專題13.3線段垂直平分線的性質和判定【七大題型】

【人教版】

【題型?線段垂直平分線的性質在求線段中的應用】...............................................1

【題型2線段垂直平分線的性質在求角中的應用】.................................................6

【題型3線段垂直平分線的性質在實際中的應用】................................................10

【題型4線段垂直平分線的性質的綜合運用】....................................................12

【題型5線段垂直平分線的判定】...............................................................17

【題型6線段垂直平分線的作法】..............................................................20

【題型7線段垂直平分線的判定與性質的綜合】..................................................23

”。手三

【知識點1線段垂直平分線的性質】

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1線段垂直平分線的性質在求線段中的應用】

【例1】（2022秋?南召縣期末）已知：如圖，/84C的平分線與BC的垂直平分線相交于點P,PELAB,

PF±AC,垂足分別為E、F.若AB=8,AC=4,則AE=6.

【分析】首先連接尸從PC,由/84c的平分線與8c的垂直平分線相交于點P,PELAB,PFLAC,易

得PE=PF,PB=PC,繼而證得AE=AF,又由A8=8,AC=4,即可求得答案.

【解答】解：連接P8,PC,

???點〃在8c的垂直平分線上，

[PB=PC,

???AC平分/8AC,PELAB,PF1AC,

:?PE=PF,NPEB=NPFC=9U°,

ZAPE=NAPF,

/.AE=AF,

在RtAPBE和RtAPCF中，

\PB=PC

[PE=PF'

/.RtAPfiE^RtAPCF(HL),

：.8E=CF,

,：AB=AE+BE,AF=AC+CF,

：.AB=AC+CF+I^E,

VAB=8,AC=4,

:.BE=CF=2,

：,AE=AC+CF=6.

故答案為：6.

【變式1-1］（2022秋?潮安區期中）如圖，在△46C中，N48C=45°,CQ_LA3于點。，AC的垂直平分

線BE與CD交于點F,與AC交于點E.

（1）判斷△OBC的形狀并證明你的結論.

（2）求證：BF=AC.

（3）試說明CE=\BF.

【分析】（1）根據已知條件得到N8CO=45°,求得5O=C。，于是得到結論；

（2）根據全等三角形的性質和判定即可得到結論；

（3）根據線段垂克平分線的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）△O8C是等腰直角三角形，

理由：VZABC=45°,CDLAB,

AZBCD=45°,

:?BD=CD,

???△34C是等腰直角三角形；

（2）VBE1AC,

：.ZBDC=ZBEC=9OC,

?：4BFD=/CFE,

:?NDBF=ZACD,

在△〃￡>/與△CD4中，

[Z.BDC=Z-ADC=90°

{/.DBF=匕DCA,

iBD=CD

:.△BDF@/\CDA,

：.BF=ACx

（3）???BE是AC的垂直平分線，

：.CE=^AC,

：.CE=^BF.

【變式1-2]（2022秋?廬陽區期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,/A=22.5°,斜邊AB的垂直

平分線交AC于點。，點廠在AC上，點E在8c的延長線上，CE=CF,連接8F,DE.線段。上和

在數量和位置上有什么關系？并說明理由.

AB

【分析】連接8D,延長8尸交。E于點G,根據線段的垂直平分線的性質得到4。=89,求出NCB/）=

45°,證明△ECDW△fC8,根據全等三角形的性質解答即可.

【解答】解：DE=BF,DE1BF.理由如下：

連接4。，延長8產交。￡于點G.

???點D在線段A8的垂直平分線上，

1?AD=BD,

/.ZABD=ZA=22.5°.

在RtZ\A8c中，VZACI3=W，NA=22.5°，

AZABC=67.5°,

，ZCBD=ZABC-ZABD=45°,

???△BCD為等腰直角三角形，

：.BC=DC.

在△ECD和△/CB中，

CE=CF

乙DCE=乙BCF,

【CD=CB

ARtAECD^RtAFCT(SAS),

:?DE=BF,NCED=NCFB.

