專題3.2圖形的旋轉【十大題型】

【浙教版】

，題型梳理

【逑型I生活中的旋轉現象】..........................................................................1

【題型2判斷一個圖形旋轉而成的圖案】...............................................................3

【題型3找旋轉中心、旋轉角、對應點】...............................................................5

【題型4利用旋轉的性質證明】.......................................................................8

【題型5利用旋轉的性質求解】.......................................................................15

【題型6判斷旋轉對稱圖形】........................................................................21

【題型7作圖-旋轉變換】.............................................................................23

【題型8求饒某點旋轉后坐標】......................................................................30

【題型9旋轉中的規律探究】.........................................................................35

【題型10旋轉中的最值問題】.......................................................................38

，舉一反三

【知識點1旋轉的定義】

在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點o轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點o叫做旋轉中

心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。

【題型1生活中的旋轉現象】

【例1】（2023春?廣東揭陽?九年級統考期中）下列現象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動，③方向

盤的轉動，④水龍頭的轉動；其中屬于旋轉的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】根據旋轉的概念解答即可.

【詳解】解?：①地下水位逐年下降，不是旋轉現象；

②傳送帶的移動，不是旋轉現象：

③方向盤的轉動，是旋轉現象；

④水龍頭的轉動，是旋轉現象，

故選:C.

【點睛】本題考查了旋轉的判斷，解題的關鍵是掌握旋轉的概念：在平面內，將一個圖形沿某一個定點轉動

一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.

【變式1-1］（2023春?江蘇?九年級期中）將數字“6”旋轉180。，得到數字“9”，將數字“9”旋轉180°,得到數

字“6”，現將數字“689”整體旋轉180°,得到的數字是.

【答案】689

【分析】直接利用中心對稱圖形的性質結合“689”的特點得出答案.

【詳解】解：將數字“689”整體旋轉180。,得到的數字是：689.

故答案為:689.

【點睛】此題主要考查了生活中的旋轉現象，能夠想象出旋轉后的圖形是解題關鍵.

【變式1-2］（2021春?廣東廣州?九年級統考期末）“玉兔”在月球表面行走的動力主要來自太陽光能，要使接

收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上.現在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點A逆時針

最小旋轉（）可以使得接收光能最多.

太陽光

A.46°B.44°C.36°D.54°

【答案】B

【分析】根據垂直的定義和旋轉方向，計算可得.

【詳解】解：由題意可得：

若要太陽光板于太陽光垂直，

則需要繞點A逆時針旋轉90。-（180°-134°）=44°,

故選:B.

【點睛】本題考查了實際生活中的垂直的定義，旋轉的定義，解題的關鍵是理解旋轉分為順時針和逆時針.

【變式1-3］（2020秋.九年級課時練習）摩天輪上以等間隔的方式設置36個車席，車廂依順時針方向分別

編號為I號到36號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉，旋轉一圈花費30分鐘，若圖2表示21號車

廂運行到最高點的情形，則此時經過多少分鐘后，3號車廂才會運行到最高點？（）

旋

轉

方

向

由2

A.14分鐘B.20分鐘C.15分鐘D.三分鐘

【答案】C

【分析】先求出從21號旋轉到3號旋轉的角度占圓大小比例，再根據旋轉一圈花費30分鐘解答即可.

【詳解】解?：些等2'30=15（分鐘）.

所以經過20分鐘后，3號車廂才會運行到最高點.

故選C.

【點睛】本題主要考查了生活中的旋轉現象，理清題意，得出從21號旋轉到3號旋轉的角度占圓大小比例

是解答本題的關鍵.

【知識點2旋轉的性質】

（1）對應點到旋轉中心的距離相等：

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（3）旋轉前后的圖形全等。

理解以下幾點：

（I）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。

（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。

（3）圖形的大小與形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。

【題型2判斷一個圖形旋轉而成的圖案】

【例2】（2020春?山西晉城?九年級統考期末）如果齒輪A以逆時針方向旋轉，齒輪E旋轉的方向（）

A.順時針B.逆時針

C.順時針或逆時針D.不能確定

【答案】B

【分析】根據圖示進行分析解答即可二

【詳解】齒輪A以逆時針方向旋轉，齒輪B以順時針方向旋轉，齒輪C以逆時針方向旋轉，齒輪D以順時

針方向旋轉，齒輪E以逆時針方向旋轉，

故選B.

圖I

A.平移B.翻折C.旋轉D.以上三種都不對

【答案】C

【詳解】解：根據圖形可知，這種圖形的運動是旋轉而得到的,

故選:C.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉，熟記圖形的旋轉的定義（把一個平面圖形繞平面內某一點轉動一個角度,

叫做圖形的旋轉）是解題關鍵.

