§6.1數列的概念

【教學目標】

知識目標:

(1)了解數列的有關概念；

(2)掌握數列的通項(一般項)和通項公式.

能力目標：

通過實例引出數列的定義,培養學生的觀察能力和歸納能力.

【教學重點】

利用數列的通項公式寫出數列中的任意一項并且能判斷一個數是否為數列中的一項.

【教學難點】

根據數列的前若干項寫出它的一個通項公式.

【教學設計】

通過幾個實例講解數列及其有關概念：項、首項、項數、有窮數列和無窮數列.講解數列的通項(一般

項)和通項公式.

從幾個具體實例入手，引出數列的定義.數列是按照一定次序排成的一列數.學生往往不易理解什么是

“一定次序”.實際上，不論能否表述出來，只要寫出來，就等于給出了“次序”，比如我們隨便寫出的兩

列數：2,1,15,3,243,23與1,15,23,2,243,3,就都是按照“一定次序”排成的一列數，因此它

們就都是數列，但它們的排列“次序”不一樣，因此是不同的數列.

【教學過程】

創設情境興趣導入

將正整數從小到大排成一列數為1,2,3,4,5,….(1)

將2的正整數指數累從小到大排成一列數為2,22,23,2—25,.(2)

當"從小到大依次取正整數時，cos〃兀的值排成一列數為T,1,T,1,….(3)

取無理數兀的近似值(四舍五入法)，依照有效數字的個數，排成一列數為

3,3.1,3.14,3.141,3.1416,….(4)

*動腦思考探索新知

【新知識】按照一定的次序排成的一列數叫做數列.數列中的每一個數叫做數列的項.從開始的項起，

按照自左至右的排序，各項按照其位置依次叫做這個數列的第1項(或首項)，第2項，第3項，…，

第”項，…，其中反映各項在數列中位置的數字1,2,3,…，n,分別叫做對應的項的項數.

只有有限項的數列叫做有窮數列，有無限多項的數列叫做無窮數列.

【新知識】

由于從數列的第一項開始，各項的項數依次與正整數相對應，所以無窮數列的一般形式可以寫作

“嗎,知,an,.(neN)

簡記作｛對｝.其中，下角碼中的數為項數，4表示第1項，七表示第2項，….當〃由小至大依次取正

整數值時，/依次可以表示數列中的各項，因此，通常把第”項叫做數列｛為｝的通項或一般項.

*運用知識強化練習

1.說出生活中的一個數列實例.

2.數列“1,2,3,4,5”與數列“5,4,3,2,1”是否為同一個數列？

3.設數列｛4｝為"-5,-3,-1,1,3,5,…”，指出其中6、以各是什么數？

創設情境興趣導入

【觀察】

6.1.1中的數列(1)中，各項是從小到大依次排列出的正整數.q=l,%=2,%=3，…，

可以看到，每一項與這項的項數恰好相同.這個規律可以用為="(〃eN*)表示.

利用這個規律，可以方便地寫出數列中的任意一項，如知=11,"20=20.

6.1.1中的數列(2)中，各項是從小到大順次排列出的2的正整數指數累.

23

q=2,a2=2,4/3=2,,,,,

可以看到，各項的底都是2,每一項的指數恰好是這項的項數.這個規律可以用綜=2"(〃eN*)

表示，利用這個規律，可以方便地寫出數列中的任意一項，如卬=2",%)=22°.

*動腦思考探索新知

【新知識】一個數列的第〃項如果能夠用關于項數〃'的一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數

列的通項公式.

數列(1)的通項公式為/=〃，可以將數列(1)記為數列｛〃｝；數列(2)的通項公式為%=2”,

可以將數列(2)記為數列｛2"｝.

*鞏固知識典型例題

例1設數列｛為｝的通項公式為％=卷，寫出數列的前5項.

分析知道數列的通項公式，求數列中的某一項時，只需將通項公式中的n換成該項的項數，并

計算出結果.

例2根據下列各無窮數列的前4項,寫出數列的一個通項公式.

(1)5,10,15,20,,??；(2)—,一,一,—，…；(3)—1,1,-1>1>

2468

分析分別觀察分析各項與其項數之間的關系，探求用式子表示這種關系.