?：/CFB+/CBF=90°,

AZCEZHZCZ?F=90°，

【變式1-3］（2022秋?海珠區校級期中）是等邊三角形，。是三角形外一動點，滿足NAD8=60°.

（1）如圖①，當。點在AC的垂直平分線上時，求證：DA+DC=DB；

（2）如圖②，當。點不在AC的垂直平分線上時，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由.

圖①圖②

【分析】（1）由。點在AC的垂直平分線上，可得AO=CO,又由乙4Q8=60°,△A8C是等邊三角形,

可得△A3。是含30°角的直角三角形，繼而證得結論；

（2）首先在上截取O￡=AO,可證得△%￡）￡：是等邊三角形，又由△A3C是等邊三角形，易證得△

BAE^ACAD（SAS）,繼而證得結論.

【解答】證明：（1）點在AC的垂直平分線上,

：,AD=CD,

：.ZDAC=ZDCA,NADB=NCD3=60",

r.ZDAC=30°,

???△ABC是等邊三角形，

???NB4C=60°,

ZBAD=90°,

AZABD=90°-/AOB=30°,

:.BD=2AD=AD+CD；

(2)成立.

理由：在。3上截取。￡=A。，

VZ/4DZ?=60°,

???△4QE是等邊三角形，

：,AE=AD,ZEAD=60°,

???△ABC是等邊三角形，

：,AB=AC,N84C=6()°,

:?NBAE=NCAD,

在△%!￡：和△C4。中，

AB=AC

Z-BAE=Z.CAD>

AE=AD

.,.△BAE^ACAD(SAS),

:.BE=CD,

???BD=DE+BE=AD+CD.

圖②

【題型2線段垂直平分線的性質在求角中的應用】

【例2】（2022秋?周村區校級期中）如圖,線段A3,OE的垂直平分線交于點C,且NABC=NEDC=72：

ZAEB=92°,則NE8。的度數為()

A.168°B.158°C.128°D.118°

【分析】連接CE，依據線段AB,OE的垂直平分線交于點C,可得C4=CB,CE=CD,判定△ACEg

△BCD,可得NAEC=NBQC,設NAEC=NBQC=a,則NBZ)E=72°-a,NCEB=92°-a,/BED

=/DEC-NCEB=72°-(92°-a)=a-20°,即可得到△BDE中，ZEBD=180°-(72°-a)

-(a-20°)=128°.

【解答】解：如圖，連接CE,

???線段48,DE的垂直平分線交于點C,

1.CA=CB,CE=CD,

,/ZABC=ZEDC=72°=/DEC,

???NACB=NECD=36°,

/.NACE=/BCD,

在△ACE和△BCQ中，

CA=CB

Z.ACE=乙BCD,

CE=CD

：.AACE^ABCD(SAS),

???ZAEC=ZBDC,

設N4EC=N8OC=a,則NBDE=72°-a,ZCEB=92°-a,

AZBED=ZDEC-ZCEB=72°-(92°-a)=a-20°,

?二△BOE中，/EBO=I80°-(72°-a)-(a-20°)=128°,

故選：C.

A

【變式2-1］（2022秋?龍馬潭區校級月考）如圖，已知銳角△ABC中，AB.4c邊的中垂線交于點O,NA

=a（00<a<90°）,

（1）求N80C；

（2）試判斷NA4O+NAC8是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由.

【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到人O=BO=C。，根據等腰三角形的性質得到NO/18=N

OBA,ZOCA=ZOAC,根據周角定義即可得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到N03C=N0C3,于是得到NO8C=90°-a,根據三角形的內角和即

可得到結論.

【解答】解：（1）連接AO,

：.AO=BO=CO,

：?/OAB=NOBA,ZOCA=ZOAC,

AZAOB+ZAOC=(180°-^OAB-NOBA)+(180°-ZOAC-ZOCA),

：.ZA()B+ZA()C=(180°-2ZOAB)+(1800-2ZOAC)=360°-2(ZOAB+ZOAC)=360°-2

NA=360°-2a,

???N3OC=360°-(NAO3+/AOC)=2a：

(2)NA8O+NAC8為定值，

a：BO=CO,

：./OBC=/OCB,

?：ZOAB=ZOBA,NOCA=/CMC,

：

.^OBC=-2(1800-2NBAC)=90°-a,

VZABO+ZACB+ZOBC+ZBAC=ISO°,

AZABO+ZACB=\SOa-a-(900-a)=90°.