【變式2-3］（2023春?九年級課時練習）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經怎樣的旋轉得到的，把它畫

出來？

【答案】見解析

【分析】根據旋轉的性質進行求解即可.

以上基本圖案繞著對稱軸旋轉一周得到.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，根據旋轉的性質正確作圖是解本題的關鍵.

【題型3找旋轉中心、旋轉角、對應點】

【例3】（2023春?福建漳州?九年級統考期末）如圖，在7x5方格紙中，格點三角形甲經過旋轉后得到格點

三角形乙，則其旋轉中心是（）

A.點MB.點、NC.點〃D.點Q

【答案】A

【分析】先確定點A與點￡為對應點，點8和點尸為對應點，則根據旋轉的性質得旋轉中心在AE的垂直平

分線上，也在8F的垂直平分線上，所以作的垂直平分線和8尸的垂直平分線，它們的交點即為旋轉中心.

【詳解】解：???甲經過旋轉后得到乙，

???點A與點E為對應點，點8和點尸為對應點，

???旋轉中心在AE的垂直平分線上，也在8尸的垂直平分線上，

作AE的垂直平分線和B尸的垂直平分線，它們的交點為M點，如圖，

即旋轉中心為M點.

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋

轉角；旋轉前、后的圖形全等.

【變式3-1](2022秋?全國?九年級專題練習)如圖，4ABe和ZL4DC都是等邊三角形.

(I)2MBe沿著所在的直線翻折能與440。重合；

(2)如果ZL4BC旋轉后能與zMOC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是；

(3)請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數.

【答案】（1）AC；（2）.點4、點C或者線段AC的中點；（3）60。

【分析】（1）因為ZL4BC和41DC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋

轉后與ZL4OC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心：（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉

60%以AC中點旋轉時旋轉180°

【詳解】（l）???2L48C和41。。都是等邊三角形，

???44BC和44DC是全等三角形，

/.△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.

故填AC;

⑵將仆ABC旋轉后與ZMDC重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60。或以點C為旋轉中心順時針旋

轉60°,或以AC的中點為旋轉中心旋轉180。即可；

（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60。，以AC中點旋轉時旋轉180。.

【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質來確定即可.

【變式3-2]（2022秋.河北石家莊.九年級統考期末）如圖，正方形旋轉后能與正方形COE嚴重合，那

么點A,B,C,。中，可以作為旋轉中心的有個.

ADE

BCF

【答案】2.

【分析】根據旋轉的性質，分類討論確定旋轉中心.

【詳解】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉90。能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點D；

把正方形ABCD繞點C順時針旋轉90。能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點C：

綜上，可以作為旋轉中心的有2個.

故答案為；2.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋

轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質.

【變式3-3］（2023春.山東荷澤.九年級統考期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點

4、8都在格點上.線段A8繞著某一定點順時針旋轉一個角度a（0。VaV180。）后,得到線段￡夕（點4、

【答案】90°

【分析】首根據旋轉的性質確定旋轉中心為點。，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接44,8夕,由網格作44,8夕的垂直平分線,交于點O,

工點。為旋轉中心，

：.LAOA'=90°,即旋轉角為90。，

故答案為：90°.

【點睛】本題主要考查了旋轉角度的確定，畫出圖形能快速解決問題.

【題型4利用旋轉的性質證明】

【例4】（2023春?河南南陽?九年級統考期末）在△48。中，AC=CB,^ACB=90°,點。為△ABC內一點,

連接力。、CD.

圖1圖2

⑴把△/1(/〃逆時針的轉得到了△C8E.如圖1,欣轉中心是點,旋轉角是.

(2)在(1)的條件下，延長40交BE于心求證：AF1BE.

⑶在圖I中，若NC4O=30。，把繞C點逆時針旋轉得到AECB,如圖2,若旋轉一周，當旋轉角是多

少度時，DEWAC,直接寫出結果.

【答案】⑴C,90°

⑵證明見解析?

(3)30°或210。

【分析】(1)根據圖形旋轉的概念I可答即可；

(2)由旋轉的性質可得，。40=47BE,對頂角乙1MC=4尸M8,再根據三角形內角和定理推tU/lFB=

乙4cB=90°,結論即可得證;

(3)結合圖形，由平行線的性質盯可求解.

【詳解】(1)解：在圖1中，點。是三角形47。的旋轉中心，旋轉角為90。；

故答案為：C,90。

(2)證明：由△4CD逆時針旋轉得到了aCBE可知，^CBE=/.CAD

在ACAM中，Z-ACB=180°-/.CAD-^AMC,

在中，Z.MFB=180°-Z-CBE-Z-FMB,

[fdzzlMC="MB

:.AMFB=乙ACB=90°,

即力球1BE

(3)解：如圖,依題意得乙CEO=30。,

當點。在△ABC內部時，

vDEIIAC,

Z/4CE=乙CED=30°,

當點。在△4BC外部時,

vD'E'||AC,

???NACE'=180°-zF=150°,

???△D'CE'繞點C旋轉360。-乙ACE，=360°-150°=210%

綜上所述，當△ACD旋轉角是30。或210。時，DEWAC.