【注意】由數列的有限項探求通項公式時，答案不一定是唯一的.例如，。.=(-1)"與4=85〃兀都是例

2(3)中數列“T,1,-1,1,…”的通項公式.

【知識鞏固】

例3判斷16和45是否為數列｛3〃+1｝中的項,如果是,請指出是第幾項.

分析如果數“是數列中的第無項，那么火必須是正整數，并且“=34+1.

*運用知識強化練習

1.根據下列各數列的通項公式，寫出數列的前4項：

(1)a“=3”—2；(2)an—(—I)",n'

2.根據下列各無窮數列的前4項,寫出數列的一個通項公式：

11|11357

(1)-1,1,3,5,-；(2)一一???；(3)

369122468

3.判斷12和56是否為數列｛〃2一〃｝中的項，如果是，請指出是第幾項.

*理論升華整體建構

思考并回答下面的問題：數列、項、項數分別是如何定義的？

*歸納小結強化思想

利用數列的通項公式寫出數列中的任意一項并且能判斷一個數是否為數列中的一項.

繼續探索活動探究

(1)讀書部分：教材

(2)書面作業：教材習題6.1A組(必做)；6.IB組(選做)

(3)實踐調查：用發現的眼睛尋找生活中的數列實例

教學后記：例1和例3是基本題目，前者是利用通項公式寫出數列中的項；后者是利用通項公式判斷一個數

是否為數列中的項,是通項公式的逆向應用.

例2是鞏固性題目，指導學生分析完成.要列出項數與該項的對應關系，不能泛泛而談，采用對應表的方

法比較直觀,降低了難度,學生容易接受.

§6.2等差數列(一)

【教學目標】

知識目標：

(1)理解等差數列的定義；

(2)理解等差數列通項公式.

能力目標：

通過學習等差數列的通項公式,培養學生處理數據的能力.

【教學重點】等差數列的通項公式.

【教學難點】等差數列通項公式的推導.

【教學過程】

*揭示課題6.2等差數列.

*創設情境興趣導入

【觀察】

將正整數中5的倍數從小到大列出，組成數列：

5,10,15,20,….(1)

將正奇數從小到大列出，組成數列：

1,3,5,1,9,….(2)

請觀察數列中相鄰兩項之間的關系

*動腦思考探索新知

如果一個數列從第2項開始，每一項與它前一項的差都等于同一個常數，那么，這個數列叫做等

差數列.這個常數叫做等差數列的公差，一般用字母d表示.

由定義知，若數列｛。,,｝為等差數列，d為公差,則a,用-勺=〃,即

+"(6.1)

*鞏固知識典型例題

例1已知等差數列的首項為12,公差為-5,試寫出這個數列的第2項到第5項.

*運用知識強化練習

1.已知｛。“｝為等差數列，%=-8,公差d=2,試寫出這個數列的第8項為.

2.寫出等差數列11,8,5,2,…的第10項.

*創設情境興趣導入

你能很快地寫出例1中數列的第101項嗎？

*動腦思考探索新知

設等差數列｛%｝的公差為"，則

《=4，

=4+△，

生=%+4=(4+d)+d=a1+2d,

々4=。3+4=(〃i+2d)+d=勾+3。，

依此類推,通過觀察可以得到等差數列的通項公式

an=ax+(九一1)d.(6.2)

【想一想】

等差數列的通項公式中，共有四個量：冊、%、〃和d,只要知道了其中的任意三個量，就可

以求出另外的一個量.針對不同情況，應該分別采用什么樣的計算方法？

*鞏固知識典型例題

例2求等差數列一1,5,11J7,...的第50項.

例3在等差數列｛4｝中，4Go=48,公差d=g,求首項&

分析：本題目初看是知道2個條件，實際上是3個條件："=100,%=48,〃

3

例4小明、小明的爸爸和小明的爺爺三個人在年齡恰好構成一個等差數列,他們三人的年齡之和

為120歲，爺爺的年齡比小明年齡的4倍還多5歲，求他們祖孫三人的年齡.

分析知道三個數構成等差數列，并且知道這三個數的和,可以將這三個數設為

這樣可以方便地求出。，從而解決問題.

【注意】將構成等差數列的三個數設為4,〃+”,是經常使用的方法.

*運用知識強化練習練習6.2.2

*歸納小結強化思想

等差數列的通項公式

an=q+(?—1)d.

