專(zhuān)題01質(zhì)數(shù)那些事

閱讀與思考

一個(gè)大于1的自然數(shù)如果只能被1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))；如果能被1和本身以外的

自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù)．這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)

數(shù)將正整數(shù)分為三類(lèi)：

單位1

正整數(shù)質(zhì)數(shù)

合數(shù)

關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：

1．質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是2，但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4．

2．1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù)．

3．若質(zhì)數(shù)p|ab，則必有p|a或p|b．

4．算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能唯一地分解成k個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積(不考慮質(zhì)因數(shù)之間

的順序關(guān)系)：

a1a2ak，其中，為質(zhì)數(shù)，為非負(fù)數(shù)，，，…，．

N=P1P2PkP1P2PkPiai(i=123k)

正整數(shù)的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為＋＋…＋，所有正約數(shù)的和為＋＋…＋a1＋

N(1a1)(1a1)(1a1)(1P1P1)(1P2

＋…＋a2…＋＋…＋ak．

P2)(1PkPk)

例題與求解

【例1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值等于

_________________．

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出a，b，c的值．

【例2】若p為質(zhì)數(shù)，p3＋5仍為質(zhì)數(shù)，則p5＋7為()

A．質(zhì)數(shù)B．可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù)

C．合數(shù)D．既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)

(湖北省黃岡市競(jìng)賽試題)

解題思想：從簡(jiǎn)單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想．

【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù)．

(上海市競(jìng)賽試題)

解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開(kāi)始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是

否唯一，按剩余類(lèi)加以深入討論．

【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)n，求證：n一定是合數(shù)．

⑵若n是大于2的正整數(shù)，求證：2n－1與2n＋1中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù)．

⑶求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和．

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無(wú)論怎

樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；⑵只需說(shuō)明2n－1與2n＋1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即

可；⑶逐個(gè)求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解．

112

【例5】設(shè)x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，并且，求x＋y的值．

xyp

解題思想：由題意變形得出p整除x或y，不妨設(shè)xtp．由質(zhì)數(shù)的定義得到2t－1=1或2t－

1=p．由x≠y及2t－1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論．

【例6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱(chēng)它是一個(gè)“絕對(duì)質(zhì)數(shù)”[如2，3，5，

7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質(zhì)數(shù)]．求

證：絕對(duì)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1，3，7，9．

(青少年國(guó)際城市邀請(qǐng)賽試題)

解題思想：一個(gè)絕對(duì)質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9，則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含

有數(shù)字0，2，4，5，6，8，否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被2或5整除．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．若a，b，c，d為整數(shù)，a2b2c2d2=1997，則a2b2c2d2=________．

2．在1，2，3，…，n這個(gè)n自然數(shù)中，已知共有p個(gè)質(zhì)數(shù)，q個(gè)合數(shù)，k個(gè)奇數(shù)，m個(gè)偶數(shù)，

則(q－m)＋(p－k)=__________．

3．設(shè)a，b為自然數(shù)，滿(mǎn)足1176a=b3，則a的最小值為_(kāi)_________．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4．已知p是質(zhì)數(shù)，并且p6＋3也是質(zhì)數(shù)，則p11－48的值為_(kāi)___________．

(北京市競(jìng)賽試題)

5．任意調(diào)換12345各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A．4B．8C．12D．0

6．在2005，2007，2009這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

7．一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來(lái)的數(shù)大9，這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)

有()

A．1個(gè)B．3個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

8．設(shè)p，q，r都是質(zhì)數(shù)，并且p＋q=r，p<q．求p．

9．寫(xiě)出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù)．

(上海市競(jìng)賽試題)

10．在黑板上寫(xiě)出下面的數(shù)2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，

如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，

應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說(shuō)明理由．

(五城市聯(lián)賽試題)

11．用正方形的地磚不重疊、無(wú)縫隙地鋪滿(mǎn)一塊地，選用邊長(zhǎng)為xcm規(guī)格的地磚，恰用n塊，若

選用邊長(zhǎng)為ycm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x，y，n都是正整數(shù)，且(x，y)=1，

試問(wèn)這塊地有多少平方米？

(湖北省荊州市競(jìng)賽試題)

B級(jí)

1．若質(zhì)數(shù)m，n滿(mǎn)足5m＋7n=129，則m＋n的值為_(kāi)_________．

ppqq

2．已知p，q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，使得p=m＋n，q=m×n，則

mnnm

的值為_(kāi)_________．

3．自然數(shù)a，b，c，d，e都大于1，其乘積abcde=2000，則其和a＋b＋c＋d＋e的最大

值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)___________．

(“五羊杯”競(jìng)賽試題)

4．機(jī)器人對(duì)自然數(shù)從1開(kāi)始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染

成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1992個(gè)數(shù)是

_______________．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

5．若a，b均為質(zhì)數(shù)，且滿(mǎn)足a11＋b=2089，則49b－a=_________．

A．0B．2007C．2008D．2010

(“五羊杯”競(jìng)賽試題)

6．設(shè)a為質(zhì)數(shù)，并且7a2＋8和8a2＋7也都為質(zhì)數(shù)，記x=77a＋8，y=88a＋7，則在以下情形

中，必定成立的是()

A．x，y都是質(zhì)數(shù)B．x，y都是合數(shù)

C．x，y一個(gè)是質(zhì)數(shù)，一個(gè)是合數(shù)D．對(duì)不同的a，以上皆可能出現(xiàn)

(江西省競(jìng)賽試題)