【變式2-2](2022秋?西湖區期末)如圖，線段A8,BC的垂直平分線人辦相交于點。.若/1=40°,

則乙4。。=()

【分析】連接BO,并延長BO到P,根據線段的垂直平分線的性質得AO=OB=OC和NBDO=NBEO

=90°,根據四邊形的內角和為360°得NOOE+N48c=180°,根據外角的性質得NAOP=NA+N

ABO,ZCOP=ZC+ZOBC,相加可得結論.

【解答】解：連接BO,并延長80到P,

：.AO=OB=OC,/BDO=/BEO=90°,

???/￡)OE+N48c=180°，

VZDOE+Z1=180°,

AZABC=Z1=40°,

?：OA=OB=OC,

???NA=NAB。，NO8C=NC,

???N4OP=NA+NAB。，NCOP=NC+NOBC,

AZAOC=ZAOP+ZCOP=ZA+ZABC+ZC=2X40°=8(T；

故選：B.

【變式2-3](2022春?金牛區校級期中)已知：△人BC是三邊都不相等的三角形，點P是三個內角平分線

的交點，點O是三邊垂直平分線的交點，當P、O同時在不等邊△A4C的內部時，那么N5OC和N/3PC

的數量關系是：N8OC=4//3PC-360,.

【分析】根據三角形角平分線的性質以及三角形內角和定理，即可得到NB4C=2NBPC-180°；再根

據三角形垂直平分線的性質以及三角形內角和定理，即可得到N8OC=2N84C,進而得出/8OC和/

BPC的數量關系.

【解答】解：TBP平分NA8C,CP平分/AC3,

JNPBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

/.ZBPC=180°-(NPBC+NPCB)

=180°-(^ZABC+^ZACB)

22

=180°--(N4BC+NAC8)

2

=180°--(180°-ZBAC)

2

=90°+-ZBAC,

2

即N54C=2N3尸。?1800；

如圖，連接4。.

???點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，

：.OA=OB=OC,

：.ZOA13=ZOBA,ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCI3,

???NAO8=180°-2ZOAB,/AOC=180°-2ZOAC,

???NBOC=360°-(/AO8+/AOC)

=360°-(180°-2NOAB+1800-2ZOAC),

=2ZOAB+2ZOAC

=2ZBAC

=2(2NBPC-180°)

=4ZBPC-360°,

故答案為：4NBPC-360°.

【題型3線段垂直平分線的性質在實際中的應用】

【例3】（2022秋?甘井子區期末）如圖，電信部門要在公路/旁修建一座移動信號發射塔.按照設計要求,

發射塔到兩個城鎮M,N的距離必須相等，則發射塔應該建在（）

\\

3V

B、、D

A.八處B.8處C.C處D.。處

【分析】根據線段垂直平分線的性質得出即可.

【解答】解：

根據作圖可知：E尸是線段MN的垂直平分線，

所以E/上的點到M、N的距離相等，

即發射塔應該建在C處，

故選：C.

【變式3?1】（2022春?渾南區期末）有A、B、。三個不在同一直線上的居民點，現要選址建一個新冠疫苗

接種點方便居民接種疫苗，要求接種點到三個居民點的距離相等，接種點應建在（）

A.△A8C的三條中線的交點處

B.△ABC三邊的垂直平分線的交點處

C./XABC三條角平分線的交點處

D.△人8c三條高所在直線的交點處

【分析】根據線段垂直平分線的性質可得到正確選項.

【解答】解：???線段垂直平分線的點到線段兩段點的距離相等，

???△A3C三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離用等.

故選：B.

