數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列哪一項(xiàng)不是數(shù)學(xué)模型的基本要素？

A.目標(biāo)函數(shù)

B.約束條件

C.模型參數(shù)

D.模型名稱(chēng)

2.在線(xiàn)性規(guī)劃中，目標(biāo)函數(shù)通常表示為：

A.最大值

B.最小值

C.最大值或最小值

D.無(wú)限制

3.下列哪個(gè)不是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型類(lèi)型？

A.線(xiàn)性規(guī)劃模型

B.非線(xiàn)性規(guī)劃模型

C.動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

D.模糊數(shù)學(xué)模型

4.下列哪個(gè)不是數(shù)學(xué)模型建立的基本步驟？

A.確定模型目標(biāo)

B.收集數(shù)據(jù)

C.建立模型

D.模型驗(yàn)證

5.在求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)是最大化，那么約束條件中的等式右側(cè)應(yīng)該是：

A.≥

B.≤

C.=

D.無(wú)限制

二、填空題（每題5分，共25分）

1.數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化和概括的一種方法，它包括______、______、______等基本要素。

2.在線(xiàn)性規(guī)劃中，如果目標(biāo)函數(shù)是最大化，那么在求解過(guò)程中，我們需要找到目標(biāo)函數(shù)的______。

3.在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，首先要明確模型的______，這是模型建立的基礎(chǔ)。

4.數(shù)學(xué)模型建立的基本步驟包括：確定模型目標(biāo)、______、建立模型、模型驗(yàn)證。

5.在求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)是最大化，那么約束條件中的等式右側(cè)應(yīng)該是______。

三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）

1.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的基本要素。

2.簡(jiǎn)述線(xiàn)性規(guī)劃模型的基本步驟。

3.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型建立的意義。

四、計(jì)算題（每題20分，共40分）

1.某工廠(chǎng)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要3小時(shí)的人工和2小時(shí)的機(jī)器時(shí)間，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要2小時(shí)的人工和3小時(shí)的機(jī)器時(shí)間。工廠(chǎng)每天有8小時(shí)的人工和12小時(shí)的機(jī)器時(shí)間。產(chǎn)品A的利潤(rùn)為每件50元，產(chǎn)品B的利潤(rùn)為每件40元。要求求解以下問(wèn)題：

（1）每天生產(chǎn)A和B各多少件時(shí)，工廠(chǎng)可以獲得最大利潤(rùn)？

（2）如果產(chǎn)品B的利潤(rùn)提高到每件60元，其他條件不變，工廠(chǎng)的最大利潤(rùn)是多少？

2.設(shè)某城市有三種類(lèi)型的商店：大型商店、中型商店和小型商店。這三種商店在一個(gè)月內(nèi)的銷(xiāo)售量分別為x、y和z。已知大型商店的月銷(xiāo)售量與中型商店的月銷(xiāo)售量之比為2:1，中型商店的月銷(xiāo)售量與小型商店的月銷(xiāo)售量之比為3:2。如果該城市的總銷(xiāo)售量為1000件，要求求解以下問(wèn)題：

（1）大型商店、中型商店和小型商店的月銷(xiāo)售量分別是多少？

（2）如果大型商店的月銷(xiāo)售量增加50件，其他條件不變，總銷(xiāo)售量將如何變化？

五、應(yīng)用題（每題20分，共40分）

1.某城市公交公司計(jì)劃開(kāi)通一條新的公交線(xiàn)路，該線(xiàn)路需要經(jīng)過(guò)三個(gè)站點(diǎn)：A、B和C。已知A站到B站的距離為10公里，B站到C站的距離為15公里。根據(jù)交通規(guī)劃，公交車(chē)在A站和B站之間的平均速度為60公里/小時(shí)，在B站和C站之間的平均速度為50公里/小時(shí)。要求求解以下問(wèn)題：