7．設(shè)a，b，c，d是自然數(shù)，并且a2b2c2d2，求證：a＋b＋c＋d一定是合數(shù)．

(北京市競(jìng)賽試題)

8．請(qǐng)同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿(mǎn)足：

⑴6個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)；

⑵6個(gè)數(shù)任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡(jiǎn)述選擇的數(shù)符合條件的理由．

9．已知正整數(shù)p，q都是質(zhì)數(shù)，并且7p＋q與pq＋11也都是質(zhì)數(shù)，試求pqqp的值．

(湖北省荊州市競(jìng)賽試題)

10.41名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是1，2，…，40，41這41個(gè)自然數(shù)，問(wèn)：

(l)能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和是質(zhì)數(shù)？

(2)能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦

到，請(qǐng)舉出一例；若不能辦到，請(qǐng)說(shuō)明理由．

專(zhuān)題01質(zhì)數(shù)那些事

例134

例2C

例33符合要求提示：當(dāng)p=3k＋1時(shí)，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，顯然p＋14是合數(shù)，當(dāng)p=3k

＋2時(shí)，p＋10=3(k＋4)是合數(shù)，當(dāng)p=3k時(shí)，只有k=1才符合題意．

1

例4（1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005為3的倍數(shù)，故無(wú)論怎樣交換這2004

2

個(gè)數(shù)的順序，所得數(shù)都有3這個(gè)約數(shù)．

（2）因n是大于2的正整數(shù)，則2n－1≥7，2n－1、2n、2n＋1是不小于7的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，

其中必有一個(gè)被3整除，但3不整除2n，故2n－1與2n＋1中至多有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)．

（）設(shè)正整數(shù)的所有正約數(shù)之和為，，，，…，為的正約數(shù)從小到大的排列，

3abd1d2d3dna

1111

于是，．由于中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，故

d1=1dn=aSdn=a

d1d2d3dn

ddddddb

S=nn11=12n=，而a=360=23325，故b=（1＋2＋22＋23）×（1

dndndndna

b11701

＋3＋32）×（1＋5）=1170．==3．

a3604

xy22xy

例5由=，得x＋y==k．（k為正整數(shù)），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p為奇質(zhì)數(shù)，故

xypp

tp

p整除x或y，不放設(shè)x=tp，則tp＋y=2ty，得y=為整數(shù)．又t與2t－1互質(zhì)，故2t－1整除p，

2t1

xy2

p為質(zhì)數(shù)，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；若2t－1=p，則=，

xyp

pxy

2xy=p（x＋y）．∵p是奇質(zhì)數(shù)，則x＋y為偶數(shù)，x、y同奇偶性，只能同為xy=必有某數(shù)含

2

apyap

因數(shù)p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互質(zhì)，2a－1整除p，又p

22a1

p1p1pp1pp1p1p12

是質(zhì)數(shù)，則2a－1=p，a=，故x=p=，∴x＋y=＋=。

222222

例設(shè)是一個(gè)同時(shí)含有數(shù)字，，，的絕對(duì)質(zhì)數(shù)．因?yàn)椋?/p>

6N1379k0=7931k`=1793k2=9137k3=7913

，，除以所得余數(shù)分別為，，，，，，．故如下個(gè)正整數(shù)：

k4=7193k5=1937k6=7139701234567

4，

N0C1C2Cn47931=LL10k0

4，

N1C1C2Cn41793=LL10k1

…

4，

N6C1C2Cn47139=LL10k6

其中，一定有一個(gè)能被7整除，則這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)，故矛盾．

A級(jí)

1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B

8．由r=p＋q可知r不是最小的質(zhì)數(shù)，則為奇數(shù)，故p，q為一奇一偶，又因?yàn)閜＜q．故p既是質(zhì)數(shù)又

是偶數(shù)，則p=2．

9．設(shè)十個(gè)連續(xù)合數(shù)為k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，這里k為自然數(shù)，則只要取k是2，3，4，…，

11的倍數(shù)即可．

10．選甲．提示：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)總是互質(zhì)數(shù)，把相鄰自然數(shù)兩兩分為一組，這兩數(shù)總是互質(zhì)的，（2，

3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，無(wú)論乙擦哪一個(gè)數(shù)，甲就擦那一組

的另一數(shù)，以此類(lèi)推，最后還剩一對(duì)互質(zhì)數(shù)．

11．設(shè)這塊地面積為S，則S=nx2=（n＋124）y2．

∴nx2y2=124y2∵x＞y（x，y）=1

∴（x2，y2）=1（x2y2，y2）=1得x2y2｜124

∵124=22×31，x2y2=（x＋y）（x－y）

xy31xy62

∴，或

xy1xy2

x16x32

∴，或（舍）

y15y30

124y2

此時(shí)n==900．

x2y2

∴S=nx2=900×162=230400cm2=23．04m2。

B級(jí)

1．19或25

31

2．提示：q=mn，則m、n只能一個(gè)為1，另一個(gè)為q．

3

3．133234．2001

5．B提示：唯有a=2，b=2089－211=2089－2048=41是質(zhì)數(shù)，符合題意．

6．A提示：當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠3時(shí)，a2被3處余1，設(shè)a2=3n＋1，則7a2＋8=21n＋15，

8a2＋7=24n＋15，它們都不是質(zhì)數(shù)，與條件矛盾．故a=3．

7．a(chǎn)2－a，b2－b，c2－c，d2－d都是偶數(shù)，即M=a2b2c2d2－（a＋b＋c＋d）是偶數(shù)．因

為a2b2=c2d2，所以a2b2c2d2=2（a2b2）是偶數(shù)，從而