【變式3-2］（2022春?武功縣期末）如圖，兔子的三個洞口A、B、C構成△4BC,獵狗想捕捉兔子，必須

到三個洞口的距離都相等，則獵狗應蹲守在△ABC（）

B.三條高的交點

C,三條邊的垂直平分線的交點

D.三個角的角平分線的交點

【分析】用線段垂直平分線性質判斷即可.

【解答】解：獵狗到3c三個頂點的距離相等，則獵狗應蹲守在△4臺。的三條邊垂直平分線的交點.

故選：C.

【變式3-3】如圖，電信部門要在S區修建一座電視信號發射塔.按照設計要求，發射塔到兩個城鎮A,B

的距離必須相等，到兩條高速公路，〃和〃的距離也必須相等.發射塔應該修建在（）

A.N1的平分線和線段48的交點處

B.N1的平分線和線段A8的垂直平分線的交點處

C.22的平分線和線段A8的交點處

D.Z2的平分線和線段AB的垂直平分線的交點處

【分析】由線段垂直平分線的性質可知：要兩個城鎮4,8的距離，發射塔必須建在線段AB的垂直平分

線上，再根據角平分線的性質可知要到兩條高速公路，〃和〃的距離相等需要建在N1的平分線上，即可

知發射塔要在兩線的交點位置.

【解答】解：要兩個城鎮八，B的距離，發射塔必須建在線段/W的垂直平分線上，要到兩條高速公路〃?

和〃的距離相等需要建在/I的平分線上，

???發射塔應該修建在N1的平分線和線段A8的垂直平分線的交點處.

故選：B.

【題型4線段垂直平分線的性質的綜合運用】

【例4】（2022秋?廣陵區校級月考）在△ABC中，NA=120°,48的垂直平分線交8c于M,交AB于E,

4c的垂直平分線交于M交AC于F,

（1）如圖（1）,連接AM、AN,求NM4N的度數；

（2）如圖（2）,如I果AB=AC,求證：BM=MN=

圖1

VC.圖2

【分析】(I)由在△A8C中，NBAC=I3O°,可求得/C+/8的度數，然后由A8、AC的垂直平分線

分別交3C于點M、N,根據線段垂直平分線的性質，可得8M=AM,CN=AN,即可得NCAN=NC,

NBAM=NB,繼而求得NC4V+NBAM的度數，則可求得答案；

(2)先求出△8MA與△CNA是等腰三角形，再證明為等邊三角形即可.

【解答】⑴解:

VZBAC=120°,

.,.ZB+ZC=60°,

由(I)證得BM=AM,CN=AN,

:?/C=4CAN,/B=NBAM,

：.ZCAN+ZBAM=ZC+Z8=60°,

AZMA/V=120°-60°=60°；

(2)證明:

???48的垂直平分線交8c于M,交AB于E,AC的垂直平分線交8c于M交AC于F,

???BM=AM,CN=AN，

；?NMAB=NB,NC4N=NC,

VZBAC=I2O°,AB=AC,

AZB=ZC=30°,

AZBAM+ZCAN=6()°,NAMN=NANM=60°,

△4MN是等邊三角形，

：.AM=AN=MN,

:?BM=MN=NC.

【變式4-1](2022秋?鄂托克旗期中)如圖，在△A8C中，OE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC

于。，連接BD.

(1)若NABC=NC,NA=40。，求/OBC的度數；

(2)若AB=AC,且△BCO的周長為18c〃?，△ABC的周長為30cm,求BE的長.

【分析】(1)首先計算出NAAC的度數，再根據線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相

等可得人進而可得乙4BQ=NA=40°,然后可得答案；

(2)根據線段垂直平分線的性質可得AD=DB,AE=BE,然后再計算出AC+BC的長，再利用△4BC

的周長為305?可得A8長，進而可得答案.

【解答】解：(1)VZABC=ZC,NA=40°,

ZABC=(180°-40°)4-2=70°.

???OE是邊A8的垂直平分線，

：?AD=DB,

???NABD=NA=40°,

/.ZDBC=ZABC-Z/1BD=7O°-40°=30°.

