南安市2024－2025學年度上學期初中期末教學質量監測初三年數學試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）友情提示：所有答案必須填寫在答題卡相應的位置上.學校班級姓名考號一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．3．要使二次根式有意義，的值可以是A． B．1 C．2 D．44．利用位似可以設計有立體感的美術字．如圖，以點為位似中心，設計“”中字母“”美術字的一種方法．若，，則的值為A．B．C．D．5．將方程化成的形式，則的值為A． B． C．0 D．46．數學課上，李老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中有4個黑球、3個白球、2個藍球和1個紅球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某一顏色的球出現的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是A．黑球 B．白球 C．藍球 D．紅球7．如圖，小紅同學用帶有刻度的直尺在數軸上作圖，若圖中的虛線相互平行，則點表示的數是A． B． C． D．8．中華優秀傳統文化中蘊含著鼓勵勞動、贊美勞動、勞動創造美好生活的內容，比如《大戴禮·武王踐祚·履屢銘》中記載：“慎之勞，則富．”《國語·魯語》中記載：“夫民勞則思，思則善心生．”如圖是某學校的學生勞動實踐基地，有三條同寬的矩形道路，除道路外，剩下的是種植面積．已知該矩形基地的長為32米，寬為20米，種植面積為570平方米，設勞動實踐基地的道路寬為米，則可列方程A． B．C． D．9．在學習完銳角三角函數后，小明想利用簡單的工具求一電線桿的高度．如圖，是電線桿的一根拉線，用皮尺量得米，用測角儀測得，則電線桿的高度為A．米 B．米 C．米 D．米10．已知是關于的一元二次方程的一個實數根，且滿足，則的值為A． B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．若，則的值為．12．杜牧《清明》詩中寫道“清明時節雨紛紛”，從數學的觀點看，詩句中描述的事件是事件．（填“必然”、“不可能”或“隨機”）13．如圖，已知傳送帶與地面所成坡面的坡度為，它把物體從地面點送到離地面2米高的點處，則物體從到所經過的路程為米．14．如果最簡二次根式與是同類二次根式，則．15．如圖，在△中，點是△的重心，連結并延長交于點，過點作交于點，如果，那么．16．如圖，正方形中，點、分別是、的中點，交于點，連結并延長交于點，與對角線交于點，現有以下列結論：①；②；③；④；其中正確結論有．（填寫所有正確結論的序號）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．18．（8分）解方程：．19．（8分）有四張形狀和大小完全一樣的卡片，正面分別寫有“決”“勝”“中”“考”，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取兩張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到的兩張卡片中有“勝”卡片的概率．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△的頂點均在網格格點上．（1）以點為位似中心，在第一象限畫出△的位似圖形△，使△與△的相似比為；（2）在（1）的條件下，若每個小正方形的面積為1，請直接寫出△的面積．21．（8分）?2024年11月16日英都坂頭蘆柑園正式開園采摘，其果肉細膩柔軟，汁水豐盈，酸甜度恰到好處，既不過于甜膩，又非酸澀，具有獨特的清新香氣，令人回味無窮，深受消費者喜愛．某水果店以批發價40元箱的價格購進一批?坂頭蘆柑，若以50元箱的零售價出售，則每天可售出20箱．為了更好地促進鄉村經濟發展，該水果店決定降價銷售．經調查發現，每箱的售價每降價1元，每天可多售出5箱．該水果店想要每天通過銷售坂頭蘆柑盈利240元，又要盡可能讓顧客得到實惠，應將每箱蘆柑的售價降低多少元？22．（10分）已知關于的一元二次方程滿足．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）若一元二次方程的兩實根為，，且，請確定之間的數量關系．23．（10分）為了保護視力，某人購買了可升降夾書閱讀架（圖1），將其放置在水平桌面上的側面示意圖（圖2），測得面板長為cm，底座高為cm，，支架為cm，為cm．（厚度忽略不計）（1）求支點離桌面的高度（結果保留根號）；（2）通過查閱資料，當面板繞點轉動時，面板與桌面的夾角滿足時，能保護視力．當從變化到的過程中，問面板上端離桌面的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少cm？請說明理由．（結果精確到cm，參考數據：，，，，24.（12分）綜合與實踐【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們開展了“折疊矩形紙片做角”的探究活動，先將矩形紙片按如圖1上下對折，折痕為；點是線段上的點，再把△按如圖2沿折疊，使點剛好落在上的點，連結，，則.活動后，老師鼓勵同學們能通過折疊手中的矩形紙片發現并提出新的問題.【活動猜想】（1）小華受此問題啟發，將準備的一張A4紙（生活常識：一張A4紙寬為cm，長為cm），按如圖3的方式把△沿折疊得到△，經觀察后得到猜想：當，，三點共線時，△是一個特殊的三角形.請直接寫出：△是_______________三角形；【探究遷移】（2）如圖4，小明和小亮把△沿折疊，使點的對應點落在上，連結，發現并提出新的探究點：①若，，求的長；②當，，三點共線時，求sin的值．25.（14分）如圖，在Rt△中，，，，是線段上的點，且滿足tan，將線段繞點逆時針旋轉得到，連結.（1）求證：；（2）連結交線段于點，求的值；（3）點在直線上，當時，求的長.

