2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號、試室號、座位號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.，則（）A. B.2 C. D.6【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論錯誤的是（）A.是的一個極小值點B.和都是的極大值點C.的單調(diào)遞增區(qū)間是D.的單調(diào)遞減區(qū)間是【正確答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象和極值點的定義逐個分析判斷即可【詳解】對于A，由圖象可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以是的一個極小值點，所以A正確，對于B，由圖可知，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以和不是的極值點，所以B錯誤，對于C，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，所以C正確，對于D，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以D正確，故選：B3.等差數(shù)列中，，則其前100項和為（）A.5050 B.10010 C.10100 D.11000【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得，再利用求和公式求解得答案【詳解】∵，∴，解得，所以故選：C.4.從5本不同的書中選出3本分別送3位同學(xué)每人一本，不同的方法總數(shù)是（）A.10 B.60 C.243 D.15【正確答案】B分析】根據(jù)排列定義即可求解．【詳解】不同的方法總數(shù)是故選：B5.若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，求的范圍即可.【詳解】在上是減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)在上單調(diào)遞增，則，則則實數(shù)a的取值范圍是.故選：C6.已知函數(shù)，若，且，使得.則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),得到函數(shù)的草圖,結(jié)合圖象分析可得答案.【詳解】因為，且，使得,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點,因為,由,得或,由得,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的極大值為,極小值為,函數(shù)的圖象如圖所示:由圖可知,.故選:C本題考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想,數(shù)形結(jié)合思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),得到函數(shù)的草圖,由函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù),本題屬于中檔題.7.已知是定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是A.恒成立 B.恒成立C. D.當(dāng)時，；當(dāng)時，【正確答案】A【詳解】分析：先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-1)f(x),再利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和圖像，從而得到恒成立.詳解：設(shè)g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又因為所以x>1時，g(x)>0,x<1時，g(x)＜0，所以x>1時，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1時，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案為A點睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的乘法運算，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力、數(shù)形結(jié)合分析的能力.(2)解答本題有兩個關(guān)鍵，其一是觀察已知想到構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-1)f(x),再求導(dǎo),其二是得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性后，分析出x>1時，g(x)>0,x<1時，g(x)＜0.8.對于任意正實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題得，設(shè)，，，求出，解不等式即得解.【詳解】，則，設(shè)，，，則，，恒成立，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，故時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故，故，故.故選：A本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算公式以及導(dǎo)數(shù)運算法則，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)運算法則可得：對A，，A正確；對B，，B錯誤；對C，，C錯誤；對D，，D正確.故選：AD10.已知數(shù)列的前項和公式為，則（）A.，，成等差數(shù)列B.，，成等差數(shù)列C.數(shù)列是遞增數(shù)列D.數(shù)列是遞增數(shù)列【正確答案】BCD【分析】根據(jù)，可求得，，的值，可判定選項A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判定選項D；根據(jù)時，可求得，繼而可判定選項B,C.【詳解】因為，所以,,,則,故，，不成等差數(shù)列，A錯誤；又函數(shù)的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；故數(shù)列是遞增數(shù)列，則D正確；又，當(dāng)時，，滿足上式，故，則數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；切，故，，成等差數(shù)列，B正確，故選：BCD.11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）．A.是的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)，使得成立D.對任意兩個正實數(shù)，且，若，則．【正確答案】BD【分析】求導(dǎo)后討論單調(diào)性可判斷A；求導(dǎo)后討論的單調(diào)性，利用零點存在定理判斷B；利用常數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得的單調(diào)性可判斷C；利用極值點偏移問題的解法求解，從而可判斷D.【詳解】對于選項A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A錯誤；對于選項B，由，得，由于分子判別式小于零，所以恒成立，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于選項C，若，可得，令，則，令，則，所以在內(nèi)，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又因為當(dāng)時，，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故C不正確；對于選項D，設(shè)，即有，，即為，化為，故，所以，則，設(shè)（），可得，令，則在上恒成立，可得，所以，故單調(diào)遞增，可得，故成立，故D正確．故選：BD.方法點睛：（1）函數(shù)的極值點與零點可用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后再結(jié)合具體函數(shù)值分析；（2）對于含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問題可分離參數(shù)后求導(dǎo)，分析單調(diào)性再求參數(shù)的范圍；（3）極值點平移問題，先構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，再賦值，最后可得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則__________．【正確答案】【分析】由求導(dǎo)計算公式求出，從而可求解.【詳解】由題意得，則，令，得，解得.故答案為.13.已知數(shù)列滿足，，則的通項公式________.【正確答案】【分析】對已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時除以，可得數(shù)列是等比數(shù)列，可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，，解得，.故，.14.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為______；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】①.②.【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值；令，，問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求兩個函數(shù)最小值即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；令，，又對任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值2，，，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且最小值；所以，由，可得．所以的取值范圍是.方法點睛：不等式恒成立問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線過點的切線的方程.【正確答案】（1）遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；（2）或【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)出切點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，代入，求出或3，得到切線方程.【小問1詳解】的定義域為R，恒成立，故單調(diào)遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；【小問2詳解】，點不在上，，設(shè)切點，則，所以切線方程為，將代入得，化簡得，解得或3，當(dāng)時，切線方程為，當(dāng)時，切線方程為，綜上，過點的切線的方程為或.16.已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）;（2）【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前項和公式建立方程組，解出即可；（2）因為，裂項相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的等比為，因為，，，所以，解得，.【小問2詳解】因為，所以，則，所以.17.如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點.（1）證明：平面PAB；（2）若，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B，通過證明可完成證明；（2）通過證明，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面平面PBC法向量，然后由空間向量知識可得答案.【小問1詳解】取PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B，則，且，從而四邊形為平行四邊形.則，又平面PAB，平面PAB，則平面PAB；【小問2詳解】如圖取AD中點為O，連接OP，OB.因三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則.因，，則四邊形為平行四邊形，則，，結(jié)合，則，，結(jié)合，則為等邊三角形，得.又，，則，故.又，平面ADCB，則.故如圖建立以O(shè)為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系.則，因E為PD的中點，則.從而，，.設(shè)平面PBC法向量為，則，取，設(shè)直線CE與平面PBC的夾角為，則，從而.18.某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為輛，本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價相應(yīng)提高的比例為，年銷售量也相應(yīng)增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.（1）若年銷售量增加的比例為，寫出本年度的年利潤p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當(dāng)x為何值時，本年度年利潤最大？最大年利潤是多少？【正確答案】（1）（2）當(dāng)時，本年度的年利潤最大，最大年利潤為萬元【分析】（1）根據(jù)年利潤公式代入得出p(萬元)關(guān)于x的函數(shù)；（2）寫出本年度的年利潤函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值.【小問1詳解】由題意得：本年度每輛車的投入成本為，出廠價為，年銷售量為.因此本年度的年利潤.【小問2詳解】本年度年利潤為，則，令，解得或(舍去).當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時，有最大值.所以當(dāng)時，本年度的年利潤最大，最大年利潤為萬元.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的極值點；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上恒小于0，求a的取值范圍.【正確答案】（1）極大值點，無極小值點；（2）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）.【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到極值．（2）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算得到答案.（3）討論，，，四種情況，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為.，