*繼續探索活動探究

(1)讀書部分：教材

(2)書面作業：教材習題6.2(必做)；學習指導6.3(選做)

(3)實踐調查：尋找生活中等差數列的實例

教學后記

本節的主要內容是等差數列的定義、等差數列的通項公式.重點是等差數列的定義、等差數列的通項公

式；難點是通項公式的推導.等差數列的定義中，應特別強調“等差”的特點：%+1-凡=d(常數).例1

是基礎題目，有助于學生進一步理解等差數列的定義.

教材中等差數列的通項公式的推導過程實際上是一個無限次迭代的過程，所用的歸納方法是不完全歸納

法.因此，公式的正確性還應該用數學歸納法加以證明.例2是求等差數列的通項公式及其中任一項的鞏固性

題目，注意求公差的方法.等差數列的通項公式中含有四個量：4,只要知道其中任意三個量，就可

以求出另外的一個量.

§6.2等差數列

【教學目標】

知識目標：

理解等差數列通項公式及前〃項和公式.

能力目標：

通過學習前〃項和公式,培養學生處理數據的能力.

【教學重點】等差數列的前〃項和的公式.

【教學難點】等差數列前〃項和公式的推導.

【教學設計】

本節的主要內容是等差數列的前〃項和公式,等差數列應用舉例.重點是等差數列的前〃項和公式；難點

是前〃項和公式的推導以及知識的簡單實際應用.

等差數列前，項和公式的推導方法很重要，所用方法叫逆序相加法，應該讓學生理解并學會應用.等差

數列中的五個量4、d、〃、a”、中，知道其中三個，可以求出其余兩個，例5和例6是針對不同情況，分

別介紹相應算法.

例7將末項看作是首項的思想是非常重要的，以這類習題作為載體，對培養學生的創新精神是十分重要

的.

【教學過程】

*揭示課題

6.2等差數列.

*創設情境興趣導入

【趣味數學問題】數學家高斯在上小學的時候的故事。

*動腦思考探索新知

從小到大排列的前100個正整數，組成了首項為1,第100項為100,公差為1的等差數

歹上小高斯的計算表明，這個數列的前100項和為

(1+100)x100

現在我們按照高斯的想法來研究等差數列的前〃項和.

將等差數列｛an｝前〃項的和記作5“.即

S?=ax+a2+a3++a,,_2+a,,_x+a,,.(1)

也可以寫作

S"=an+an-\+an-2++^3+^+O|-⑵

由于

q+4=?i+凡，

+a

%+磯=(q+")+(%-d)=qn，

。3+an-z=(4+2d)+(a“-2d)=6+a?,

（1）式與（2）式兩邊分別相加，得

2S“="（q+/）,

由此得出等差數列｛%｝的前n項和公式為

（6.3）-----------------

“出+*

“一2

即等差數列的前n項和等于首末兩項之和與項數乘積的一半.

知道了等差數列｛%｝中的可、"和利用公式（6.3）可以直接計算S“.

將等差數列的通項公式4=q+5一1”代入公式（6.3）,得

S“=叫+--—d（6.4）

知道了等差數列｛%｝申的生、力和d,利用公式（6.4）可以直接計算S“.

［想一想］----------------------

在等差數列｛4｝中，知道了q、d、〃、4、S“五個量中的三個量，就可以求出其余的兩個

量.針對不同情況，應該分別采用什么樣的計算方法？

*鞏固知識典型例題

例5已知等差數列｛/｝中，q=-8,叼0=1。6,求Sa。.

例6等差數列-13,-9,-5,-1,3,…的前多少項的和等于50?

【想一想】例6中為什么將負數舍去？

*運用知識強化練習練習6.2.3

*鞏固知識典型例題

例7某禮堂共有25排座位，后一排比前一排多兩個座位，最后一排有70個座位，問禮堂共

有多少個座位？

【想一想】比較本例題的兩種解法，從中受到什么啟發？

例8小王參加工作后，采用零存整取方式在農行存款.從元月份開始，每月第1天存入銀行

1000元，銀行以年利率1.71%計息，試問年終結算時本金與利息之和（簡稱本利和）總額是多少

（精確至IJ0.01元）?

