小結與復習

第四章三角形考點精講當堂練習課堂小結要點梳理目錄要點梳理教學目標教學重點一.三角形的有關性質1.由不在同一直線上的三條線段首尾_________所組成的圖形叫作三角形.以點A，B，C為頂點的三角形記為______，讀作“三角形ABC”.順次相接△ABC2.三角形三個內角的和等于______.180°要點梳理銳角三角形直角三角形鈍角三角形按角分按邊分不等邊三角形等腰三角形5.三角形的三邊關系三角形的任意兩邊之和大于第三邊.三角形的任意兩邊之差小于第三邊.3.

三角形的分類4.直角三角形的兩個銳角互余.6.三角形的三條中線交于一點.這點稱為三角

形的重心.

三角形的三條角平分線交于一點.三角形的三條高所在的直線交于一點.二.全等三角形1.全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等3.三角形的穩定性的依據：SSS2.全等三角形的判定AASSSSSASASA考點精講典例精講歸納總結考點一三角形的三邊關系

例1

已知兩條線段的長分別是3cm、8cm

，要想拼成一個三角形，且第三條線段a的長為奇數，問第三條線段應取多長？解：

由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊，得8－3<a<8+3,所以5<a<11.又因為第三邊長為奇數,所以第三條邊長為7cm或9cm.【分析】根據三角形的三邊關系滿足8－3<a<8+3

解答即可.考點精講考點二三角形的內角和例2

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數．解：因為∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因為CD是∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因為DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，

∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.考點三三角形的角平分線、中線、高例3

如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，D是AC的中點，設△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝________．解析：因為D是AC的中點，所以AD＝AC，因為S△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.

因為EC＝2BE，S△ABC＝12，

所以S△ABE＝

S△ABC＝×12＝4.

因為S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)

＝S△ADF－S△BEF，所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2

三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．方法歸納考點四全等三角形的判定與性質例4

如圖，AD是△ABC的中線，過點C，B分別作AD的垂線CF，BE.試說明：BE＝CF.要說明BE＝CF，可根據中線及垂線的定義和對頂角的性質來說明△BDE和△CDF全等．導引：因為AD是△ABC的中線，所以BD＝CD.因為CF⊥AD，BE⊥AE，所以∠CFD＝∠BED＝90°.在△BDE和△CDF中，因為所以△BDE≌△CDF(AAS)．所以BE＝CF.解：例5

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點G,交AB于點E,EF∥BC交AC于點F,試說明：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲證∠DEC=∠FEC由平行線的性質轉化為證明∠DEC=∠DCE只需要證明△DEG

≌△DCG.ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個角所在的兩個三角形，看它們全等的條件夠不夠；有時會用到等角轉換，等角轉換的途徑很多，如：余角，補角的性質、平行線的性質等，必要時要想到添加輔助線.方法總結已知：線段a，c，∠α

，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝

c，∠ABC＝∠α.acαBMDED′E′N(1)作∠MBN＝∠α；作法與示范考點五利用尺規作三角形例6BMD′E′NCA(2)在射線BM上截取BC＝a,在射線BN上截取BA＝c；作法與示范acBMD′E′NCA(3)連接AC，則△ABC為所求作的三角形.作法與示范ab考點六本章中的思想方法方程思想例7

如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數.ABCD))))2413解：設∠1=x°，根據題意，得∠2=x°.

因為∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x°,∠4=x°.又因為∠3=∠C，所以∠C=2x°.在△ABC中，x+2x+2x=180,解得x=36.所以∠1=36°.

在角的求值問題中，常常利用內角之間的關系進行轉化，然后通過三角形內角和定理列方程求解.方法總結分類討論思想例8

已知等腰三角形的兩邊長分別為10和6，則三角形的周長是

．解析：由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時周長為26；第二種10為底，則6為腰，此時周長為22.26或22化歸思想ABCDO如圖，△AOC與△BOD是有一組對頂角的三角形，其形狀像數字“8”，我們不難發現有一重要結論：∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見的基本圖形模型，我們稱它為“8字型”圖.當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1.已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4，則三角形的周長是

．24【方法歸納】等腰三角形沒有指明腰和底時要分類討論，但也別忘了用三邊關系檢驗能否組成三角形這一重要解題環節.2.在△ABC中,三個內角∠A,∠B,∠C滿足∠B－∠A=∠C-∠B，則∠B=

.

90°3.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數是

，∠FBC的度數是

.4.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點O，若∠BOC=132°，那么∠A的度數是

.ABCEFABCDEO20°40°84°5.已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD6.

我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對角線AC，BD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F.試說明：OE＝OF.因為在△ABD和△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD