7．B【解析】

根據三角函數的定義求得后可得結論．【詳解】由題意得點與原點間的距離．①當時，，∴，∴．②當時，，∴，∴．綜上可得的值是或．故選B．【點睛】利用三角函數的定義求一個角的三角函數值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r，然后再根據三角函數的定義求解即可．8．B【解析】

根據復數的除法法則計算，由共軛復數的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數的除法計算，共軛復數的概念，屬于容易題.9．D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數的圖像，利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數中恒成立問題，利用了數形結合的思想，屬于難題.10．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．11．C【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的解法是解決本題的關鍵．12．B【解析】

先根據復數的除法表示出，然后根據是純虛數求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的除法運算以及根據復數是純虛數求解參數值，難度較易.若復數為純虛數，則有.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據數據先求出，再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數為.故答案為：.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.14．或1【解析】

利用導數的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與軸和的交點，由三角形的面積公式可得所求值．【詳解】的導數為，可得切線的斜率為3，切線方程為，可得，可得切線與軸的交點為，，切線與的交點為，可得，解得或。【點睛】本題主要考查利用導數求切線方程，以及直線方程的運用，三角形的面積求法。15．4【解析】

由題意結合代數式的特點和均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據此可知：的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．16．【解析】

根據垂直向量的坐標表示可得出關于實數的等式，即可求得實數的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數，涉及垂直向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）平均數為360，眾數為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數據相加，再除以總的天數10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數的平均數．從中發現330出現的次數最多，故為眾數；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數的平均數為.眾數為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.18．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)取AB的中點O，連接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O?平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，設平面的法向量為=()，則，即，代入坐標得，令，得，，所以，設平面的法向量為=（），則，即，代入坐標得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，，如下圖所示：因為，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，，，，則，，.設平面的法向量，則即令，則，，故.設平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.20．,；，證明見解析【解析】

對函數進行求導,并通過三角恒等變換進行轉化求得的表達式,對函數再進行求導并通過三角恒等變換進