專題01整式的乘除

閱讀與思考

指數運算律是整式乘除的基礎，有以下5個公式：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，

1

amanamn(a0)，a01(a0)，ap(a0)．

ap

學習指數運算律應注意：

1．運算律成立的條件；

2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數，也可以表示一個單項式或者多項式；

3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．

多項式除以多項式是整式除法的延拓與發展，方法與多位數除以多位數的演算方法相似，基本步驟是：

1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；

2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；

3．演算到余式為零或余式的次數小于除式的次數為止．

例題與求解

【例1】（1）若n為不等式n2006300的解，則n的最小正整數的值為．

（“華羅庚杯”香港中學競賽試題）

（2）已知x2x1，那么x42x3x22x2005．（“華杯賽”試題）

（）把26展開后得12112，則

3(xx1)a12xa11xa2xa1xa0

．

a12a10a8a6a4a2a0（“祖沖之杯”邀請賽試題）

（4）若x53x47x36x22x9(xa)(xb)(xc)(xd)(xe)則

abacadaebcbdbecdcede．（創新杯訓練試題）

解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求x值，可考慮高次多項式用低次

多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在x允許取值范圍內取任何一個值代入計算，故可考慮賦值

法；對于（4），可考慮比較系數法．

11

【例2】已知25x2000，80y2000，則等于（）

xy

13

A．2B．1C．D．（“希望杯”邀請賽試題）

22

11xy

解題思路：x,y為指數，我們無法求出x,y的值，而，所以只需求出xy,xy的值或

xyxy

它們的關系，于是自然想到指數運算律．

【例3】設a,b,c,d都是正整數，并且a5b4,c3d2,ca19，求db的值．（江蘇省競賽試題）

解題思路：設a5b4m20,c3d2n6，這樣a,b可用m的式子表示，c,d可用n的式子表示，通

過減少字母個數降低問題的難度．

m31

【例4】已知多項式2x23xy2y2x8y6(x2ym)(2xyn)，求的值．

n21

解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應系數對應相等，從而可考慮用比較系數法．

【例5】是否存在常數p,q使得x4px2q能被x22x5整除？如果存在，求出p,q的值，否則請說

明理由．

解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數），根據“被除式=除式×商式”，運用待

定系數法求出p,q的值，所謂p,q是否存在，其實就是關于待定系數的方程組是否有解．

a

【例6】已知多項式2x43x3ax27xb能被x2x2整除，求的值．（北京市競賽試題）

b

解題思路：本題主要考查了待定系數法在因式分解中的應用．本題關鍵是能夠通過分析得出當x2

和x1時，原多項式的值均為0，從而求出a,b的值．當然本題也有其他解法．

能力訓練

A級

1．（1）424(0.25)231．（福州市中考試題）

（2）若a2n3，則2a6n1．（廣東省競賽試題）

2．若2x5y30，則4x32y．

3．滿足(x1)2003300的x的最小正整數為．（武漢市選拔賽試題）

4．a,b,c,d都是正數，且a22,b33,c44,d55，則a,b,c,d中，最大的一個是．

（“英才杯”競賽試題）

5．探索規律：313，個位數是3；329，個位數是9；3327，個位數是7；3481，個位數是1；

35243，個位數是3；36729，個位數是9；…那么37的個位數字是，330的個位數字

是．（長沙市中考試題）

6．已知a8131,b2741,c961，則a,b,c的大小關系是（）

A．abcB．acbC．abcD．bca

7．已知a255,b344,c533,d622，那么a,b,c,d從小到大的順序是（）

A．abcdB．abdcC．bacdD．adbc

（北京市“迎春杯”競賽試題）

8．若x2n12n,y2n12n2，其中n為整數，則x與y的數量關系為（）

A．x4yB．y4xC．x12yD．y12x

（江蘇省競賽試題）

9．已知2a3,2b6,2c12,則a,b,c的關系是（）

A．2bacB．2bacC．2bacD．abc

（河北省競賽試題）

2n42(2n)

10．化簡得（）

2(2n3)