(2)石是邊AB的垂直平分線，

；?AD=DB,AE=BE,

???△BCO的周長為I8CVM,

，4C+BC=AD+DC+BC=DB+DC+BC=1Scm.

*.*△A8C的周長為30。〃?，

/.AB=30-CAC+BC)=3078=12。〃，

：.BE=\2^2=6cm.

【變式4-2](2022春?市中區期末)如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC,交A8于M、

N兩點，DM與EN相交于點F.

(1)若△CMN的周長為15。〃，求人8的長；

(2)若NMFN=70°,求NMCN的度數.

DE

~/NB

【分析】(l)根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得A/W=CM,BN=CN,然后求出

△CMN的周長=AB；

(2)根據三角形的內角和定理列式求出NMNF+NNMF,再求出N4+NB,根據等邊對等角可得/A=

ZACM,/B=/BCN,然后利用三角形的內角和定理列式計算即可得解.

【解答】解：(1),:DM、&V分別垂直平分AC和AC,

BN=CN,

??.4CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=A8,

???△CMN的周長為15c〃?，

；?48=15cm；

(2)?:NMFN=70°,

；?/MNF+NNMF=180°-70°=110°,

ZAMD=/NMF,/BNE=NMNF,

：,/AMD+/BNE=NMNF+NNMF=110°,

???NA+N4=900-ZAMD+9O0?NBNE=180。-11()°=70°,

\'AM=CM,BN=CN,

???NA=NACM,/B=/BCN,

???NMCN=18(T-2(NA+NB)=180°-2X70°=40°.

【變式4-3](2022秋?紅花崗區校級月考)如圖，△48C中，8D平分NABC,BC的中垂線交BC于點E,

交BD于點F,連接。尸.

(1)若NA=60°,ZABD=24°,求N4C/的度數；

(2)若EF=4,BF：FD=5：3,SLBCF=10,求點。到A4的距離.

D

【分析】(I)根據角平分線定義求出NA8C=2NABO=48°,/OBC=/4BO=24°,根據三角形內

用和定理求出NAC8,根據線段垂直平分線性質求出/C=〃8,求出NFCB,即可求出答案；

(2)過。作OG_L4B于G,DHLBC于H,根據角平分線的性質得到。G=O"利用面積法求出BC,

DH即可.

【解答】解：(1)???8。平分/ABC,乙鈉。=24°,

???NA8C=2N/WO=48°,NDBC=NABD=24°,

VZA=60°,

AZACB=180°-ZA-ZAC5=180°-60°-48°=72°,

???正是8c的中垂線，

???〃CB=NOBC=24°,

:?/ACF=NACB-/FCB=72°-24°=48°；

(2)過Q作￡)G于G,DH工RC于H,

?3。平分NABC,

?DG=DH,

,EFLBC,EF=4,

?S^BCb-EF=10,

?BC=5,

?8F：DF=5：3,

?S.\BDC=二Sf、BCF=16,

*XQH=16,

?DG=DH=M，

【知識點2線段垂直平分線的判定】

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）

【題型5線段垂直平分線的判定】

【例5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，△A8C中，ZACB=90°,AO平分N8AC,DEA.ABTE.

（1）若NBAC=50°,求NEDA的度數；

（2）求證；直線AD足線段8的垂直平分線.

【分析】（1）在RtZXAOE中，求出NEAD即可解決問題;

（2）只要證明A￡=4C,利用等腰三角形的性質即可證明:

【解答】（1）解：VZBAC=50°,AO平分N8AC,

.\ZEAD=-ZBAC=25°,

2

'：DELAB,

：,ZAED=90°,

：.ZEDA=90°-25°=65°.

（2）證明：^DEIAB,

.??NAEO=9（）°=ZACB,

又??泡。平分NZMC,

：.ZDAE=ZDAC,

*：AD=AD,

???AAED^AACD,

：.AE=AC,

?1A。平分N8AC,

：,ADA.CE,AO平分線段EC,

即直線AD是線段CE的垂直平分線.

【變式5-1](2022秋?奈曼旗期中)如圖所示，人。是N8AC的平分線，DELAB,DFLAC,垂足分別為

E,F,連接EREF與AD交于點、G,求證：A。垂直平分EP.