【說明】年利率1.71%,折合月利率為0.1425%.計算公式為月利率=年利率+12.

練習6.2.4

*歸納小結強化思想

n（a,+a,,）

結論：S”=，

〃（〃一1）

S”=叫+--—d.

*繼續探索活動探究

（1）讀書部分：教材

（2）書面作業：教材習題6.2（必做）；學習指導6.2（選做）

（3）實踐調查：運用等差數列求和公式解決生活中的一個實際問題

§6.3等比數列

【教學目標】

知識目標：

（1）理解等比數列的定義；

（2）理解等比數列通項公式.

能力目標：

通過學習等比數列的通項公式,培養學生處理數據的能力.

【教學重點】等比數列的通項公式.

【教學難點】等比數列通項公式的推導.

【教學設計】

本節的主要內容是等比數列的定義，等比數列的通項公式.重點是等比數列的定義、等比數列的通項公

式；難點是通項公式的推導.

等比數列與等差數列在內容上相類似，要讓學生利用對比的方法去理解和記憶，并弄清楚二者之間的區

別和聯系.等比數列的定義是推導通項公式的基礎，教學中要給以足夠的重視.同時要強調“等比”的特

點：馬包="（常數）.

【教學過程】

*揭示課題6.3等比數列.

*創設情境興趣導入

【觀察】某工廠今年的產值是1000萬元，如果通過技術改造，在今后的5年內，每年的產值都

比上一年增加10%,那么今年及以后5年的產值構成下面的一個數列（單位：萬元）：

1000,1000x1.1,1000x1.12,lOOOxl.l3,1000x1.14,1000x1.15.

不難發現，從第2項開始，數列中的各項都是其前一項的1.1倍，即從第2項開始，每一項

與它的前一項的比都等于1.1.

*動腦思考探索新知

【新知識】如果一個數列從第2項開始，每一項與它前一項的比都等于同一個常數，那么這個數

列叫做等比數列.這個常數叫做這個等比數列的公比，一般用字母q來表示.

由定義知，若｛《,｝為等比數列，q為公比，則4與q均不為零，且有皿=4,即

*鞏固知識典型例題

例1在等比數列｛%｝中，”|=5,4=3,求%、％、“4、a5■

【試一試】你能很快地寫出這個數列的第9項嗎？

*運用知識強化練習練習6.3.1

*創設情境興趣導入如何寫出一個等比數列的通項公式呢？

*動腦思考探索新知

與等差數列相類似，我們通過觀察等比數列各項之間的關系，分析、探求規律.

設等比數列［,,｝的公比為4,則

a2=a『q,

%=4?q=（4?q）■q=%?，

海=勾.八

a4=%.4=（44

【說明】al=ai\=al-<?°

依此類推，得到等比數列的通項公式：（6.6）

知道了等比數列｛4｝中的4和小利用公式（6.6）,可以直接計算出數列的任意一項.

【想一想】

等比數列的通項公式中,共有四個量：區,、6、”和q,只要知道了其中的任意三個量，就

可以求出另外的一個量.針對不同情況，應該分別采用什么樣的計算方法？

*鞏固知識典型例題

例2求等比數列—14,—LL..的第10項.

248

例3在等比數列｛%｝中，%=-1，a&=--,求

8

【注意】本例題求解過程中，通過兩式相除求出公比的方法是研究等比數列問題的常用方法.

【想一想】在等比數列｛凡｝中，q=g.求的時，你有沒有比較簡單的方法？

【知識鞏固】

例4小明、小剛和小強進行釣魚比賽，他們三人釣魚的數量恰好組成一個等比數列.已知他

們三人一共釣了14條魚，而每個人釣魚數量的積為64.并且知道，小強釣的魚最多，小明釣的

魚最少，問他們三人各釣了多少條魚？

分析知道三個數構成等比數列，并且知道這三個數的積,可以將這三個數設為0,陽，這

q

樣可以方便地求出m從而解決問題.

【注意】將構成等比數列的三個數設為a,aq,是經常使用的方法.

q

*運用知識強化練習

2

1.求等比數列一,2,6,???.的通項公式與第7項.

3

2.在等比數列｛%｝中，的“(，％…，判斷-125是否為數列中的項，如果是，請指出是

第幾項.

