2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題考生注意1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在試題卷、草稿紙上作答無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=（）A. B.C. D.2【正確答案】C【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意可得，所以，所以.故選：C2.cos420°+sin330°等于A.1 B.0 C. D.﹣1【正確答案】B【詳解】試題分析：考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及求值3.已知是銳角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于的正角 D.第一或第二象限角【正確答案】C【分析】根據(jù)是銳角求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【詳解】因?yàn)槭卿J角，所以，所以，滿足小于的正角.其中D選項(xiàng)不包括，故錯(cuò)誤.故選：C.4.已知向量則ABC=A.30 B.45 C.60 D.120【正確答案】A詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【考點(diǎn)】向量的夾角公式．【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題．5.已知，則與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)與方向相反的單位向量為求解即可.【詳解】因?yàn)椋耘c方向相反的單位向量的坐標(biāo)為，故選：D6.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式：（，為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，可知（）A. B.1 C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)所給公式，變形整理化簡即可.【詳解】由題意可知，.故選：A7.若角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊以原點(diǎn)為圓心的單位圓交于點(diǎn)，且，則等于A.-2 B.-1 C. D.2【正確答案】B【詳解】由題意可得，則，應(yīng)選答案B．8.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】延長到，使得，利用向量加法的平行四邊形法則作圖，再求出面積關(guān)系即可.【詳解】延長到，使得，以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，則，由，得，則，由，得，因此，所以與的面積比為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分.）9.下列命題中正確的是（）A.已知平面向量，，則與共線B.已知平面向量，滿足，在上的投影向量為，則的值為2C.已知復(fù)數(shù)滿足，則D.已知復(fù)數(shù)，滿足，則【正確答案】BC【分析】求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷A；利用投影向量的定義可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念以及共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算可判斷C；舉反例可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A，，因?yàn)椋瑒t與不共線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋裕忠驗(yàn)椋裕蔬x項(xiàng)B正確；對于C，設(shè)，因?yàn)椋裕矗裕蔬x項(xiàng)C正確；對于D，令，，則，但，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.若，則或B.是函數(shù)的一條對稱軸C.D.若，則在方向上的投影向量的模為【正確答案】CD【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及平面向量向量積的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可得到本題答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋曰颍蛘撸蔄錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸方程為，且，所以不是函數(shù)的對稱軸，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)的夾角為，因?yàn)椋裕栽诜较蛏系耐队跋蛄浚哪＃蔇正確.故選：CD11.如圖，在梯形中，分別在線段上，且線段與線段的長度相等，則（）A.的最小值為 B.的最大值為18C.的最大值為 D.的面積的最大值為【正確答案】BCD【分析】利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，再求解二次函數(shù)最值即可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對于A,B，，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故C正確；對于D，面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故D正確．故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.）12.復(fù)數(shù)3－5i,1－i和－2＋ai在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為________．【正確答案】5【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，又三點(diǎn)是共線的，所以．13.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，角的頂角是原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且.將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn).若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.【正確答案】【分析】設(shè)．由三角函數(shù)定義，得，由此利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再根據(jù)利用兩角和的余弦公式求得結(jié)果．【詳解】設(shè)．由三角函數(shù)定義，得

，．

因?yàn)?/p>

，，所以．

所以

即答案為.本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．14.如圖，中，為中點(diǎn)，為圓心為、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由向量的運(yùn)算得出，再由的范圍得出的取值范圍.【詳解】，且.即設(shè)與的夾角為，則.因?yàn)椋?故四、解答題（本題共5小題，共77分.其中第15題13分，第16～17題15分，第18～19題17分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，（1）求值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，列式求出值.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】由是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，得，所以.【小問2詳解】由（1）得，由，得，而，令，得函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.16.若，，．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若與的夾角為，求實(shí)數(shù)m的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）對和兩邊分別平方化簡可求出實(shí)數(shù)m的值；（2）先求出，，再利用向量的夾角公式列方程求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋裕茫桑茫裕淼茫驗(yàn)椋浴拘?詳解】因?yàn)椋裕桑茫瑒t，所以，因?yàn)榕c的夾角為，所以，，解得，因?yàn)椋?7.某地?cái)M在一個(gè)U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個(gè)封閉區(qū)域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點(diǎn)M處分別向點(diǎn)E，N拉2條分隔線ME，MN，將所圍區(qū)域分成3個(gè)部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設(shè)所拉分隔線總長度為l．（1）設(shè)∠AME=2θ，求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；（2）求l的最小值．【正確答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a．【分析】（1）設(shè)MN=x，根據(jù)AM+BM=a，求出x=,再求得l=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求l的最小值．【詳解】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，設(shè)MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l(xiāng)=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)，取得最大值，此時(shí)lmin=2a．本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查三角恒等變換和直角三角函數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18.如圖，在平面四邊形中，，，，，、分別是，的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且.設(shè)，.（1）若，以，為基底表示向量與；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算可求得向量與；（2）先表示向量，再運(yùn)用向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得，從而可求得取值范圍.【小問1詳解】解：，所以；因?yàn)椋裕裕弧拘?詳解】解：，所以，又，，，所以，所以因?yàn)椋裕裕缘娜≈捣秶鸀?19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量的坐標(biāo)；（2）記向量的伴隨函數(shù)為，當(dāng)且時(shí)，求的值；（3）設(shè)向量，的伴隨函數(shù)為，的伴隨函數(shù)為，記函數(shù)，求在上的最大值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）化簡的解析式，從而求得伴隨向量；（2）先求得，由求得，進(jìn)而求得，從而求得；（3）先求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的值域與二次函數(shù)最值分類討論求解即可.【小問1詳解】解：，所以.【