故答案為:30。或210。

//

/

【點睛】本題考查了圖形的旋轉及性質，垂直定義，平行線的性質，三角形的內角和定理等知識，正確理解

相關的概念及性質是解決本題的關鍵.

【變式4-1］（2023秋.山西陽泉.九年級校考期末）把兩個全等的等腰直角三角板川?C和EFG（其直角邊均為

4）疊放在一起（如圖1）,且使三角板￡TG的直角頂點G與三角板48c的斜邊中點O重合，現將三角板EFG

繞點。按順時針方向旋轉（旋轉角a滿足條件：0°<a<90°）,四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角形的重

疊部分（如圖2）.在上述旋轉過程中.

（1）8H與CK有怎樣的數量關系？

⑵四邊形C//GK的面積有何變化?請證明你的發現.

【答案】（l）BH=CK

（2）四邊形CHGK的面積在旋轉過程中沒有變化，始終為4,證明見解析

【分析】（1）先由ASA證出ACGK三△8GH,再根據全等三角形的性質得出8H=CK.

（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4.利用全等三角形的性質證明即可.

【詳解】（1）解：結論：BH=CK.

理由：???點。是等腰直角三角板49c斜邊中點，

Z.B=乙GCK=45。，BG=CG,

由旋轉的性質，知N8G，=NCGK,

:.&BGH三△CGK（ASA）,

:.BH=CK.

（2）四邊形C〃GK的面枳不變，面積為4.

理由：MBGH三ACGK,

"S&BHG=S^cGK?

S四邊形CHGK=S.GB=尹M8C=1x^x4x4=4?

【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質：對

應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變.

【變式4-2］（2023秋?山西晉城?九年級統考期末）綜合與探究

在AA8C中，AB=AC,4CAB的角度記為a.

①②

⑴操作與證明；如圖①，點。為邊BC上一動點，連接/W,將線段力。繞點4逆時針旋轉角度a至4E位置，連

接D￡,CE.求證：BD=CE；

（2）探究與發現：如圖②，若a=90。，點。變為BC延長線上?動點，連接力。將線段力。繞點力逆時針旋轉角

度a至/1E位置，連接OE,CE.可以發現；線段BD和CE的數量關系是；

(3)判斷與思考；判斷(2)中線段8。和CE的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)B。=CE

(3)8。ICE,理解見解析

【分析】(1)由旋轉的性質得=乙DAEjCAB,從而證明△B40三△&4E,即可得到結論;

(2)同第(I)小題的方法，證明△84。三△%!￡?,即可得到結論；

(3)由(2)可得△840三△&4E,從而得=Z4CE=45。，進而即可得到結論.

【詳解】(I)證明：???線段/。繞點力逆時針旋轉角度。至4E位置，^CAB=a,

,.AD=AEZ,DAE=乙CAB=a,

-Z.CAD=LDAE-/CAD,

：^BAD=ZLCAE,

在ABAD和△CHE中，

AB=AC

/.BAD=Z.CAE,

AD=AE

“BAD=△CAE(SAS'),

:.BD=CE.

(2)解：Va=90°,

由旋轉可知：AD=AE,Z-DAE=Z-CAB=90°,

.\^CAB+/.CAD=Z.DAE+Z.CAD.

?"BAD=/,CAE,

在ABAD和△C4E中，

AB=AC

Z.BAD=tLCAE>

.AD=AE

"BAD=△CAE(SAS),

:?BD=CE.

故答案為：BD=CE.

(3)BD1CE,理由如下：

?：￡CAB=a=90°,AB=AC,

:.乙B=Z.ACB=45°,

由（2）可得：2BADCAE,

：,LACE==45°,

?"BCE=乙ACB+Z.ACE=45°-45°=90°,

???BZ）1CE.

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質.掌握三角形全等的證明是解

題的關鍵.

【變式4-3]（2022秋?上海靜安?九年級上海市民辦揚波中學校考期中）己知：中，^ACB=90°,

乙ABC=60。，將△ABC繞點8按順時針方向旋轉.