*理論升華整體建構

等比數列的通項公式是什么

結論：an=ax-.

*歸納小結強化思想

本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？

*繼續探索活動探究

(1)讀書部分：教材

(2)書面作業：教材習題6.3A組(必做)；教材習題6.3B組(選做)

(3)實踐調查：用等比數列的通項公式解決生活中的一個問題

【教師教學后記】

例1是基礎題目，有助于學生進一步理解等比數列的定義.與等差數列一樣，教材中等比數列的通項公式

的歸納過程實際上也是不完全歸納法，公式的正確性也應該用數學歸納法加以證明，這一點不需要給學生講.

等比數列的通項公式中含有四個量：q,q,n,an,只有知道其中任意三個量，就可以求出另外的一個

量.教材中例2、例3都是這類問題.注意:例3中通過兩式相除求公比的方法是研究等比數列問題常用的方

法.

從例4可以看到，若三個數成等比數列,則將這三個數設成是比較好,因為這樣設了以后，這三

q

個數的積正好等于。3,很容易將。求出.

§6.3等比數列

【教學目標】

知識目標：

理解等比數列前幾項和公式.

能力目標：

通過學習等比數列前〃項和公式,培養學生處理數據的能力.

【教學重點】等比數列的前〃項和的公式.

【教學難點】等比數列前〃項和公式的推導.

【教學設計】

本節的主要內容是等比數列的前“項和公式，等比數列應用舉例.重點是等比數列的前〃項和公式；難

點是前〃項和公式的推導、求等比數列的項數九的問題及知識的簡單實際應用.

等比數列前八項和公式的推導方法叫錯位相減法，這種方法很重要，應該讓學生理解并學會應用.等比

數列的通項公式與前〃項和公式中共涉及五個量：q、q、〃、a”、S?,只要知道其中的三個量，就可以求

出另外的兩個量.

教材中例6是已知卬、4、5“求外〃的例子.將等號兩邊化成同底數幕的形式,利用指數相等來求解

n的方法是研究等比數列問題的常用方法.

【教學過程】

*揭示課題6.3等比數列.

*創設情境興趣導入

【趣味數學問題】傳說國際象棋的發明人和國王的故事。

*動腦思考探索新知

下面來研究求等比數列前”項和的方法.

等比數列｛%｝的前"項和為

S”=4+/+生+…⑴

由于4?“=%+],故將⑴式的兩邊同時乘以q,得

qS〃=+%+4++。〃+an+v(2)

用(1)式的兩邊分別減去(2)式的兩邊，得

n

-ax-an+l=a]-a｝-q=a1(1-/).⑶

當q工1時，由(3)式得等到數列｛??｝的前n項和公式

.」(二％"(67)

"q

知道了等比數列｛/｝中的4、〃和q(qHl),,利用公式(6.7)可以直接計算S,,.

n

由于a,q=an+｝=anq,

因此公式(6.7)還可以寫成S“=8衛4(gKl).(6.8)

i-q

當q=l時，等比數列的各項都相等，此時它的前〃項和為國=詞(6.9)

【想一想】在等比數列｛%｝中，知道了4、q、〃、冊、S”五個量中的三個量，就可以求出

其余的兩個量.針對不同情況，應該分別采用什么樣的計算方法？

【注意】在求等比數列的前〃項和時，一定要判斷公比q是否為1.

鞏固知識典型例題

例5寫出等比數列1,-3,9,-27,…的前〃項和公式并求出數列的前8項的和.

例6一個等比數列的首項為二9，末項為4生，各項的和為21幺1，求數列的公比并判斷數列是

4936

由幾項組成.

【注意】例6中求項數〃時，將等號兩邊化成同底數累的形式，利用指數相等來求解.這種方

法是研究等比數列問題的常用方法.

現在我們看一看本節趣味數學內容中，國王為什么不能兌現他對大臣的獎賞承諾？

國王承諾獎賞的麥粒數為

里二空2=264-1?1.84X1019,

641-2

據測量，一般麥子的千粒重約為40g,則這些麥子的總質量約為7.36xl0"g,約合7360

多億噸.我國2000年小麥的全國產量才約為1.14億噸，國王怎么能兌現他對大臣的獎賞承諾

呢！

*運用知識強化練習練習6.3.3

*鞏固知識典型例題

【趣味問題】設報紙的厚度為0.07毫米，你將一張報紙對折5次后的厚度是多少？能否對折50

次，為什么？

【小知識】復利計息法：將前一期的本金與利息的和(簡稱本利和)作為后一期的本金來計算

利息的方法.俗稱“利滾利”.

