2025年中考九年級數學自主招生考試模擬試題一、單選題1．已知x為實數，且3x2+9x?(xA．1 B．-3或1 C．3 D．-1或32．下表是某校合唱團成員的年齡分布年齡/歲13141516頻數515n對于不同的n，下列關于年齡的統計量不會發生改變的是（

）A．平均數、中位數 B．眾數、中位數 C．平均數、方差 D．中位數、方差3．對于任意非零實數a，b，定義運算“※”如下：“a※b”＝a?babA．12017 B．12018 C． D．﹣4．反比例函數y=kxk≠0的圖像上有一點A（?4，2），點O為坐標原點，將直線OA繞點A逆時針旋轉90°，交雙曲線于點B，則點BA．（?2，） B．（?43，6） C．（?2，4） D．（?1，5．已知兩地相距300千米，甲騎摩托車從A地出發勻速駛向B地，當甲行駛1后，乙騎自行車以20km/?的速度從B地出發勻速駛向A地.甲到達B地后馬上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此過程中，甲、乙兩人之間的距離y（km）與甲行駛時間x?之間的函數關系如圖所示.下列說法：①甲最終追上乙時，乙騎行了7小時；②點P的縱坐標為240；③線段QM所在直線的解析式為y=40x?160；④當x=134,A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．如圖（1），一只圓形平盤被同心圓劃成M，N，S三個區域，隨機向平盤中撒一把豆子，計算落在M，N，S三個區域的豆子數的比．多次重復這個試驗，發現落入三個區域的豆子數的比顯示出一定的穩定性，總在三個區域的面積之比附近擺動．如圖（2）將一根筷子放在該盤中AB位置，發現三個圓弧剛好將AB五等分．我們把豆子落入三個區域的概率分別記作PM，PN，PS，已知PS=A． B． C．415 D．15二、填空題7．設，a2+b2=4ab，則8．如圖，△ABC是等邊三角形，O是△ABC的外心，外接圓半徑為23，分別以A，B，C為圓心，AO，BO，為半徑作弧交△ABC的三邊于點，I，D，E，F，G，則陰影部分的面積為9.桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊的黑點，則B球一次反彈后擊中A球的概率是（）10．如圖，在Rt△ABC中，，點E為BC上的動點，點F為邊AC的中點，點D為Rt△ABC內一動點，且滿足∠ABD=∠11．如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的角平分線DE交BC于點E，EF⊥AE，交CD于點F，以AE，EF為邊，作矩形AEFG，FG與DA相交于點．若CE=3，AH=5，則AG=12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=62，點E是邊BC上一動點，B關于AE的對稱點為B'，過點B'作B'F⊥CD于點F，連接D

二、解答題13．已知x1，x2是關于x的方程(1)求實數m的取值范圍：(2)已知等腰△ABC的一邊長為3，若x1、x214．如圖，O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D是AC延長線上一點，過點D作DE⊥AB，DE分別交AB、CB的延長線于點E、F，若點E恰是(1)求證：CE是⊙O(2)若BC=1，CD=315．為推進城鄉教育均衡發展，我市某公益組織決定向某偏遠鄉鎮學校的教育事業提供大力支持．他們精心準備了一批書籍和實驗器材，共計360套，其中書籍的數量比實驗器材多了120套，以更好地滿足學生的閱讀需求．(1)求這批物資中書籍和實驗器材各有多少套？(2)為了將這些書籍和實驗器材安全、高效地運送到目的地，該公益組織計劃同時租用甲、乙兩種型號的貨車共8輛．每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實驗器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實驗器材20套．請問他們有哪幾種租車方案？(3)在（2）的條件下，已知甲種型號的貨車每輛需付運費1000元，而乙種型號的貨車每輛需付運費900元．請你幫助該組織推薦一種能使運費最少的租車方案，并求最少運費是多少元？16．綜合與探究如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線

(1)求拋物線的解析式；(2)D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若線段OC上有一點Q，則AQ+1717CQ(4)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．答案第=page77頁，共=sectionpages1717頁答案第=page88頁，共=sectionpages1717頁參考答案1．B【分析】設x2+9x=y，方程變形后，求出【詳解】解：設x2+9x=y，方程變形為去分母得：3?y2=2y分解因式得：(y?1)(y+3)=0，解得：y=1或y=?3，經檢驗y=1與y=?3都為分式方程的解，則x2故選：B．【點睛】本題考查了換元法解分式方程，當分式方程比較復雜時，可采用整體思想換元，使方程簡化，注意檢驗．2．B【分析】本題考查眾數的概念，中位數的概念，熟練掌握相關知識是解題的關鍵；由頻數分布表可知后兩組的頻數和為10，即可得知總人數，結合前兩組的頻數知出現次數最多的數據及第15、16個數據的平均數，可得答案．