2024年數學聯考試題1.考試時間120分鐘2.本試題共三道大題，28道小題，總分120分一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）請在答題卡上用2B鉛筆將你的選項所對應的大寫字母涂黑1.的相反數是（）A. B. C. D.答案：B解：根據相反數的性質可知：的相反數為．故選：B．2.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在中國北京市和張家口市聯合舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.答案：C解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選C這個圖形就是中心對稱圖形．3.下列運算正確的是（）A.2a＋5a＝7a2 B.（－2a）3＝8a3C.－8a2÷2a＝－4a D.3a2·a3＝3a6答案：C解：A、2a＋5a＝7a≠7a2，該選項錯誤；B、，該選項錯誤；C、－8a2÷2a＝－4a，正確；D、，該選項錯誤；故選：C．4.用4個高和直徑相同的圓柱體組成如圖所示的立體圖形，它的俯視圖是（）A. B. C. D.答案：B解：從上邊看，是一行三個圓．故選：B．5.函數的自變量x的取值范圍是（）A.x≠0 B.x≥且x≠0 C.x＞ D.x≥答案：B解∶根據分式有意義可得：，根據二次根式有意義可得：，解得：，綜合可得：且．故選B．6.下列命題中是真命題的是（）A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.有理數和數軸上的點是一一對應的D.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短答案：D解：A.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，是假命題，不符合題意，B.兩條平行的直線被第三條直線所截，同位角相等，是假命題，不符合題意，C.實數和數軸上的點是一一對應的，是假命題，不符合題意，D.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，是真命題，符合題意，故選D．7.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A. B.C. D.答案：D解：，由①化簡，得，由②化簡，得，在數軸上畫出解集如下圖，故選：D．8.關于方程的根的說法中，正確的是（）A.沒有實數根 B.兩實數根的和為C.有兩個不相等的實數根 D.兩實數根的積為答案：C解：∵，∴．∴該方程有兩個不相等的實數根．故A選項不符合題意，C選項符合題意．∵有兩個不相等的實數根，∴兩實數根之和為，兩實數根之積為．故B選項不符合題意，D選項不符合題意．故選：C．9.某校“英語課本劇”表演比賽中，九年級的10名學生參賽成績統計如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法中正確的是（）A.平均數是88 B.眾數是85 C.中位數是90 D.方差是6答案：C解：10名學生參賽成績：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均數是，眾數是90，中位數是，，即選項A、B、D錯誤，選項C正確，故選：C．10.為應對市場對新冠疫苗越來越大需求，白云大型疫苗生產企業更新技術后，加快了生速度，現在平均每天比更新技術前多生產10萬份疫苗，現在生產500萬份疫苗所需的間比更新技術前生產400萬份疫苗所需時間少用5天，設現在每天生產x萬份，據題意列方程（）A. B.C. D.答案：B解：設現在每天生產x萬份，則更新技術前每天生產萬份疫苗，由題意得，，故選：B．11.某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數據計算AB的長為（）m．A.+1.6 B.﹣1.6 C.+0.9 D.﹣0.9答案：B解：如圖，延長BA交CM于點M，則四邊形CEBF是矩形．∵四邊形CEBF是矩形，∴CE＝FB＝5m．∵DNCE，∴∠NDM＝∠DMC＝45°．在Rt△DCM中，∵∠DMC＝45°，∴DC＝CM＝3.4m．∴ME＝CE﹣CM＝5﹣3.4＝1.6（m）．在Rt△AEM中，∵∠DMC＝∠EMA＝45°，∴AE＝ME＝1.6m．在Rt△CEB中，∵∠ECB＝30°，tan∠ECB＝，∴EB＝tan30°?EC＝×5＝．∴AB＝EB﹣EA＝﹣1.6（m）．故選：B．12.如圖，拋物線與x軸交于點，對稱軸為直線．結合圖象分析下列結論：①；②；③；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤若m，n（）為方程的兩個根，則且．其中正確的結論有（）A.①③⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.②③④⑤答案：B解：拋物線開口向下，對稱軸為直線，與軸交于正半軸，∴，∴，故①錯誤；由圖象可知，當時，；故②正確；∵圖象經過點，∴，∵，∴，∴，∴，故③錯誤；由對稱性可知：拋物線與軸的另一個交點坐標為，∴方程的兩個根為：，，，，的兩根，，故④正確；∵若m，n（）為方程的兩個根，則拋物線與直線的交點的橫坐標分別為，由圖象可知：當時，或，∴且；故⑤正確；故選：B．二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請在答題卡上把你的答案寫在相對應的題號后的指定區域內13.人類進入5G時代，科技競爭日趨激烈，據報道，我國已經能大面積生產14納米的芯片，14納米即為0.000000014米，將其用科學記數法表示為____________米答案：解：，故答案為：．14.計算：=_________．答案：原式，故答案為：．15.如圖4×4正方形網格，隨機在圖形中撒一粒黃豆，落在陰影部分的概率是____________.答案：解：依題意，隨機在圖形中撒一粒黃豆，落在陰影部分的概率是，故答案為：．16.如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是_____．答案：##解：，．將，代入，得：．故答案為：17.如圖，現有一個圓心角為，半徑為的扇形紙片（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為___________________．答案：解：設圓錐的底面圓的半徑為根據題意得解得即該圓錐底面圓的半徑為故答案為：．18.反比例函數與一次函數的圖象有一個交點，則k的值為________．答案：6解：將點代入一次函數，得，解得，，將點坐標代入反比例函數解析式，得，故答案為：6．19.如圖，在中，，，，點為內一動點．過點作于點，交于．若為等腰三角形，且，則的長為____．答案：或解：∵，∴，∴，又∵，∴．分以下三種情況：若，如圖，過點作于，則四邊形為矩形，∴，又∵，∴，∴；②若，如圖，過點作于，則四邊形為矩形，∴，在中，由勾股定理可得，∴，∴；③若，如圖，則在中，根據勾股定理得，，又∵，∴，∴，∴，∴，此時，不符合題意．綜上所述，的長為或．故答案為：或．20.學校計劃用200元錢購買A，B兩種獎品，A獎品每個15元，B獎品每個25元，兩種都要買且錢全部用完，則購買方案有___種．答案：2解：設購買A獎品x個，B獎品y個．根據題意可知：化簡得：解得由題意x和y均為正整數，因此x只可以為5或10解得或綜上，共有2種購買方案．故答案為：221.