（1）當C轉到48邊上點C'位置時，A轉到4,（如圖I所示）直線CC'和/M'相交于點D,試判斷線段4。和線段

4。之間的數量關系，并證明你的結論；

（2）將RS/1BC繼續旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

【答案】（1）40=40,理由見詳解

（2）仍然成立，理由見詳解

【分析】（1）易證△BCC%A844'都是等邊三角形，從而可以求出乙AC'。=乙BAD=60°,/-DCA'=^DArC=

30c,進而可以證到4C=0C'=4D；

（2）過點力作4E||A'C',交CO的延長線于點凡由“ASZT可證△4OE"三△4OC',可得AO=4'D；

【詳解】（1）40=4。.理由如下：如圖1,

???Rt△A'BC三Rt△ABC,

:.BC=BC',BA=BA',

???/ABC'=乙ABC=60°,

BCC'^WL844'都是等邊三角形,

:.Z.BAA1=Z.BC'C=60。，

V/.A'CB=90°,

???Z.DCA'=30°,

???Z.ACD=乙BC'C=60°,

/.ADC=60°,

???Z.DA'C=30°,

Z.DAC=/-DCA,Z-DC'A1=ADA^1,

:.AD=DC',DC=DAr,

AD=ArD；

r

(2)仍然成立:AD=ADt

如圖2：過點4作4EII4C',交CD的延長線于點E,=z.2?Z.F=z.3?

W2

由旋轉可得，AC=A'C\BC=BC',

AN4=Z.S,

???Z.ACB=^A'CB=90°,

z5+z6=z.3+z.4=90°,

???z3=z.6>

???zE=z.6?

AE=AC=A'C,

在211AoE與△A'OC'中,

(Z1=Z2

\AE=A'C,

(ZE=Z3

???△40E三△4。。'(ASA),

AD=4D：

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊

三角形的判定與性質等知識，證明三角形全等是解題的關鍵.

【題型5利用旋轉的性質求解】

【例5】（2023秋?安徽滁州?九年級校聯考期末）如圖，正方形ABC。中，E為DC邊上一點、,且。f=2.將

4E繞點E逆時針旋轉90。得到石尸，連接AF,/C.則線段”"的長度是（）

A.V2B.2V2C.2D.V5

【答案】B

【分析】延長。C,過點/作H/JLDC于點H,證明三△￡*”「，得出尸H=DE=2,AD=EH,證明CH=

DE,根據勾股定理求出CF=VCH24-FH2=2或即可.

【詳解】解：延長。C,過點尸作于點”，如圖所示：

則，"=90°,

根據旋轉可知，AE=EF,^AEF=90°,

???四邊形48。。為正方形，

AzD=90°,AD=CD,

：.LAED+乙FEH=乙FEH+乙EFH=90%

：.LAED=乙EFH,

VzD=Z.W=90%

：.LADE三AEHF,

:,FH=DE=2,AD=EH,

*：AD=CD,

:,EH=CD,

:?DC-EC=EH-EC,

：,CH=DE,

工在Rt△C/，中，根據勾股定理得：CF=y/CH2+FH2=2&.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是

作出輔助線，構造全等三角形，證明

【變式5-1]（2022秋?河南許昌?九年級許昌市第一中學校考期末）如圖，在△A8C中，AB=2,BC=3.6,

乙。二60。，將A/WC繞點片順時針旋轉度得到△AOE,當點〃的對應點。恰好落在3c邊上時，貝北。的長為

A.1.4B.1.6C.1.8D.2

【答案】B

【分析】根據旋轉變換的性質得到AD=48,根據等邊三角形的性質解答即可.

【詳解】解：由旋轉的性質可知，AD=AB,

?:乙B=60°,AD=AB,

???A4D8為等邊三角形，

；?BD=AB=2,

：.CD=CB-BD=1.6,

故選:B.

【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、等邊三角形的性質，掌握旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵.

【變式5-2]（2023春江蘇淮安?九年級統考期末）如圖1,在平行四邊形/8C0中，4。=3。=4,BD1AD,

點E為對角線力C上一動點，連接DE,將0E繞點。逆時針旋轉90。得到OF,連接

(1)求證8尸=/lE；

⑵若8F所在的直線交ACJ■?點M,求。M的長度；

(3)皿圖2,當點尸落在△OBC的外部，構成四邊形OEMF時，求四邊形DEMF的面積.

【答案】(1)見解析

⑵等

(3)Y

【分析】(I)由“SAS”可證三△可得8F=4E；

(2)過。作ONJ.4。于N,由“AAS”可證△00N三△80M,可得0M=ON,由勾股定理可求4。的長，由面

積法可求DN的長，由勾股定理可求解；

(3)將AOEN繞點。逆時針旋轉90。得到△。rG,通過證明四邊形ONMG為正方形，即可求解.