南安市2024－2025學年度上學期初中期末教學質量監測初三年數學參考答案及評分標準說明：（一）考生的正確解法與“參考答案”不同時，可參照“參考答案及評分標準”的精神進行評分．（二）如解答的某一步出現錯誤，這一步沒有改變后續部分的考查目的，可酌情給分，但原則上不超過后面應得的分數的二分之一；如屬嚴重的概念性錯誤，就不給分．（三）以下解答各行右端所注分數表示正確做完該步應得的累計分數．（四）評分最小單位是1分，得分或扣分都不出現小數．一、選擇題（每小題4分，共40分）1．A2．C3．D4．A5．B6．C7．B8．D9．B10．A二、填空題（每小題4分，共24分）11．12．隨機13．14．15．16．①③④三、解答題（共86分）17．（8分）解：原式＝ 6分＝ 8分18．（8分）解： 1分 2分 4分 6分∴解得 8分19．（8分）解：由題可得： 5分共有12種等可能的結果 6分其中抽出的卡片中有“勝”的結果有6種 7分∴． 8分20．（8分）解：（1）如圖所示，△即為所求． 5分∴點（2）△的面積為12． 8分21．（8分）解：設每箱?蘆柑降低元，則每箱?蘆柑的銷售利潤為元，平均每天可售出箱 1分根據題意得： 4分整理得：解得：，， 6分∵盡可能讓顧客得到實惠∴ 7分答：應將售價降低4元． 8分22．（10分）解：（1）∵∴ 1分∴ 2分∵是關于的一元二次方程∴ 3分∴，又∴ 4分∴方程總有兩個不相等的實數根． 5分（2）∵方程的兩實根為；，∴，， 6分又∵，∴， 7分∴ 8分∵∴，整理得：∴∴之間的數量關系為． 10分23．（10分）解：（1）如圖2，作于點，作于點，∴，，……1分在△中，，∴cm，………2分∴cm，……………3分∴支點離桌面的高度為cm； 4分（2）當面板與桌面夾角從變化到的過程中，面板上端離桌面的高度隨之增加，增加了8cm，理由如下：如圖3，延長交于點，，過作于點，=24cm，=6cm，cm，①當時，在△中，，∴，∴cm， 5分∴cm，在△中，，∴cm， 6分②當時，在△中，，∴，∴cm， 7分∴cm，在△中，，∴cm， 8分∴cm， 9分答：當面板與桌面夾角從變化到的過程中，面板上端離桌面的高度隨之增加，增加了cm． 10分24．（12分）（1）△是等腰直角三角形 3分（2）①如圖4，過點作于點，在Rt△中， 4分由△沿折疊得到△，則△≌△∴ 5分∵∥∴△∽△∴，即∴∴ 6分在Rt△中，． 7分②當，，三點共線時，如圖5，由△沿折疊得到△，則△≌△∴， 8分設∵∥∴∴∴， 9分∵∥∴△∽△∴ 10分即解得 11分在Rt△中，sin． 12分25.（14分）（1）證明：如圖1，在Rt△中，∵tan，∴， 1分由旋轉的特征，得：∴ 2分在△和△中∴△≌△ 3分∴∴ 4分（2）解：如圖2，過點作∥交于點∴△∽△∴，即∴ 5分由（1）知∥，∴∥∴