2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】明確集合中的元素，根據(jù)交集，可得答案.【詳解】集合，，所以.故選：C.2.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率求解．【詳解】因?yàn)椋裕十?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為，故選：B3.為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開(kāi)，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng).高一?高二?高三年級(jí)分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（）A.18種 B.36種 C.72種 D.144種【正確答案】C【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題捆綁法即可由全排列求解.【詳解】由題意可得，故選:C4.已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4 C.6 D.2或6【正確答案】A【分析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處有極大值，不滿足題意；綜上：c=2.故選：A.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】判斷的奇偶性和在上的單調(diào)性，即可唯一確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則的定義域是，同時(shí)，故是奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上遞增，在上遞減，能夠體現(xiàn)在上先遞增后遞減的圖象只有D選項(xiàng).故選：D.6.若，，，則以下不等式正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合作差法比較即可.【詳解】因?yàn)椋睿x域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋裕郑裕裕?故選：D.7.已知函數(shù)f(x)，滿足在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，利用給定單調(diào)性建立不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求出最小值，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得.由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立，而因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D8.已知是定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有恒成立，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】令，根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，易得在上也是偶函數(shù)，再根據(jù)時(shí)，，得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合，利用其單調(diào)性求解.【詳解】令，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，則，所以在上也是偶函數(shù).又因當(dāng)時(shí)，有，則對(duì)成立，所以在上單調(diào)遞減；由偶函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得.綜上所述，不等式的解集是故選：B二、多選題（本大題共3小題，共18分）9.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法即可得到答案.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.如圖，用種不同的顏色把圖中五塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，若同色，共有48種涂法C.當(dāng)時(shí)，若不同色，共有48種涂法D.當(dāng)時(shí)，總的涂色方法有420種【正確答案】ABD【分析】根據(jù)同色或者不同色，即可結(jié)合選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】對(duì)于A，由于區(qū)域,兩兩相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)按照的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有種涂法，涂時(shí)，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，涂有種，當(dāng)不同色（D只有一種顏色可選），此時(shí)四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時(shí)共有24種涂法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，此時(shí)按照的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有種涂法，涂時(shí)，當(dāng)同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，當(dāng)不同色，此時(shí)四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有，只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時(shí)共有種涂法，綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中，存在“巧值點(diǎn)”的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】結(jié)合“巧值點(diǎn)”的定義，逐個(gè)求解是否有解即可【詳解】對(duì)于A，，令，得，有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于B，，令，如圖，作出函數(shù)，的圖象，結(jié)合，的圖象，知方程有解，有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于C，，令，即，得，無(wú)解，無(wú)“巧值點(diǎn)”；對(duì)于D，，令，得，令，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即方程在上有解，即有“巧值點(diǎn)”.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.由1、2、3、4可以組成______個(gè)2在百位的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).【正確答案】6【分析】用列舉法寫出所有四位數(shù)可得．【詳解】滿足題意的四位數(shù)有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6個(gè)，故6.13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____________.【正確答案】【分析】直接求導(dǎo)代入得，再求出切點(diǎn)和斜率即可得到切線方程.【詳解】由題：，所以，，所以，所以，，，，所以切線方程為，即.故14.曲率在數(shù)學(xué)上是表明曲線在某一點(diǎn)彎曲程度的數(shù)值.對(duì)于半徑為的圓，定義其曲率，同樣的，對(duì)于一般曲線在某點(diǎn)處的曲率，我們可通過(guò)該點(diǎn)處的密切圓半徑計(jì)算.其中對(duì)于曲線在點(diǎn)處的密切圓半徑計(jì)算公式為，其中表示的導(dǎo)數(shù)，表示的導(dǎo)數(shù).已知曲線，則曲線在點(diǎn)處的曲率為_(kāi)____；C上任一點(diǎn)處曲率的最大值為_(kāi)____.【正確答案】①.##②.##【分析】首先求處的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可求解曲率的最大值.【詳解】，，，，,所以曲線在點(diǎn)處的曲率為；上任一點(diǎn)處的，，，得（舍）或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)曲率取得最大值，最大值為.故；四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，其中一、二、三、四組分別有3人、4人、5人、6人.（1）選1人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每組選1名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？（3）推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，有多少種不同的選法？【正確答案】（1）18（2）360（3）119【分析】（1）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（3）根據(jù)分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解；【小問(wèn)1詳解】分四類：第一類，從一組中選1人，有3種方法；第二類，從二組中選1人，有4種方法；第三類，從三組中選1人，有5種方法；第四類，從四組中選1人，有6種方法.所以不同的選法共有種方法.【小問(wèn)2詳解】分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四組中選1名組長(zhǎng)，所以不同的選法共有種方法；【小問(wèn)3詳解】分六類：第一類，從一、二組中各選1人，有種方法；第二類，從一、三組中各選1人，有種方法；第三類，從一、四組中各選1人，有種方法；第四類，從二、三組中各選1人，有種方法；第五類，從二、四組中各選1人，有種方法；第六類，從三、四組中各選1人，有種方法；所以不同的選法共有種方法.16.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，的面積為，求b，c的值．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和差角的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）由面積公式可得，再根據(jù)余弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及．得，即，即，因?yàn)椋裕裕裕拘?wèn)2詳解】由題意得的面積，所以①．又，且，所以②．由①②得．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上的最小值是，求的值.【正確答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）答案見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）直接代入求導(dǎo)，令即可得到其極值；（2）求導(dǎo)得，再對(duì)分和討論即可；（3）求導(dǎo)得，再對(duì)分，和討論即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，，若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】，，若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，不滿足題意；若，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得，滿足題意；若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得，不滿足題意，綜上，.18.如圖，已知四邊形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面.（1）若是的中點(diǎn)，證明:；（2）求二面角的余弦；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，（2）求解平面法向量，根據(jù)法向量的夾角即可求解，（3）根據(jù)線面角的向量法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)槿切问钦切危沂堑闹悬c(diǎn)，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅问蔷匦危瑒t，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以.小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)二面角為，則，又二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】由（1）可得，設(shè)，可得，由（2）可知：平面的法向量，則由，整理可得，解得或（舍去），即，可知存在點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求證.【正確答案】（1）個(gè)（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；（2）直接驗(yàn)證，分、兩種情況討論，結(jié)合分離參數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)法求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求導(dǎo)，分析可知，函數(shù)在上有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，利用二次方程根的分布求出的取值范圍，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，其中，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋裕瘮?shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，所以，函數(shù)在定義域內(nèi)存在唯一零點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，由可得，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，則；當(dāng)時(shí)，則，