例7銀行貸款一般都采用“復利計息法”計算利息.小王從銀行貸款20萬元，貸款期限為

5年，年利率為5.76%,如果5年后一次性還款，那么小王應償還銀行多少錢？(精確到

0.000001萬元)

*運用知識強化練習

張明計劃貸款購買一部家用汽車，貸款15萬元，貸款期為5年，年利率為5.76%,5年后

應償還銀行多少錢？

*歸納小結強化思想

等比數列的前〃項和公式是什么？

結論：5"二.尸")("1).5“=與也(叱1).

l-q1-q

*繼續探索活動探究

(1)讀書部分：教材

(2)書面作業：教材習題6.3組(必做)；

(3)實踐調查：運用等比數列求和公式解決現實生活中的實際問題.

【教師教學后記】

第六章小結與復習

§7.1平面向量的概念及線性運算

【教學目標】

知識目標：

（1）了解向量、向量的相等、共線向量等概念；

（2）掌握向量、向量的相等、共線向量等概念.

能力目標：

通過這些內容的學習，培養學生的運算技能與熟悉思維能力.

【教學重點】向量的線性運算.

【教學難點】已知兩個向量，求這兩個向量的差向量以及非零向量平行的充要條件.

【教學設計】

從“不同方向的力作用于小車，產生運動的效果不同”的實際問題引入概念.

通過生活實例，借助于位移來引入向量的加法運算.向量的加法有三角形法則與平行四邊形法則.

向量的減法是在負向量的基礎上，通過向量的加法來定義的.即a-8=a+（2），它可以通過幾何作圖的方

法得到，即ab可表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.作向量減法時，必須將兩個向量平移至

同一起點.

實數力乘以非零向量。，是數乘運算，其結果記作義。，它是一個向量，其方向與向量”相同，其模為

同的4倍。

【教學過程】

*揭示課題7.1平面向量的概念及線性運算

*創設情境興趣導入

如圖7—1所矛E,4mb1無，效果一樣嗎？

圖7—1

*動腦思考探索新知

【新知識】

在數學與物理學中，有兩種量.只有大小，沒有方向的量叫做數量（標量），例如質

量、時間、溫度、面積、密度等.既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速

度、位移等.

平面上帶有指向的線段（有向線段）叫做平面向量，以A為起點，8為終點的向量記作

AB.也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應在字母上面加箭頭，記

作a.

向量的大小叫做向量的模.向量a,48的模依次記作|4，\AB\.

模為零的向量叫做零向量.記作0,零向量的方向是不確定的.

模為1的向量叫做單位向量.

*鞏固知識典型例題

例1一架飛機從A處向正南方向飛行200km,另一架飛機從A處朝北偏東45°方向飛行

200km,兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移.

*運用知識強化練習練習7.1.1

*創設情境興趣導入

觀察圖7-4中的向量AB與MN,它們所在的直線平行，兩個向量的方向相同；向量C。

與尸。所在的直線平行，兩個向量的方向相反.

動腦思考探索新知

【新知識】方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量.向量a與向量b平行記

作a〃瓦

規定：零向量與任何一個向量平行.

由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向

【想一想】圖7-4中，哪些向量是共線向量？

*動腦思考探索新知

【新知識】圖7-4中的平行向量AB與MN,方向相同，模相等；平行向量，G與TK,

方向相反，模相等.

我們所研究的向量只有大小與方向兩個要素.當向量a與向量h的模相等并且方向相同

時，稱向量。與向量b相等，記作a=6.也就是說，向量可以在平面內任意平移，具有這種

性質的向量叫做自由向量.

與非零向量。的模相等，且方向相反的向量叫做向量。的負向量，記作-a.

規定：零向量的負向量仍為零向量.

*鞏固知識典型例題

例2在平行四邊形ABCD中（圖7—5）,。為對角線交點.