如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍，拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；……照這樣拼圖，則第n個圖形需要___________根火柴棍．答案：2n+1解：由圖可知：拼成第一個圖形共需要3根火柴棍，拼成第二個圖形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三個圖形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n個圖形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案為：2n+1．22.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以點C為圓心3為半徑作⊙C分別交AC，BC于D，點P是⊙C上一個動點，則PA+PB的最小值為_____．答案：解：在AC上截取CQ＝1，連接CP，BQ，∵AC＝9，CP＝3，∴，∵CP＝3，CQ＝1，∴＝，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ＝AP，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，∴當B、Q、P三點共線時，PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ=1，∴QB＝，∴PA+PB的最小值，故答案為：．三、解答題（本題共6個小題，共54分）請在答題卡上把你的答案寫在相對應的題號后的指定區域內23.如圖，平分，且交于點C．（1）作的平分線交于點D（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）；（2）根據（1）中作圖，連接，求證：四邊形是菱形．答案：（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖，射線為所求；【小問2詳解】證明：∵，，平分，．，，同理可證，．又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形．24.在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）以點為位似中心，作出的位似圖形，使△和位似比為，并寫出點的坐標；（2）作出繞點逆時針旋轉后的圖形；則點B所經過的路徑長為．答案：（1）見解析，（2）【小問1詳解】解：如圖，為所作，點的坐標為；故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，為所作，，所以點所經過的路徑長．故答案為：．25.已知，如圖，是的直徑，點C為上一點，于點F，交于點E，與交于點H，點D為的延長線上一點，且．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若的半徑為10，，求的長．答案：（1）見解析（2）見解析（3）BH=15【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】證明：連接AC，如圖所示，∵OF⊥BC，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：連接，如圖所示，∵是的直徑，∴，∵的半徑為10，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，．26.甲、乙兩地間的直線公路長為600千米，一輛轎車與一輛貨車分別沿該公路從甲、乙兩地以各自的速度相向而行，貨車比轎車早出發1小時，途中轎車出現了故障，停下維修，貨車仍繼續行駛，1小時后轎車故障被排除，此時接到通知，轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地（接到通知及掉頭時間不計）最后兩車同時到達甲地，已知兩車距各自出發地的距離（千米）與轎車所用的時間（小時）的關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1）貨車的速度是_________千米/時，轎車的速度是__________千米/時；（2）求轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式；（3）求貨車出發多長時間，兩車相距120千米？答案：（1）60，90（2）（3）貨車出發小時或6小時時兩車相距120千米【小問1詳解】解：由圖象可得，貨車的速度為：（千米時），，轎車的速度為：（千米時），故答案為：60，90；【小問2詳解】當時，設轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式是，點在該函數圖象上，，解得，即當時，轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式是；當時，；當時，設轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式是，點，在該函數圖象上，，解得，即當時，轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式是，由上可得，轎車距其出發地的距離（千米）與所用時間（小時）之間的函數表達式是；【小問3詳解】設貨車出發小時時兩車相距120千米，兩車相遇之前：，解得，，時符合題意；兩車相遇之后且轎車維修好之前：，解得，，不符合題意，，解得，當時，，此時轎車剛剛維修好，符合題意；轎車維修好之后：由上可知，當貨車行駛6小時時，兩車相距120千米，又因為轎車速度大于貨車速度，故兩車越來越近，距離不可能是120千米；由上可得，貨車出發小時或6小時時兩車相距120千米．27.設一個鈍角三角形的兩個銳角為與，如果滿足條件，那么我們稱這樣的三角形為“倍余子母形”．（1）若是“倍余子母形”，．按所給條件填寫角的度數．①當時，______；②當時，______；（2）如圖1，在中，，．若是的平分線，則易證是“倍余子母形”，試問在邊上是否存在點（異于點），使得也是“倍余子母形”？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，在四邊形中，，過點作交邊于點，，連接．當是“倍余子母形”時，求的長．答案：（1）①；②或（2）存在，（3）【小問1詳解】解：∵“倍余子母形”，，∴①當時，第一種情況，，即，解得，；第二種情況，，即，解得，，不符合題意，舍去；故答案為：；②當時，第一種情況，，即，解得，；第二種情況，，即，解得，；故答案為：或；【小問2詳解】解：存在，，理由如下，如圖所示，假設上有一點，滿足是“倍余子母形”，∵是“倍余子母形”，∴只有當，∵，∴，且，∴，∴，則，∵，∴，∴，∴存在，；【小問3詳解】解：在四邊形中，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，當是“倍余子母形”時，∵，但，∴只有，∴，且，∴，∴，即，設，∴，解得，或（不符合題意，舍去），∴．28.如圖，二次函數的圖象與軸交于點和，點的坐標是，與軸交于點．點在拋物線上運動．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2．當點在第四象限的拋物線上運動時，連接，，，當的面積最大時，求點的坐標及的最大面積；（3）當點在軸上運動時，借助圖1探究以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫出點的坐標．答案：（1）拋物線的表達式為；（2）當時，的面積最大，最大值為6．此時點的坐標為；（3）點