【詳解】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數和為n+10?n=10，則總人數為：5+15+10=30，故該組數據的眾數為14歲，中位數為：（歲），即對于不同的n，關于年齡的統計量不會發生改變的是眾數和中位數，故選：B3．D【詳解】分析：根據新定義的運算法則，直接帶入數值計算即可.詳解：由新定義可得：1※2＋2※3＋3※4＋…＋2017※2018=1?21×2=-（1-12+12?13=-（1-12018=-20172018故選D.點睛：此題主要考查了新定義下的分式的代入求值，根據⊕的運算定義代入數據求值即可.屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過新運算的定義利用新運算解決問題是關鍵．4．D【分析】過點A作軸于點C，過點B作BD⊥AC于點D，可證明ΔABD～ΔOAC，得到BDAC=ADOC，用待定系數法求得反比例函數解析式，設出B（m，），分別表示出BD、【詳解】如圖，過點A作軸于點C，過點B作BD⊥AC于點∴∠由題意得∠∴∠∴∴∵反比例函數y=kxk≠0的圖像上有一點A（?4∴k=?4×2=?8，AC=4,OC=2∴設B（m，）∴∴∴化簡得m解得m1（?1，8）故選：D．【點睛】本題屬于反比例函數與幾何的綜合題目，考查了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等，準確的作出輔助線是解題的關鍵．5．D【分析】①根據題意,兩人距離y為時間x的函數,由圖象可知兩人起始距離為300km,甲走4小時時兩車相遇,由此即可求得甲的速度為每小時60km；進一步求出甲到B地的時間為5小時,甲原路返回直到追上乙時,比乙多走300km,列方程解答即可；②當甲行駛1小時時,兩人的距離等于300km減去甲1小時走的路程,即可得到P的縱坐標；③從兩人相遇到甲到達B時用1小時,M的橫坐標為5,此時兩人距離等于兩人一小時走的路程和,即可求出M的縱坐標,由Q,M的坐標即可求出線段QM所在直線的解析式；④分別計算當x=134,194,【詳解】解：①(300?20×3)÷4=60(km/h)，300÷60=5(小時)，設甲最終追上乙時乙行駛了a小時,由題意得：60(a+1)?300=20a，解得：a=6，故①錯誤；②300?60×1=240(km)，所以P的縱坐標為240，②正確；③20+60=80(km)，所以M坐標為(5,80)，又因為Q的坐標為(4,0)，設線段QM所在直線的解析式y=kx+b，80=5k+b解得：k=80b=?320所以y=80x?320③錯誤;④x=134時,300?60×134?20×(x=194時,(20+60)×(19x=112時,20×(112?1)?(60×112綜上所述：②④正確.故答案為D．【點睛】本題考查了同學們從圖像中獲取信息解決問題的能力及數形結合的思想,關鍵是從圖像中獲取到正確的信息,并能應用信息解決問題．6．A【分析】本題考查幾何概率，掌握幾何概率就是求幾何圖形的面積比是解題的關鍵，設小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r，設AB=10a，根據勾股定理求出r2=6【詳解】解：如圖，設小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r，設AB=10aAE=5a，CE=3a，DE∴OE解得：r2=6a∴M部分面積與整個圓面積的比：5πr∴PM等于8故選A．【詳解】試題解析：由圖可知可以瞄準的點有2個．．∴B球一次反彈后擊中A球的概率是277．?【詳解】試題分析：由可判斷，再構造，最后把整體代入化簡即可.∵∴∵∴∴.考點：代數式求值點評：計算題是中考必考題，一般難度不大，學生要特別慎重，盡量不在計算上失分.8．【分析】本題主要考查三角形外心的定義、等邊三角形的性質、正多邊形的中心角的定義、勾股定理、扇形的面積公式等知識，連接OA、OB、OC，則OA=OB=OC=23，由等邊三角形的性質得∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，則∠OCA=∠OCB=∠OAB=30°，延長交AB于點P，則CP⊥AB，所以OP=12OA=3，則CP=33，AP=BP=3，所以AB=6【詳解】解：連接OA、OB、OC，則OA=OB=OC=23∵△ABC∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=13×360°=120°∴∠OCA=∴CO平分∠ACB延長交AB于點P，則CP⊥AB∴∠OPA=90°∴OP=∴CP=OC+OP=33，AP=BP=∴AB=2AP=6∵S∴S故答案為：．9.【詳解】試題解析：由圖可知可以瞄準的點有2個．．∴B球一次反彈后擊中A球的概率是2710．43?4/【分析】本題考查最短路線問題，理解軸對稱的性質，分析點D的運動軌跡是解題關鍵．以AB為底邊，在異于點C的另一側作等腰△AOB，使∠AOB=120°，則點D在⊙O上運動，然后作點F關于BC的對稱點，連接OF'【詳解】解：在Rt△ABC中，，∴tan∴∠BAC=60°，AB=2AC=4∴∠ADB=180°?以AB為底邊，在異于點C的另一側作等腰△AOB，使∠AOB=120°，則點D在⊙O∴∠OAB=30°，作OH⊥AB于點∴OA=OB=OD=，作點F關于BC的對稱點，連接OF'當點O、D、E、四點共線時，有最小值，點F為邊AC的中點，，，在Rt△OAF的最小值為43?4，故答案為：43?411．15【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，首先證明Rt△ECF≌Rt△ABEASA，推導出AE=EF,結合矩形AEFG,推導出四邊形AEFG為正方形，然后利用∠GAH=∠FEC,∠G=∠C,推導出△GAH∽△CEF,AG【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD=AB，∠B=∴∠AEB+∵EF⊥∴∠AEF=90°,∴∠EAB=∵DE平分∠ADC∴∠CDE=在Rt△CDE中，在Rt△ECF和∠B=∴Rt△∴AE=EF，在矩形AEFG中，AG=EF=AE，∴四邊形AEFG為正方形，∴∠G=90°∴AG∥∴∠GAH=又∵∠∴△GAH∴AG∴AG·EF=AH·CE，∴A∴AE=∴AG=AE=故答案為：15．12．6【分析】作B'G⊥AD于點G，由△DB'F為等腰直角三角形，可證明四邊形B'FDG是正方形，則B'G=DG，即可在Rt△AB'G中根據勾股定理得62?DG2【詳解】解：作B'G⊥AD于點G，則

∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=62，∴∠B=∠ADC=∠C=90°，BC=AD=62，CD=AB=6∴由折疊得AB'=AB=6∵B'F⊥CD于點∴∠B∴四邊形B'∵△D∴B'F=DF，∴四邊形B'∴B'∵，且AG=62?DG∴62∴DG=32∴AG=DG=B∴∠G∵∠G∴∠G∴E、B'、D∴∠CE∴CE=CD=6，∴BE=62故答案為：62【點睛】本題主要考查了矩形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．13．(1)m>(2)1，3【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與判別式之間的關系，三角形三邊之間的關系，等腰三角形的定義，解一元一次不等式，解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與判別式之間的關系是解題的關鍵．（1）由根的判別式即可得出答案；（2）由題意得出方程的一個根為3，將x=3代入求出m的值，再根據三角形三邊之間的關系進行判斷，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：Δ=4m+1解得：m>1（2）解：由題意可知：x1∴只能取x1=3或x2將x=3代入得：9?6m+1解得：m=1或5，當m=1時，方程的另一個根為1，此時三角形三邊分別為1，3，3，能構成一個等腰三角形；當m=5時，方程的另一個根為9，此時三角形三邊分別為9，3，3，不能構成一個三角形；綜上所述，這個三角形另外兩邊的長分別為1，3．14．(1)證明見解析(2)S【分析】（1）連接OC，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，從而可得∠DCF=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CE=DE，然后利用等腰三角形的性質可得∠OCA+∠DCE=90°（2）連接BD，根據已知可得∠CDB=30°，從而可得∠BDF=∠F=30°，然后證明△CDE是等邊三角形，可得，根據∠AED=90°，可得∠A=30°，從而可得∠BOC=60°，即可得△BOC是等邊三角形，最后利用△OCE的面積減去扇形的面積進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∵AB是⊙O∴∠DCF=∵點E是DF的中點，∴CE=1∴∠DCE=∵DE⊥∴∠AED=90°∴∠A+從而∠OCA+∴，即OC⊥∵OC是⊙O∴CE是⊙O（2）解：如圖，連接BD，由（1）知：∠DCF=90°∵BC=1，?CD=3∴tan∠∴∠COB=30°∴∠CBD=60°∵DE⊥AB，E是DF的中點，∴BD=BF，∴∠BDF=∴∠ADE=60°由CE=DE得△CDE是等邊三角形，從而．在△ADE中，DE⊥∴∠A=30°∴∠BOC=2∵OC=OB，∴OC=OB=BC=1．∴S扇形OBC∵S△∴S陰影【點睛】本題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．15．(1)240套；120套(2)4種；方案見解析(3)租甲種型號的車1輛，乙種型號的車7輛；7300元【分析】本題主要考查了利用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實際問題，找到題目中的等量關系和不等關系是解題的關鍵．（1）設書籍和實驗器材分別為x、y套，根據“書籍和實驗器材，共計360套，其中書籍的數量比實驗器材多了120套”列方程組求解即可；（2）設安排甲型號的貨車a輛a>0，則安排乙型號的貨車8?a輛，根據“每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實驗器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實驗器材20套”列不等式組求解即可；（3）分別計算出（2）中各方案的費用，然后比較即可．【詳解】（1）解：設書籍和實驗器材分別為x、y套．根據題意得：x+y=360x?y=120解得：x=240y=120故書籍和實驗器材分別為240套，120套．（2）解：設安排甲型號的貨車a輛a>0，則安排乙型號的貨車8?a輛．根據題意得：40a+30解得：0<a≤4，又∵a取整數，∴a=1，2，3，48?a=7，6，5，4，∴共有4種方案，如下：方案一：甲1輛，乙7輛；方案二：甲2輛，乙6輛；方案三：甲3輛，乙5輛；方案四：甲4輛，乙4輛；（3）解：方案一所需運費：1000+7×900=7300（元），方案二所需運費：2×1000+6×900=7400（元），方案三所需運費