（1）找出與向量D4相等的向量；

（2）找出向量力c的負向量；

（3）找出與向量AB平行的向量.乙"k/

分析要結合平行四邊形的性質進行分析.兩個向量相等,圖7—5它們

必須是方向相同，模相等；兩個向量互為負向量，它們必須是方向

相反，模相等；兩個平行向量的方向相同或相反.

*運用知識強化練習練習7.1.1

*創設情境興趣導入

王濤同學從家中（A處）出發，向正南方向行走500胴到達超市（3處），買了文具后，

又沿著北偏東60°角方向行走200根到達學校（C處）（如圖7—6）.王濤同學這兩次位移

的總效果是從家（A處）到達了學校（C處）.

圖7—6

動腦思考探索新知位移AC叫做位移A8與位移8C的和，記作AC=AB+BC.

B

ab

圖7—7

一般地，設向量”與向量b不共線，在平

面上任取一點4（如圖7—6）,依次作48=’,BC=b,則向量4c叫做向量“與向量》的和，記

作a+6,即|”+Z>=A8+BC=AC|（7.1）

求向量的和的運算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則.

觀察圖7-7可以看到：依照三角形法則進行向量a與向量b的加法運算，運算的結果仍

然是向量，叫做a與b的和向量.其和向量的起點是向量a的起點，終點是向量5的終點.

【做一做】給出兩個不共線的向量a和從畫出它們的和向量.

【想一想】（1）a+b與b+a相等嗎？請畫出圖來說明.

（2）如果向量a和向量力共線，如何畫出它們的和向量？

*動腦思考探索新知

如圖7—9所示，A8C。為平行四邊形，由于AO=BC,根據三角形法則得

AB+AD=AB+BC=AC

這說明，在平行四邊形ABC。中，AC所表示的向量就

是AB與AC的和.這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形

法則.

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質:

(1)a+O=O+a=a；a+(-a)-0；

(2)a+b-b+a-,

(3)(a+5)+c=a+(/>+<?).

*鞏固知識典型例題

例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，己知水流速度為5km/h,求該船的

實際航行速度.

*例4用兩條同樣的繩子掛一個物體（圖7—11）.設物體的重力為A,兩條繩子與垂線

的夾角為。，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力F,與尸2的大小.

分析由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是。，所以囤卜|巴|?解決問題不

考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以居+尸2=-乙

所以

【想一想】根據例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時（如圖7—12）,兩臂成什么角度

時，雙臂受力最小？

*運用知識強化練習練習7.L2

*創設情境興趣導入在進行數學運算的時候，減去一個數可以看作加上這個數的相反數.

*動腦思考探索新知

與數的運算相類似，可以將向量a與向量b的負向量的和定義為向量a與向量b的差.即

a~b=a+(-b).

設a=OA,b=OB,則

OA-OB=OA+(-OB)=OA+BO=BO+OA=BA.

即OA-OB=8A(7.2)

觀察圖7-13可以得到：起點相同的兩個向量a、b,其差a—6仍然是一個向量，叫做,

與〃的差向量，其起點是減向量力的終點，終點是被減向量a的終點.

*鞏固知識典型例題

例5已知如圖7—14(1)所示向量a、b,請畫出向量a—江

【想一想】當a與力共線時，如何畫出a—b.

*運用知識強化練習

試用

第2題圖

*創設情境興趣導入

觀察圖7—15可以看出,向量0C與向量a共線，并且0C=3a.

AA

OABC

圖7-15

*動腦思考探索新知

一般地，實數力與向量Q的積是一個向量，記作2m它的模為匹工國畫

若則當幾>0時，2a的方向與a的方向相同，當4<0時，2a的方向與a的

方向相反.

由上面定義可以得到，對于非零向量a、b,當/IwO時，有|a〃b=a=&

一般地，有0a=0,A0=0.

數與向量的乘法運算叫做向量的數乘運算，容易驗證，對于任意向量a,b及任意實數

力〃，向量數乘運算滿足如下的法則：

(1)\a=a,(-l)a=-a；(2)(初)a==

(3)(，+〃)〃=+(4)A,(^a+b)=A,a+Ab.

【做一做】請畫出圖形來，分別驗證這些法則.

向量加法及數乘運算在形式上與實數的有關運算規律相類似，因此，實數運算中的去括

號、移項、合并同類項等變形，可直接應用于向量的運算中.但是，要注意向量的運算與數的

運算的意義是不同的.