【分析】求出DE=DF,ZAED=^AFD=90°,根據"L證RtZ\AEOgRtZ\AFD,推出AE=AP,根據

等腰三角形性質推出即可.

【解答】證：?.SO是NZMC的平分線，

DEA.AB,DF±AC,

:.DE=DF,NAEO=NAFO=9()0,

在RtAAED和RtAAFD中

(AD=AD

IDE=DF'

???RlZX4EQgRlZ\AF。(HL),

：.AE=AF,

???人。是N8AC的平分線，

：.AD垂直平分EF.

【變式5-2](2022春?市北區期末)如圖，七是N498的平分線上一點，ECLOA,EDLOB,垂足分別是

C、D.

求證：(1)OC=OD,

（2）。石是線段CQ的垂直平分線.

【分析】（1）先根據E是NAOB的平分線上一點，EC1OB,ED1OA得出△ODEgZSOCE,可得出

OC=OD即可；

（2）由等腰三角形的性質即可得出OE是C。的垂直平分線.

【解答】證明：???￡：是N4O8的平分線上一點，EC1.OA,EDLOB,

：.DE=CE,OE=OE,

在RtAODE與RtAOC月中，忙￡

Wk=CE

ARtAODE^RtAOCE（HL）,

：.OC=OD；

（2）二?△DOC是等腰三角形，

???。正是NAOB的平分線，

???OE是。。的垂直平分線.

【變式5-3]（2022秋?平邑縣期中）如圖，在△A/3C中，。足8C的中點，OE_L/W于￡￡>F_LAC于F,

BE=CF.

（1）求證：A。平分N8AC；

（2）連接EF,求證：AD垂直平分EF.

【分析】（1）由于。是3。的中點，那么8。=。。，而DEA.AB,。尸_LAC,利用"L易證Rt

△BDEgRtACDF,可得利用角平分線的判定定理可知點。在N/MC的平分線上，即AO平

分N8AC；

（2）根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）???￡）是3c的中點

：.BD=CD,

又〈BE=CF,DELAB,DFA.AC,

ARtABDE^RtACDF,

:.DE=DF,

???點。在NBAC的平分線上，

???4。平分N84C；

（2）VRtA^DE^RtACDF,

???NB=NC,

：.AB=AC,

,:BE=CF,

?"3-BE=AC-CF,

：,AE=AF,

?:DE=DF,

【題型6線段垂直平分線的作法】

【例6】(2022秋?武城縣期末)已知：如圖，在△ABC中，ZC=120°,邊AC的垂直平分線OE與AC、

4B分別交于點。和點E.

(1)作出邊AC的垂直平分線。E；

(2)當AE=8C時，求NA的度數.

【分析】(1)分別以點A、。為圓心，以大于/C長度為半徑畫弧，兩弧在AC兩邊相交于，然后過這

兩點作直線。石即可；

（2）連接CE,根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=CE,設N4=x,然后根

據等邊對等角的性質以及等腰三角形兩底角相等表示出NACB,然后列出方程求解即可.

【解答】解：（1）如圖所示，OE即為所求作的邊AC的垂直平分線；

（2）如圖，連接CE,

???￡>￡是AC的垂直平分線，

：,AE=CE,

，/A=4CE,

*：AE=BC,

:,CE=BC,

NB=/CEB,

設NA=x,

則NCEB=ZA+ZACE=x+x=2.x,

在△BCE中，NBCE=180°-2X2x=180°-4x,

???NAC8=NACE+NBCE=x+180°-4x=120°,

解得x=20°,

期/A=20°.

【變式6-1］（2022秋?祁陽縣期末）如圖，在△ABC中，分別以點A和點8為圓心，大于夕8的長為半徑

畫弧，兩弧相交于點M,N,作宜線MM交BC于點、D,連接AD.若△A。。的周長為10,48=8,則

△A5c的周長為（）

A.8B.10C.18D.20

【分析】首先根據題意可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可得AO=BQ,再根據△

AQC的周長為10可得AC+8C=10,乂由條件48=8可得△ABC的周長.