【詳解】⑴解:證明：???0E繞點。逆時針旋轉90。得到DF,

???DE=DF,^EDF=90°,

???BD1AD,

???Z.ADB=90°,

???Z.ADE=Z.BDF,

vAD=BD,

.-.△/IDE=△80~(SAS),

:.BF=AEt

(2)如圖，過。作DNJ.力。于N,

n

①

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AO=CO,BO=DO=2,

-AADEBDF,

Z.DAE=/.DBF,

???Z.ADB=90°,Z.AOD=乙BOC,

???"AE十^AOD=乙DBF十乙BOC=90°,

￡BMO=90°,

vZ.DNO=Z.BMO=90°,乙DON=^BOM,BO=DO,

???△DON三△BOM(AAS),

???OM=ON,

vAD=4,DO=2,Z.ADB=90°,

???AO=>JAD2+DO2=V22+42=2遍，

vS“00=-ADxDO=-xAOxDN,

22

.,2X44西

??n?DN』=『

NO=\/DO2-DN2=等，

OM=ON=等；

(3)如圖，過D作ON140于N,將△OEN繞點。逆時針旋轉90。得到△DWG,

②

；.DG=DN,ADNE=Z.DGF=90°,Z-DEN=Z.DFG,

vZ.EDF=乙FME=90°,

:.々DEM+乙DFM=180°,

Z.DFG+乙DFM=180°,

???點G,點/，點M三點共線，

V乙DGF=乙DNM=乙FMN=90°,

.??四邊形DNMG是矩形，

又???DN=DG,

二四邊形DNMG為正方形，

：?S四邊形DEMF=$四邊形MMG=M￥=T,

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，旋轉的性

質，正方形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

【變式5-3］（2022秋?北京大興?九年級校考期末）如圖，在RtA/WC中，^ACB=90°,將△A8c繞點C順時

針旋轉得到△DEC,點3的對應點為E,點力的對應點。落在線段718上，連接BE.卜列結論：①DC平分乙ADE；

②&BDE=乙BCE；③BD1BE；?BC=DE.其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②?

【分析】利用等腰三角形的性質以及旋轉不變性得出4A=ZCD4^A=^CDE,得出NC/L4=△CDE,即可

判斷①，設8C,DE交于點心根據外角的性質得出"FE="CE+"EC=4F08+"8D,根據旋轉的性

質得出41BC=40￡C,進而即可判斷②，根據旋轉的的性質以及三角形內角和定理，證明

ZDBE+ZDCE=}SO°,即可判斷③，根據旋轉的性質，DE=AB,而48H8C,即可判斷④，即可求解.

【詳解】解：???△DCE是由AAC8旋轉得到，

：,CA=CD,LA=LCDE,

?,?乙4=Z.CDA,

：,￡CDA=乙CDE,

平分乙4DE；

故①正確，

如圖,設B&DE交于點F,

工人BFE=乙FCE+乙FEC=Z-FDB+乙FBD

???旋轉，

：.LABC=乙DEC,

:?乙BDE=^BCE,故②正確；

由旋轉的性質可知，（ACD=LBCE,

?：CA=CD,CB=CE,

：.LCAD=/-CDA=乙CBE=乙CEB,

*：LABC+4CAB+Z-ACD+乙DCB=180°,

：.LABC+乙CBE+乙DCB+乙BCE=180°,

AzDCE+zDBF=180°,

'：z.DCE=90°,

:.乙DBE=90°,

：?BE1AB；

由旋轉的性質，0E=4B,而力

：.BCHDE,

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

【題型6判斷旋轉對稱圖形】

【例6】（2020秋?河南許昌?九年級統考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個圖形繞著一個定

點旋轉一定角度a（a小于360。）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點

叫做旋轉對稱中心，a叫做這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角.請依據上述定義解答下列問題：

（1）請寫出一個旋轉對稱圖形，這個圖形有一個旋轉角是90。，這個圖形可以是；

（2）為了美化環境，某中學需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現將這塊空地按下列要

求分成六塊：①分割后的整個圖形必須既是軸對稱圖形又是旋轉對稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請你

按上述兩個要求，分別在圖中的兩個正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）.

【答案】（1）正方形（答案不唯一，例如正八邊形、圓等）；（2）見解析

【分析】（1）根據旋轉對稱圖形的定義解答即可；

（2）先作出正六邊形的旋轉中心，再根據圖形既是軸對稱圖形又是旋轉對稱圖形進行作圖即可.

【詳解】解?：（1）正方形（答案不唯［例如正八邊形、圓等）；

故答案為：正方形（答案不唯一，例如正八邊形、圓等）；

（2）如圖所示：

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和旋轉對稱圖形的定義及作圖，王確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的

關鍵.

【變式6-1］（2018春?福建泉州?九年級統考期末）某校在屠假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動.下

列四個交通標志圖中，旋轉對稱形是（）

AA色AA

【答案】DcD

【詳解】分析：根據旋轉對稱形和各圖形的特點即可求解

A、B、C無論旋轉多少度都不能與原圖形重合，只有D旋轉60。能夠和原來的圖形重合，故選D.

點睛：本題考查了旋轉對稱形：繞一個頂點旋轉某一個度數后，仍然與原來的圖形重合，解題的關鍵是充

分理解旋轉對稱形的性質.

【變式6-2］（2018秋?上海松江?九年級統考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中,

是旋轉對稱圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據旋轉對稱圖形的定義：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形

叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心.旋轉的角度叫做旋轉角.解答即可.

【詳解】解：在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形，只有等邊三角形、正方形、正五邊形是旋轉對稱

圖形，共3個.

故選C

【點睛】本題考查旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角.

【變式6-3］（2018?山西呂梁?九年級統考期中）實踐與操作：一股地，如果把一個圖形繞著一個定點旋轉一

定角度a（a小于360。）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉

對稱中心，a叫做這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角，請根據上述規定解答下列問題：

（1）請寫出一個有一個旋轉角是90。旋轉對稱圖形，這個圖形可以是」

（2）尺規作圖：在圖中的等邊三角形內部作出?個圖形，使作出的圖形和這個等邊三角形構成的整體既是

一個旋轉對稱圖形又是一個軸對稱圖形（作出的圖形川實線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）.

【答案】正方形（或正八邊形或I詞等）

【詳解】試題分析：（1）根據一個圖形繞著一個定點旋轉90。后，能夠與原來的圖形重合，進行判斷即可;

（2）先作出正三角形的旋轉中心，再根據圖形既是一個旋轉對稱圖形，又是一個軸對稱圖形進行作圖即可.

試題解析：（1）有一個旋轉角是90。旋轉對稱圖形，這個圖形可以是正方形或正八邊形或圓等（答案不唯

一），

（2）如圖所示，（答案不唯一）

點睛：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉一定的角度（小于360。）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做

旋轉對稱圖形.常見的旋轉對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

【知識點3利用旋轉性質作圖】

旋轉有兩條重要性質：

任意一對對應點與旋轉中心所連紜段的夾角等于旋轉角：

對應點到旋轉中心的距離相等，它就是利用旋轉的性質作圖的關鍵。

步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；

②轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）

③截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，的到各點的對應點；

④接：即連接到所連接的各點。

【題型7作圖.旋轉變換】

【例7】（2023秋?甘肅隴南?九年級統考期末）如圖，△/1BC三個頂點的坐標分別為做1,1）,8（4,2）,C（3,4）.

(1)請畫出△ABC繞原點旋轉180。的△力2c2；并寫出各點的坐標.

(2)在尤軸上求作一點P,使△/MS的周長最小，并直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)見解析,坐標為：42(-1,-1),12(-4,-2),。2(-3,-4)；

⑵(2,0)

【分析】Q)根據網格結構找出點人、B、C關于原點的乂寸稱點(、%、Q的位置.，然后順次連接即可；

(2)找出點A關于工軸的對?稱點A,連接A8與無軸相交于一點，艱據軸對稱確定最短路線問題，然后利用待

定系數法求48的解析式，求出與x軸的交點坐標可求點P的坐標.

【詳解】(1)???△A8C繞原點旋轉180。得到△&82Q，即點A、8、C關于原點的對稱點為%、4、G，

又力(1,1),8(4,2),6(3,4),

??力2(-1，-1)，82(—4,-2),C2(-3,-4)(

如圖：順次鏈接/、/、C2,△4B2Q即為所求；

⑵如圖，作點4(1,1)關于x軸的對應點4(1,一1),連接48,點P即為AB與x軸的交點，此時△PAB的周

氏=AB+AP+DP=AB+40最短，

設AB的解析式為y=kx+b,過點4'與點B,把坐標代入解析式得：

(-l=k+b

(2=4k+b'

解需二2'

AS的解析式為y=%—2,

當＞=0時，x-2=0,

解得％=2.

此時點P坐標為(2,0).

【點睛】本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，待定系數法求直線

解析式，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

【變式7-1](2023春?山東棗莊?九年級統考期中)在平面直角坐標系中，的位置如圖所示，(每個小

方格都是邊長為1個單位長度的正方形).

y

(1)洛△ABC沿x軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的△4]8]G

⑵將仆ABC繞著點A順時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的△AB2c2；

(3)A4B20可看作由△必當的繞尸點旋轉而成，點B],G的對應點分別為A,B2,C2,則點P的坐標為

【答案】(I)見解析

(2)見解析

(3)(-2,-2)

【分析】(1)先找到A、B、C對應點為、B[、6的位置，然后順次連接4、B]、G即可；

(2)先找到8、C對應點外、Cz的位置，然后順次連接力、為、。2即可；

(3)根據點P一定在A4的垂直平分線上，也在當務的垂直平分線上，可得到點P在直線％=-2上，設出

點P的坐標，利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△4自6即為所求；

(2)解：如圖所示，△人當傘即為所求；

八y

(3)解:由⑴(2)可知4(一5,1),%(2,4),%(4,-2),

???旋轉中心一定在A4的垂直平分線上，也在以殳的垂直平分線上，

?,?點產即為的線段垂直平分線和&B2的線段垂直平分線的交點，

???點P在直線x=等=一2上，

設P(-2,m),

.?.PB/=(4-m)2,P%?=(-2-4)2+(-2-m)2,

yPB1=PB2,

:.(4-rri)2=(-2—4)2+(—2—m)2,

/.m2—8m+16=36+m2+4m+4,

解得m=-2,

，P(-2,-2),

故答案為:(-2,—2).

