2024-2025學年江蘇省無錫市高二下學期3月月考數學檢測試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．）1.下列關于求導正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據基本初等函數的求導公式，以及復合函數的求導法則，可得答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C2.函數在點處的切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】求導，根據導數的幾何意義求切線方程，進而可得交點坐標和面積.【詳解】因為，則，可得，即切點坐標為，切線斜率為2，則切線方程為，其與x軸交點為，所以切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為.故選：B.3.已知函數，則（）A. B. C.e D.【正確答案】D【分析】求出函數的導數，再利用導數的定義求得答案.【詳解】函數，求導得，所以.故選：D4.已知函數有極值，則c的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求導得，則，由此可求答案．【詳解】解：由題意得，若函數有極值，則，解得，故選：A．5.函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【詳解】原函數先減再增，再減再增，且位于增區間內，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續分布于軸上下方，則為原函數單調性的拐點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數的正負，得出原函數的單調區間．6.已知某個函數的部分圖象如圖所示，則這個函數的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據函數單調性、特殊區間上函數值的正負，以及函數的極限，特殊值，函數增長趨勢，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，當時，，故，由圖可知，當時，所求函數的函數值為正數，故A錯誤；對B：，當趨近于時，趨近于，與圖象不符；也可以如下解釋：當時，，又，故恒成立，與圖象不符，故B錯誤；對C：，當時，，又，則，故，而由圖可知，當時，所求函數的函數值大于1，故C錯誤；對D：，，故當時，，，函數單調遞減；當時，，，，函數單調遞增；當時，，故該函數在處取得極小值，與圖象相符，且函數增長趨勢也和圖象相符，故D正確；故選：D.7.函數有三個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據條件，將問題轉化成與有三個交點，再利用導數與函數單調性間的關系，求出的單調區間，進而可得出的圖象，數形結合，即可求解.【詳解】因為，易知，所以0不是零點，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當時，，時，，時，，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，又易知，當，且時，，時，，當時，時，，且，當時，時，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個交點，所以，故選：A.8.已知函數的定義域為，且，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題設不等式整理后構造函數滿足，得出在上單調遞增，整理待求不等式，利用函數的單調性即可求得.詳解】由可得，即，設，，則由可得，在上單調遞增.又，由可得，，即，解得.故選：A.關鍵點點睛：本題主要考查利用構建函數的單調性求抽象不等式的解集的問題，屬于難題.解題的關鍵在于觀察已知不等式和題設不等式的組成，提煉出構造函數的基本形式，結合函數定義域和函數值等條件，利用單調性求解抽象不等式.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知函數，則（）A.的極值點為 B.的極大值為C. D.只有1個零點【正確答案】BCD【分析】對函數求導，利用函數單調性求極值即可判斷A、B；利用函數單調性即可判斷C；令函數等于0，求出零點即可判斷D.【詳解】∵函數，∴，由，得，解得，由，得，解得，∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴是函數的極大值點，函數在上取得極大值，，故A錯誤，B正確；由，得，又∵函數在上單調遞減，∴，即，故C正確；由，得，得，即函數只有一個零點，故D正確故選：BCD.10.下列不等式正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【正確答案】ABD【分析】根據選項中的不等關系可構造對應的函數，利用導數可求得函數的單調性和最值，從而得到選項中不等關系的正誤.【詳解】對于A，令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，即當時，，A正確；對于B，令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，即當時，，B正確；對于C，令，則，由A知：，即恒成立，在上單調遞增，又，當時，；當時，；即當時，；當時，，C錯誤；對于D，令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，即當時，，D正確.故選：ABD.11.英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代法，做法如下：如圖，設是的根，選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，則與軸的交點的橫坐標，稱是的一次近似值；這點作曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法．若使用該方法求方程的近似解，則（）A.若取初始近似值為1，則該方程解的二次近似值為B.若取初始近似值為2，則該方程解的二次近似值為C.D.【正確答案】ABD【分析】根據牛頓迭代法求方程近似解的方法，將初始值代入公式計算即可求解.【詳解】令，則，當，，，故A正確；當，，，故B正確；因為；；；，∴，故D正確，C錯誤.故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．）12.函數的導數______．【正確答案】【分析】利用導數運算法則求解即得.【詳解】函數，求導得.故13.已知函數滿足，則___________.【正確答案】##【分析】對求導，再代入，進行求解.【詳解】，，即，解得：故14.已知函數在處有極大值，則______.【正確答案】分析】求出導函數，由求得值，然后對所得結果加以檢驗即可．【詳解】由已知，可得，令，解得或，由可得，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數上單調遞增，不是極大值點，舍去；由可得，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，所以是函數的極大值點．綜上．故．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.（1）已知曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點，求的值；（2）曲線在點處的切線與直線平行，求的值；【正確答案】（1）0或；（2）1.【分析】（1）先求得曲線在點處的切線方程，再分和，由切線方程與曲線聯立求解；（2）由，求導，得到在點處的切線的斜率為2a，然后根據題意，由求解.【詳解】（1）由，得，則，所以曲線在點處的切線方程為，即，當時，由，解得，所以曲線在點處的切線與曲線只有一個公共點；當時，由，得，由，解得，符合題意；綜上：實數的值為0或；（2）由，得，則在點處的切線的斜率為2a，因為曲線在點處的切線與直線平行，所以，解得.16.已知函數（1）判斷函數的單調性，并求出的極值；（2）畫出函數的大致圖像并求出方程的解的個數．【正確答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值；（2）當時，有個解；當或時，有個解；當時，有個解.【分析】（1）直接對于求導，判斷單調性，進而求解極值；（2）由（1）的單調性與極值，最值，畫出函數圖像，利用數形結合求出的解的個數.【小問1詳解】由題意可知，的定義域為，則，令，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增.所以故;【小問2詳解】由（1）可知作出函數圖像，由圖，當時，方程的解個數為個；當或時，方程的解個數為個；當時，方程的解個數為個.17.已知函數．（1）若是的極值點，求函數的單調性；（2）在（1）的條件下，當時，求的最值．【正確答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增．（2）最小值為，最大值為．【分析】（1）求出原函數的導函數，結合求得，代入導函數，得到，再由在上單調遞增，且時，可得當時，，單調遞減；當x＞1時，，單調遞增；（2）由（1）可知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增,計算可得，計算，，比較大小可得最大值.【小問1詳解】因為是的極值點，所以，可得．所以，.因為在上單調遞增，且時，，所以時，，，單調遞減；時，，，單調遞增．故在上單調遞減，在上單調遞增．【小問2詳解】在（1）的條件下，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，在上單調遞減，在上單調遞增．求，，，，∴.所以，當時，求的最小值為，最大值為．18.福州某公園有一個半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗荷花美景，公園管理處計劃在半圓形荷花池中設計棧道觀景臺和棧道、、、，觀景臺在半圓形的中軸線上（如圖，與直徑垂直，與不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知米，，棧道總長度為．（1）求關于的函數關系式．（2）若棧道的造價為每米千元，問：棧道長度是多少時，棧道的建設費用最小？并求出該最小值．【正確答案】（1），（2）棧道長度是時建設費用最小，最小值為千元【分析】（1）根據三角函數的概念分別求、、的長度即可；（2）求出的導函數，得到函數的單調性，進而即可求出最值.【小問1詳解】因為在半圓形的中軸線上，，米，，所以，，所以，所以棧道總長度，.【小問2詳解】由（1）得，，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當，即時，棧道的建設費用最小，建設費用最小值為千元.19.已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【正確答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發現式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區間；（2）根據第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，即，故沒有零