（1）如果公交車(chē)在A站和B站之間的行駛時(shí)間為t小時(shí)，那么在B站和C站之間的行駛時(shí)間是多少？

（2）如果公交車(chē)在A站和B站之間的行駛時(shí)間為2小時(shí)，那么這條公交線(xiàn)路的總行駛時(shí)間是多少？

2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其生產(chǎn)過(guò)程包括兩個(gè)階段：加工和組裝。加工階段需要投入原材料和人工，組裝階段需要投入人工和設(shè)備。已知加工階段每單位產(chǎn)品的原材料成本為10元，人工成本為5元；組裝階段每單位產(chǎn)品的人工成本為3元，設(shè)備成本為2元。要求求解以下問(wèn)題：

（1）如果公司計(jì)劃生產(chǎn)1000單位產(chǎn)品，那么加工階段和組裝階段的總成本是多少？

（2）如果原材料成本降低到每單位8元，其他條件不變，公司生產(chǎn)1000單位產(chǎn)品的總成本將如何變化？

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.D（模型名稱(chēng)不是數(shù)學(xué)模型的基本要素，其他三項(xiàng)是）

2.B（線(xiàn)性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)可以是最大化或最小化，但通常表示為最小值）

3.D（模糊數(shù)學(xué)模型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，但不是常見(jiàn)的類(lèi)型）

4.D（模型驗(yàn)證是數(shù)學(xué)模型建立后的一個(gè)步驟，不是基本步驟）

5.B（線(xiàn)性規(guī)劃中，等式右側(cè)通常是小于等于，表示約束條件）

二、填空題答案及解析思路：

1.目標(biāo)函數(shù)、約束條件、模型參數(shù)

2.最小值（線(xiàn)性規(guī)劃中，目標(biāo)函數(shù)通常是最大化或最小化）

3.模型目標(biāo)（明確模型目標(biāo)是建立模型的第一步）

4.收集數(shù)據(jù)（在建立模型之前，需要收集相關(guān)數(shù)據(jù)）

5.≤（線(xiàn)性規(guī)劃中，等式右側(cè)通常是小于等于，表示約束條件）

三、簡(jiǎn)答題答案及解析思路：

1.數(shù)學(xué)模型的基本要素包括：目標(biāo)函數(shù)、約束條件、模型參數(shù)、模型變量等。

2.線(xiàn)性規(guī)劃模型的基本步驟包括：確定模型目標(biāo)、建立模型、選擇合適的算法求解、分析結(jié)果。

3.數(shù)學(xué)模型建立的意義在于：可以簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題、提供決策依據(jù)、提高解決問(wèn)題的效率。

四、計(jì)算題答案及解析思路：

1.

（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則目標(biāo)函數(shù)為：50x+40y

約束條件為：

3x+2y≤8（人工時(shí)間）

2x+3y≤12（機(jī)器時(shí)間）

x≥0，y≥0

（2）如果產(chǎn)品B的利潤(rùn)提高到每件60元，則目標(biāo)函數(shù)為：50x+60y

2.

（1）設(shè)大型商店月銷(xiāo)售量為2x，中型商店月銷(xiāo)售量為x，小型商店月銷(xiāo)售量為2/3x

則2x+x+2/3x=1000

解得x=300，2x=600，2/3x=200

所以大型商店月銷(xiāo)售量為600件，中型商店月銷(xiāo)售量為300件，小型商店月銷(xiāo)售量為200件。

（2）如果大型商店的月銷(xiāo)售量增加50件，則大型商店月銷(xiāo)售量為650件，其他條件不變

總銷(xiāo)售量為650+300+200=1150件

五、應(yīng)用題答案及解析思路：

1.

（1）由速度、時(shí)間和距離的關(guān)系，可得：

10=60t

t=1/6小時(shí)

15=50(1-t)

t=3/10小時(shí)

所以B站和C站之間的行駛時(shí)間為3/10小時(shí)。

（2）總行駛時(shí)間為1/6+3/10=8/15小時(shí)。

2.

（1）加工階段總成本為10*1000+5*1000=15000元

組裝階段總成本為3*1000+2*1000=5000元