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——平移和旋轉，畫旋轉圖形和平移圖形，找旋轉中心，勾股定理

等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

【變式7-2](2023春?河南平頂山,九年級統考期末)如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1,小正方

形的頂點稱作格點，△力BC的三個頂點都在格點上，把△力8c先向右平移6個單位，再向下平移4個單位得

△為為如，再將繞點G順時針旋轉90°得△力282G.結合所給的平面直角坐標系，回答下列問題:

(1)在平面直角坐標系中畫出△Ai/Ci和△

(2)圖中的△力282cl能不能通過順時針旋轉448。得到？如果可以，請寫出旋轉中心D的坐標及旋轉角a的度

數(0。〈1〈180。)；如果不能，說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵能,D(l,-2),a=90°

【分析】(1)利用平移變換的性質分別作出A，B,C的對應點兒、B］、G，然后順次連接4、81、G即可;

(2)利用旋轉方式分別作出4、瓦、G的對應點42、(2、G，然后順次連接即可4、＜2、G；

(3)旋轉對應圖形對應點連線的中垂線的的交點即為旋轉中心，據此求解即可.

【詳解】(1)解:△4/16和△4232cl如圖所示；

(2)解：如圖所示，△48。可以繞點。(1,一2)順時針旋轉90度得到△4282G.

???旋轉中心的坐標為。(1,一2),旋轉角度a=90°.

【點睛】本題考查作圖一旋轉變換，平移變換等知以，根據旋轉的性質可知，對應角都相等，對應線段也相

等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的

圖形，對應點連線都交于一點，交點即為旋轉中心；確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移

距離；作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次

連接對應點即可得到平移后的圖形.解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，平移變換的性質.

【變式7-3】(2022春?四川達州?九年級校聯考期中)如圖，已知在平面直角坐標系內有皿-1,2),8(-3,1),

C(0,-1).

(1)畫出△A8C向右平移三個單位的△力iBiG，并寫出Bi的坐標：；

⑵洛繞C點逆時針方向旋轉90。后得到△力2/。2，畫出旋轉后的圖形，并寫出為坐標：

(3)求(I)中△ABC所掃過的面積.

【答案】⑴圖見解析，當(0,1)

⑵圖見解析，％(-2,-4)

(3)12.5

【分析】(1)直接將三角形向右平移三格，再根據圖中可直接得到答案；

(2)將三角形繞。點逆時針轉90。，再根據圖中可直接得到答案；

(3)由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形力公的。的面積加三角形本身的面積，而三角形面機可用包

圍住本身的一個正方形減去三個小三角形的面積，最后計算可直接得到答案.

【詳解】(1)△&&&即為△48C向右平移三個單位所得，如圖

y

故答案為：（o,i）.

（2）△&82。2即為44"繞。點逆時針方向旋轉90。所得，如圖

（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形力4G。的面積加三角形本身的面積，

而三角形面積可用包圍住本身的一個正方形減去三個小三角形的面積,

則面積為：3x3+3x3-Txlx2-Txlx3-：x2x3=12.5

?人力8。掃過的面積：12.5.

【點睛】本題考查的是作圖旋轉變換，熟知圖形旋轉的性質是解答此題的關鍵.

【題型8求饒某點旋轉后坐標】

【例8】（2022秋?黑龍江牡丹江?九年級統考期末）菱形如圖放置，點C坐標是（3,4）,先將菱形向左平

移6個單位長度，向上平移1個單位長度，然后沿“軸翻折，最后繞坐標原點。旋轉90。得到菱形0218c的對

角線交點的對應點為點P，則點PH勺坐標是.

【答案】(-3,2)或(3,-2)

【分析】先由菱形的性質求出A點坐標，再由中點坐標公式求出對角線交點M坐標以及平移以后對應的點的

坐標，最后根據繞坐標原點。旋轉90。求出P點坐標即可.

