20242024年高考數學第二輪復習統計與概率教學案?一、教學目標1.系統復習統計與概率的核心知識，包括抽樣方法、用樣本估計總體、變量間的相關關系、概率的基本概念與計算、古典概型、幾何概型、離散型隨機變量及其分布列、均值與方差等，形成完整的知識體系。2.熟練掌握統計與概率問題的常見解題方法和技巧，能夠準確分析題目條件，選擇合適的方法求解各類問題，提高解題能力和速度。3.通過對典型例題的分析與練習，培養學生運用統計與概率知識解決實際問題的能力，增強學生的數據分析觀念和概率思維，提升學生在高考中應對統計與概率部分題目的信心。

二、教學重難點

（一）教學重點1.各種抽樣方法的特點及適用范圍，能正確選擇抽樣方法進行抽樣，并會計算抽樣過程中的相關數據。2.用樣本的頻率分布估計總體分布，包括頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖的繪制與應用，以及用樣本數字特征（均值、方差、標準差）估計總體數字特征。3.理解變量間的相關關系，會求線性回歸方程并進行預測，掌握獨立性檢驗的基本思想和方法。4.概率的基本性質，古典概型和幾何概型的概率計算，能夠準確判斷并運用相應的概率模型解題。5.離散型隨機變量及其分布列的性質，常見離散型隨機變量的分布列（如兩點分布、超幾何分布、二項分布）的求解與應用，以及離散型隨機變量均值與方差的計算和性質。

（二）教學難點1.對分層抽樣中抽樣比的理解與運用，以及如何根據實際問題合理確定分層抽樣的層次和比例。2.頻率分布直方圖中各小矩形的面積與頻率的關系，以及如何通過頻率分布直方圖計算樣本均值和方差的近似值。3.非線性回歸問題的處理方法，以及如何根據散點圖選擇合適的函數模型進行擬合。4.古典概型中基本事件的列舉方法，以及如何避免重復和遺漏；幾何概型中幾何度量的確定，如長度、面積、體積的準確計算。5.復雜離散型隨機變量分布列的求解，特別是涉及到多個事件相互關聯的情況；均值與方差在實際決策中的應用，如何根據均值和方差對不同方案進行合理選擇。

三、教學方法1.知識梳理：通過回顧教材知識點，構建知識框架，幫助學生系統地梳理統計與概率的基礎知識，明確各知識點之間的聯系與區別。2.典型例題講解：選取具有代表性的高考真題和模擬題進行詳細講解，分析題目條件，引導學生思考解題思路，總結解題方法和技巧，讓學生掌握如何運用所學知識解決各類統計與概率問題。3.課堂練習：安排適量的課堂練習，讓學生在練習中鞏固所學知識，提高解題能力。教師巡視指導，及時發現學生存在的問題并進行個別輔導，針對共性問題進行集中講解。4.小組討論：對于一些綜合性較強、難度較大的問題，組織學生進行小組討論。通過小組合作交流，激發學生的思維，拓寬解題思路，培養學生的團隊協作能力和創新思維。5.多媒體輔助教學：利用PPT、動畫等多媒體手段，直觀展示抽樣過程、頻率分布直方圖的繪制、隨機變量的取值情況等抽象內容，幫助學生更好地理解和掌握知識點。

四、教學過程

（一）知識梳理1.抽樣方法簡單隨機抽樣：從總體\(N\)個個體中逐個不放回地抽取\(n\)個個體作為樣本（\(n\leqN\)），每個個體被抽到的機會相等。常用方法有抽簽法和隨機數法。系統抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先規定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本。步驟：先將總體的\(N\)個個體編號，確定分段間隔\(k=\frac{N}{n}\)（\(n\)是樣本容量），在第\(1\)段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號\(l(l\leqk)\)，按照一定的規則抽取樣本，通常是將\(l\)加上間隔\(k\)得到第\(2\)個個體編號\((l+k)\)，再加上\(k\)得到第\(3\)個個體編號\((l+2k)\)，依次進行下去，直到獲取整個樣本。分層抽樣：當總體由差異明顯的幾部分組成時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。抽樣比\(=\frac{n}{N}\)，各層抽取的個體數\(=\)該層個體數\(\times\)抽樣比。2.用樣本估計總體頻率分布表與頻率分布直方圖：通過對樣本數據進行分組，計算每組的頻數與頻率，得到頻率分布表。以頻率分布表為基礎繪制頻率分布直方圖，其中小矩形的面積表示該組的頻率，各小矩形面積之和為\(1\)。莖葉圖：莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數，它保留了原始數據的信息，便于記錄和表示數據。樣本數字特征均值：\(\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)\)，反映了數據的平均水平。方差：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1\overline{x})^2+(x_2\overline{x})^2+\cdots+(x_n\overline{x})^2]\)，衡量數據的離散程度。標準差：\(s=\sqrt{s^2}\)。3.變量間的相關關系相關關系：變量之間存在的不確定的關系。與函數關系不同，函數關系是一種確定性關系。散點圖：將兩個變量的取值分別作為橫、縱坐標，在平面直角坐標系中描點得到的圖形，通過散點圖可以直觀地判斷兩個變量之間是否具有相關關系。線性回歸方程：對于具有線性相關關系的兩個變量\(x\)和\(y\)，其回歸直線方程為\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中\(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})(y_i\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i\overline{x})^2}\)，\(\hat{a}=\overline{y}\hat{b}\overline{x}\)。獨立性檢驗：通過列聯表和卡方統計量\(K^2=\frac{n(adbc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)來判斷兩個分類變量是否有關系，其中\(n=a+b+c+d\)。4.概率基本概念必然事件：在一定條件下必然會發生的事件，其概率為\(1\)。不可能事件：在一定條件下肯定不會發生的事件，其概率為\(0\)。隨機事件：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，其概率\(0\ltP(A)\lt1\)。互斥事件：若事件\(A\)與\(B\)不能同時發生，即\(A\capB=\varnothing\)，則稱\(A\)與\(B\)互斥。互斥事件概率加法公式：\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。對立事件：若\(A\capB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)（樣本空間），則稱\(A\)與\(B\)對立，\(P(\overline{A})=1P(A)\)。古典概型特點：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；每個基本事件出現的可能性相等。概率公式：\(P(A)=\frac{A包含的基本事件數}{基本事件總數}\)。幾何概型特點：試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；每個基本事件出現的可能性相等。概率公式：\(P(A)=\frac{構成事件A的區域長度(面積或體積)}{試驗的全部結果所構成的區域長度(面積或體積)}\)。5.離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量：其取值可以一一列出的隨機變量。分布列：設離散型隨機變量\(X\)可能取的值為\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，\(X\)取每一個值\(x_i(i=1,2,\cdots,n)\)的概率\(P(X=x_i)=p_i\)，則稱表|\(X\)|\(x_1\)|\(x_2\)|\(\cdots\)|\(x_n\)||||||||\(P\)|\(p_1\)|\(p_2\)|\(\cdots\)|\(p_n\)|為離散型隨機變量\(X\)的概率分布列，簡稱分布列。性質：\(p_i\geq0(i=1,2,\cdots,n)\)；\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\)。常見分布列兩點分布：若隨機變量\(X\)服從兩點分布，即\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)，其中\(0\ltp\lt1\)，則\(E(X)=p\)，\(D(X)=p(1p)\)。超幾何分布：在含有\(M\)件次品的\(N\)件產品中，任取\(n\)件，其中恰有\(X\)件次品，則\(P(X=k)=\frac{C_M^kC_{NM}^{nk}}{C_N^n}\)，\(k=0,1,2,\cdots,m\)，其中\(m=\min\{M,n\}\)，且\(n\leqN\)，\(M\leqN\)，\(n,M,N\inN^*\)。\(E(X)=\frac{nM}{N}\)。二項分布：\(n\)次獨立重復試驗中，設事件\(A\)發生的概率為\(p\)，用\(X\)表示事件\(A\)發生的次數，則\(P(X=k)=C_n^kp^k(1p)^{nk}\)，\(k=0,1,2,\cdots,n\)。\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1p)\)。均值與方差均值：\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n\)，反映了離散型隨機變量取值的平均水平。方差：\(D(X)=[x_1E(X)]^2p_1+[x_2E(X)]^2p_2+\cdots+[x_nE(X)]^2p_n\)，衡量離散型隨機變量取值的離散程度。

（二）典型例題講解1.抽樣方法例1：某單位有職工\(160\)人，其中業務員\(104\)人，管理人員\(32\)人，后勤服務人員\(24\)人。為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為\(20\)的樣本，試用分層抽樣的方法抽取樣本，并寫出抽樣過程。解：計算抽樣比：\(\frac{20}{160}=\frac{1}{8}\)。確定各層抽取的人數：業務員層：\(104\times\frac{1}{8}=13\)（人）。管理人員層：\(32\times\frac{1}{8}=4\)（人）。后勤服務人員層：\(24\times\frac{1}{8}=3\)（人）。采用簡單隨機抽樣的方法在業務員層抽取\(13\)人，在管理人員層抽取\(4\)人，在后勤服務人員層抽取\(3\)人。將抽取的\(20\)人合在一起，就得到了所需的樣本。總結：分層抽樣關鍵在于確定抽樣比，然后根據各層個體數按比例抽取。2.用樣本估計總體例2：為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區\(100\)名年齡為\(17.5\)歲～\(18\)歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下：（此處可簡單描述一下頻率分布直方圖的樣子，比如橫坐標是體重區間，縱坐標是頻率/組距等）（1）根據直方圖可得這\(100\)名學生中體重在\([56.5,64.5)\)的學生人數是（）A.\(20\)B.\(30\)C.\(40\)D.\(50\)（2）請根據頻率分布直方圖，估計該地區\(17.5\)歲～\(18\)歲男生體重的平均值。解：（1）體重在\([56.5,64.5)\)的頻率為\((0.03+0.05+0.05+0.07)\times2=0.4\)，則人數為\(100\times0.4=40\)，選C。（2）平均值\(\overline{x}=54.5\times0.02\times2+56.5\times0.03\times2+58.5\times0.05\times2+60.5\times0.05\times2+62.5\times0.07\times2+64.5\times0.05\times2+66.5\times0.03\times2+68.5\times0.02\times2\)\(=54.5\times0.04+56.5\times0.06+58.5\times0.1+60.5\times0.1+62.5\times0.14+64.5\times0.1+66.5\times0.06+68.5\times0.04\)\(=2.18+3.39+5.85+6.05+8.75+6.45+3.99+2.74\)\(=39.3\)（kg）總結：頻率分布直方圖中，小矩形面積表示頻率，利用頻率和組中值可計算均值等數字特征。3.變量間的相關關系例3：已知\(x\)與\(y\)之間的一組數據：|\(x\)|\(0\)|\(1\)|\(2\)|\(3\)||||||||\(y\)|\(1\)|\(3\)|\(5\)|\(7\)|（1）求\(y\)與\(x\)的線性回歸方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)；（2）據此估計當\(x=4\)時\(y\)的值。解：首先計算\(\overline{x}=\frac{0+1+2