177

A．2n1B．2n1C．D．

884

11．已知axby7,ax2by249,ax3by3133,ax4by4406，

17

試求1995(xy)6xy(ab)的值．

2

12．已知6x27xy3y214xya(2x3yb)(3xyc)．試確定a,b,c的值．

13．已知x3kx23除以x3，其余數較被x1除所得的余數少2，求k的值．

（香港中學競賽試題）

B級

1．已知2a3,4b5,8c7,則8ac2b=．

1998

732000152000

2．（1）計算：=．（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）

372000352000

45454545656565656565

（2）如果2n，那么n．

3535352525

（青少年數學周“宗滬杯”競賽試題）

3．（1）1516與3313的大小關系是15163313（填“＞”“＜”“＝”）．

320001320011320001320011

（2）與的大小關系是：（填“＞”“＜”“＝”）．

320011320021320011320021

4．如果x2x10,則x32x23=．（“希望杯”邀請賽試題）

5．已知(x2)5ax5bx4cx3dx2exf，則16b4df．

（“五羊杯”競賽試題）

6．已知a,b,c均為不等于1的正數，且a2b3c6,則abc的值為（）

1

A．3B．2C．1D．

2

（“CASIO杯”武漢市競賽試題）

7．若x3x2x10，則x27x26x11xx2x26x27的值是（）

A．1B．0C．—1D．2

8．如果x3ax2bx8有兩個因式x1和x2，則ab（）

A．7B．8C．15D．21

（奧賽培訓試題）

．已知均為正數，又，

9a1,a2,a3,a1996,a1997M(a1a2a1996)(a2a3a1997)

，則與的大小關系是（）

N(a1a2a1997)(a2a3a1996)MN

A．MNB．MNC．MND．關系不確定

10．滿足(n2n1)n21的整數n有（）個

A．1B．2C．3D．4

11．設a,b,x,y滿足axby3,ax2by27,ax3by316,ax4by442,求ax5by5的值．

5

12．若x,y,z,w為整數，且xyzw，2x2y2z2w20，求(xyzw1)2010的值．

8

（美國猶他州競賽試題）

13．已知a,b,c為有理數，且多項式x3ax2bxc能夠被x23x4整除．

（1）求4ac的值；

（2）求2a2bc的值；

（3）若a,b,c為整數，且c≥a1．試比較a,b,c的大小．

（四川省競賽試題）

專題01整式的乘除

例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值為15．

(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004

(3)令x＝1時，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①

令x＝－1時，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②

由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．

∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．

(4)所有式子的值為x3項的系數，故其值為7．

例2B提示：25xy＝2000y，①

80xy＝2000x，②

①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．

例3設a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是

n＋m2＝19

質數，n＋m2，n－m2是自然數，且n＋m2＞n－m2，得，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103

n－m2＝1

－35＝757

7

例4－提示：由題意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．

8

2m＋n＝－1

m＝－2m3＋1

∴2n－m＝8，解得，∴＝－7

n＝32

mn＝－6n－18

22

倒5提示：假設存在滿足題設條件的p，q值，設(x4＋px＋q)＝(x＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即

m＋2＝0m＝－2

5＋n＋2m＝pn＝5

x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得，解得，

2n＋5m＝0p＝6

5n＝qq＝25

故存在常數p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．

例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，

∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，設商是A．

則2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，

則x＝－2和x＝1時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．

當x＝－2時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①

當x＝1時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②

①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，

∴b＝－6－a＝6．

a－12

∴＝＝－2

b6

解法2列豎式演算，根據整除的意義解

2x25x(a9)

x2x22x43x3ax27xb

2x42x34x2

5x3(a4)x27xb

5x35x210x

(a9)x23xb

(a9)x2(a9)x2(a9)

(12a)xb2(a9)

∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，

－12－a＝0a＝－12a

∴，即，∴＝－2

b＋2(a＋9)＝0b＝6b

A級

1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，

c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a＝4．b＝4，c＝1

322322

13．提示：令x＋kx＋3＝(x＋3)(x＋ax＋6)＋r1，x＋kx＋3＝(x＋1)(x＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1

＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．

B級

189

1．

125

20002000

9719983(1＋5)71998320009

2．(1)提示：原式＝()×＝()×()＝(2)12

20002000

4937(1＋5)3749

3．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．

(2)＞提示：設32000＝x．

4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由條件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C

8．D

2

9．C提示：設a2＋a3＋…a1996＝x，則M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x＋a1a1997＋a1997x．

N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．

10．D

11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，

即ax3－ax2y＋bxy2＋by3