*鞏固知識典型例題

例6在平行四邊形ABCO中，O為兩對角線交點如圖7—16,AB=a,AD=b,試用a,

6表示向量A。、OD.

分析因為所以需要首先分別

22

求出向量AC與50.

例6中，-a+-b和-■!■“+■!■》都叫做向量a,b的線

2222

性組合，或者說，A。、可以用向量0,5線性表示.

一般地，^.a+jub叫做a,b的一個線性組合(其中均為系數).如果/=2a+〃

h,則稱/可以用a,b線性表示.

向量的加法、減法、數乘運算都叫做向量的線性運算.

*運用知識強化練習

1.計算：(1)3(a-2b)-2(2a+Z>)；

(2)3a-2(3a-4b)+3(a-Z>).

2.設a"不共線，求作有向線段OA,使0A=1(a+b).

2

*理論升華整體建構

思考并回答下面的問題：

向量、向量的模、向量相等是如何定義的？

結論：

當一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量(矢量)

向量的大小叫做向量的模?向量a,48的模依次記作同，|AB|.

a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量。與向量b相等，記作a=b.

*歸納小結強化思想

本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？

*自我反思目標檢測

本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？

計算：

（1）AB+BC+CD；（2）OB+BC+CA.

*繼續探索活動探究

（1）讀書部分：教材

（2）書面作業：教材習題7.1A組（必做）；7.1B組（選做）

（3）實踐調查：試著用向量的觀點解釋生活中的一些問題

【教師教學后記】

§7.2平面向量的坐標表示

【教學目標】

知識目標：

（1）了解向量坐標的概念，了解向量加法、減法及數乘向量運算的坐標表示；

（2）了解兩個向量平行的充要條件的坐標形式.

能力目標：

培養學生應用向量知識解決問題的能力.

【教學重點】向量線性運算的坐標表示及運算法則.

【教學難點】向量的坐標的概念.采用數形結合的方法進行教學是突破難點的關鍵.

【教學設計】

向量只有“模”與“方向”兩個要素，為了研究方便，我們首先將向量的起點放置在坐標原點（一般稱

為位置向量）.設x軸的單位向量為i,軸的單位向量為如果點/的坐標為（x,y）,則

OA=xi+yj,

將有序實數對（x,y）叫做向量04的坐標.記作04=（x,y）.

【教學過程】

*揭示課題

7.2平面向量的坐標表示

*創設情境興趣導入

【觀察】設平面直角坐標系中，x軸的單位向量為軸的單位向量為j,。4為從原點出發的向

量，點A的坐標為（2,3）（圖7—17）.則

OM=2iON=3j.由平行四邊形法則知

OA=OM+ON=2i+3j

圖7-17,

【說明】可以看到，從原點出發的向量，其坐標在數值上與向量終點的坐標是相同的.

*動腦思考探索新知

【新知識】

設i,j分別為x軸、了軸的單位向量，(1)設點則OM=蘇+9(如圖7—

18(1))；

(2)設點A5,%>5(%心)(如圖7—18(2)),則

AB=OB-OA=+y2j)-(x,i+yj)由此看到，對任一個平面向量a

=(電-.—+(為一—1)1

都存在著一對有序實數(x,y),使得a=xi+M.

有序實數對(尤,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y).

如圖7—18(1)所示，起點為原點，終點為M(x,y)的向量的坐標為。0=(蒼y).

如圖7—18(2)所示，起點為終點為8(均,為)的向量坐標為筋=(々-即乃-

*鞏固知識典型例題

例1如圖7—19所示，用x軸與y軸上的單位向量八l/表示向量如也并寫出它們的坐標.

一想】觀察圖7—19,0A與。M

間存在什么關系？

例2已知點尸(2,—1),0(3,2),求PQQ尸的坐標.

*運用知識強化練習

1.點A的坐標為(-2,3),寫出向量0A的坐標，并用i與j的線性組合表示向量0A.

2.設向量a=3i-4j,寫出向量a的坐標.

3.已知A,B兩點的坐標，求A8BA的坐標.

⑴4(5,3),3(3,-1);(2)A(1,2),B(2,1);(3)A(4,0),B(0,-3).

*創設情境興趣導入

【觀察】

觀察圖