【詳解】延長8C交1y軸于M連接08、AC交于點

???點C坐標是(3,4),

：,0N=4,CN=3,

：,0C=5,

,?,菱形048C,

：.0C=04=5,M為AC中點，

??/點坐標(5,0),

???”點坐標(4,2),

???將菱形向左平移6個單位長度，向上平移1個單位長度后M點對應坐標為(-2,3),

???再把點(-2,3)沿x軸翻折后對應點坐標為(一2,-3),

???在坐標平面內繞點。旋轉90。，

???對應點橫縱坐標絕對值互換作為對■應點的橫縱坐標絕對值，再根據所在象限確定對應點坐標

???若是順時針旋轉，則對應點在第二象限，坐標為(-3,2),

若是逆時針旋轉，則對應點在第囚象限，坐標為(3,-2),

綜上所述，點P的坐標為(-3,2)或(3,?2),

故答案為：(-3,2)或(3,-2).

【點睛】本題考查了菱形的性質，電標與圖形的變化，熟練掌握菱形的性質以及平移、旋轉變換的性質是解

題的關鍵.

【變式8-1](2018?河北保定?九年級校聯考期末)正方形/WCO在坐標系中的位置如圖所示，將正方形A4CO

繞。點順時針方向旋轉90。后，C點的坐標為()

A.(-1,2)B.(2,0)C.(2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用網格特點和旋轉的性質畫出正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉90。后所得的正方形CEFD,

則可得到C點的對應點的坐標.

【詳解】如圖，正方形ABCO繞。點順時針方向旋轉90。后得到正方形CEFO,則C點旋轉后的對應點為產

(2,-1),

故選￡).

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋

轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：30。，45°,60°,90。，180。.

【變式8-2](2()23春?遼寧錦州?九年級統考期中)如圖,將等邊AO/IB放在平面直角坐標系中,A點坐標(1,0),

將A。43繞點A順時針旋轉60。，則旋轉后點B的對應點夕的坐標為.

【分析】如圖所示，過點以作1于〃，先由等邊三角形的性質得到(M=08=AB=1,4648=乙AUB=

60。，再由旋轉的性質得到4力8夕=4/1。8=60。，BB'=OB=1,進而證明BB'||。4再求出。〃，BH的

長即可求出點夕的坐標.

【詳解】解：如圖所示，過點8作BH_LOA于H.

：,OA=OB=AB=1,Z,OAB=LAOB=60°,

由旋轉的性質可得乙4BB，=^AOB=60°,BB'=OF=1,

=4。AB,

：.BB'||OA,

*：BH1OA,

：.0H=AH=-OA=-

22f

:.BH=>JOB2-OH2=—,

2

?.?B'C+LT)-即B'G，T)

故答案為：修，y).

【點睛】本題主要考查了旋轉變換，等邊三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

【變式8-3](2022秋?浙江金華?九年級校考期中)如圖所示，直線y=-1+4與x軸，y軸分別交于A,B

?5

兩點，把△/OB繞點A旋轉90。后得到△21。，夕，則點夕的坐標是

【答案】(7,3)

【分析】先確定4(3,0),8(0,4)得到。4=3,。8=4,根據旋轉性質，得到OS=3,0'e=4,0的||%軸,

計算即可.

【詳解】???直線+4與x軸，y軸分別交于A,B兩點,

??"(3,0),8(0,4),

：.0A=3,OB=4,

根據旋轉性質，得到O'A=3,0'9=4,乙4。8==90。，

???0,81|工軸，

作B'Clx軸，垂足為C,

???四邊形4。')。是矩形，

=AC=4,0'A=B'C=3,

：.OC=OA+AC=4+3=7,

???點8'的坐標是(7,3).

故答案為：(7,3).

【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點坐標，旋轉的性質，矩形的判定和性質，點的坐標，熟練掌握

一次函數與坐標軸的交點坐標，旋轉的性質，矩形的判定和性質是解題的關鍵.

【題型9旋轉中的規律探究】

【例9】(2022秋.內蒙占呼倫貝爾.九年級統考期末)如圖，已知菱形。力BC的頂點。(0,0),8(2,2),若菱形

繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉45。，則第60秒時，菱形的對角線交點。的坐標為.

【分析】轉動前根據菱形的性質，可得。的坐標，根據旋轉的性質，可得轉動后。的坐標.

【詳解】???轉動前菱形048c的頂點。(0,0),3(2,2),

???。的坐標(1,1),

每秒旋轉45。，則第60秒時得，

45cx60=2700。，

???2700°+360。=7.5周，

???0D與轉動前位置比，移動了半周，

??.此時。的坐標為(一1,一1).

故答案為(一1,一1).

【點睛】本題考查了旋轉的性質，利用旋轉的性質是解題的關鍵.

【變式9-1](2020秋?黑龍江?九年級校考期中)如圖，將邊長為1的正三角形為OP沿x軸正方向作無滑動的

連續反轉，點P依次落在點P]，尸2,P3-P2020的位置，則點P2020的坐標為.

【答案】(2020,0)

【分析】根據圖形的翻轉，分別得出匕、P2.P3…的橫坐標，再根據規律即可得出各個點的橫坐標，進