【解答】解：???在△ABC中，分別以點A和點8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,

N,作直線交8C于點。，連接A。.

???MN是A8的垂直平分線，

:.AD=BD,

???△AOC的周長為10,

：.AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=\O,

?.?4B=8,

???△人8。的周長為：AC+8C+/W=I（）+8=18.

故選：C.

【變式6-2］（2022?榆林模擬）如圖，在△ABC中，DE工BC于點D,交AB于點E.請用尺規作圖法，在

線段。。上求作一點P,使AP〃E。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】過點A作AP_L8C于點P,即可解決問題.

【解答】解：如圖，點P即為所求.

【變式6-3］（2022?長安區一模）如圖，在△A8C中，AQ_LBC于點。，且CD=2B。,請用尺規作圖法,

在邊AC上找一點P,使得△陰。的面積等于△84。的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【分析】作C。的垂直平分線交C。于E,交AC于P,連接。P、AE,由于CQ=2B。，則。E=B。，所

以七的面積等于的面積，再利用PE〃人。得到△/"?的面積等于△AOE的面積，從而得到

△出。的面枳等于△84。的面積.

【解答】解：如圖，點P為所作.

【題型7線段垂直平分線的判定與性質的綜合】

【例7】（2022秋?伊通縣期末）如圖，在△A8C中，的垂直平分線八交44于點M,交BC于點、D,AC

的垂直平分線，2交AC于點N,交8c于點￡,人與/2相交于點。，△4QE的周長為10.請你解答下列問

題：

（1）求3。的長；

（2）試判斷點。是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由.

【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到。8=D4,同理E4=EC,于是得到結論;

（2）連接AO,BO,CO,根據線段垂直平分線的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）??1垂直平分43,

：?DB=DA,

同理EA=EC,

???BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10：

（2）點。在邊BC的垂直平分線上，

理由：連接AO,BO,CO,

?門|與/2是48,人。的垂直平分線，

：,AO=BO.CO=AO,

；.OB=OC,

???點O在邊BC的垂直平分線上.

【變式7-1］（2022?阜寧縣校級月考）如圖，在△/WC中，邊A。、AC的垂直平分線分別交〃。于。、E.

（1）若BC=10,求△ADE的周長；

（2）設直線。M、硒交于點。.

①試判斷點O是否在的垂直平分線上，并說明理由；

②若NB4C=100°,求N8OC的度數.

【分析】（1）根據垂直平分線性質得AE=EC.所以△AOE周長=8C；

（2）①如圖，連接40,BO,C。，根據線段垂直平分線的性質即可得到結論；

②根據四邊形的內角和和等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）???48、4C的垂直平分線分別交8c于D、E,

：,AD=BD,AE=CEt

CMDE=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10；

（2）①如圖，點。在4c的垂直平分線上，

理由：連接40，BO,CO,

,:DM,EN分別是43,AC的垂直平分線，

：,AO=BO,OA=OC,

：,OB=OC,

???點。在5c的垂直平分線上；

②???0M_LA3,ON_LAC,

/.ZAMO=ZANO=90°,

VZBAC=100°,

，NMON=360°-90°-90°-100°=80°,

AZBOC=2ZMON=160°.

【變式7-2](2022?宜昌)已知：如圖，A/平分/BAGBCVAF,垂足為E,點。與點A關于直線8c

對稱，P8分別與線段CF,A/相交于P,M.

(1)求證：AB=C。；

(2)若NBAC=2/MPC,請你判斷NE與NMCQ的數量關系，并說明理由.

【分析】(1)由點Q與點人關于點E對稱易證人。=CD,再根據角平分線，及垂直得到人。=人氏可得

答案43=CO：

(2)易證NC4Q=/CQA=NMPC,ZCMA=ZBMA=PMF,可得到NMCO=NP.

【解答】(1)證明：TA廣平分N84C,

；?ZCAD=NDAB=；NBAC,

2

???。與A關于月對稱，

???石為人。中點，

'：BCA-AD,

???3C為