高中數學數列知識點總結

1.等差數列的有關概念：

(1)等差數列的判斷方法：定義法=d(d為常數)或(〃之2)。

(2)等差數列的通項：4=4+(〃-l)d或=4+(〃-m)d。

如等差數列｛%｝中，％o=3O,%o=5O，則通項%=;

(3)等差數列的前幾項和：.=Sn=nai+^^-da

(4)等差中項：若a,Ab成等差數列，則A叫做。與b的等差中項，且4="。

2

提醒：(1)等差數列的通項公式及前〃和公式中，涉及到5個元素：％、d、…"及S”,

其中4、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知

3求2。

(2)為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差為d)；偶數個數成等差，可設為…，

a-3d,a-d,a+d,a+3d,(公差為2d)

2.等差數列的性質：

(1)當公差d#0時，等差數列的通項公式=4+(〃-1)〃=1〃+4-d是關于"的一■次函

數，且斜率為公差d；前〃項和"=M1+"2[=弓“2+a—；|)“是關于〃的二次函數且常

數項為0.

(2)若公差d>0,則為遞增等差數列，若公差d<0,則為遞減等差數列，若公差d=0,

則為常數列。

(3)當=時，貝U有%,+%=%+4,特別地，當m+〃=2p時，則有

=2%-

(4)若是等差數列,則其應“-S〃名-S?”，…也成等差數列

如等差數列的前〃項和為25,前2〃項和為100,則它的前3〃和為

A

(5)若等差數列｛叫、｛優｝的前九項和分別為4、B“,且

%;(2〃-1)%_&“_]

/(2n-D.

bn-(2n-l)bn-

如設｛%｝與｛2｝是兩個等差數列，它們的前〃項和分別為S”和7"，若鼠=)二，那么

Tn4?-3

%

b”

(6)“首正”的遞減等差數列中，前〃項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增

等差數列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組(或［確

U+1<o^U+1>oj

定出前多少項為非負(或非正)；法二：因等差數列前〃項是關于〃的二次函數，故可轉化為

求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性“eN*。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？

(函數思想)，由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？

如已知數列｛aj滿足a】=33,a"『「an=-2,則數列｛aj的前多少項和最大,最大值為多

少?

3.等比數列的有關概念：

(1)等比數列的判斷方法：定義法芻包=刎為常數)，其中尸0或-=&(〃22)。

anana,I

nm

(2)等比數列的通項：%=a0i或%=amq-。

如設等比數列｛q｝中，%+?！?66,44-1=128,前〃項和S“=126,求〃和公比

_ax-anq

(3)等比數列的前"項和：當q=l時，S〃=叫；當“71時，Sn=

"q1-(/

特別提醒：等比數列前〃項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前〃項和時，首先要

判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比“是否為1時，要

對q分q=l和qwl兩種情形討論求解。

(4)等比中項：若a,A/成等比數列，那么A叫做。與b的等比中項。

4.等比數列的性質：

(1)當=p+q時，則有a,”?4=4,?4,特別地，當根+〃=2p時，則有a,“?a”=aj.

如①在等比數列｛%,｝中，%+/=124,%%=-512,公比q是整數，則。io=;

②各項均為正數的等比數列｛an｝中，若%y=9,則log3al+log3a2++1og3aio=。

(2)若｛%｝是等比數列,則數列5"應"-$2",…也是等比數歹?。荨?/p>

如在等比數列｛%｝中，S”為其前n項和，若邑°nBSmHo+Sso=140，則的值為;

(3)若4〉0國〉1,則儂｝為遞增數列；若.<0應>1,則｛%｝為遞減數列;若

弓〉0,0<4<1,則｛%｝為遞減數列；若q<O,O<q<l,則｛%｝為遞增數列；若q<0,則｛%｝

為擺動數列；若4=1,則｛4｝為常數列.

(4)如果數列｛〃,｝既成等差數列又成等比數列，那么數列｛%｝是非零常數數列，故常數數

列｛七｝僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。

5.數列的通項公式的求法：

⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。

如已知數列3±5工,7',92,…試寫出其一個通項公式：；

481632

⑵已知S.(即%+/++a“=/5))求應,用作差法：/=性D

如①已知｛“〃｝的前”項和滿足log2(S〃+1)=〃+1,求％;

②數列｛a”｝1兩足54+了_3++亍74"=2〃+5,求樂

/■⑴,5=1)

⑶已知a。的…求%,用作商法：an=

如數列｛a"｝中，見=1,對所有的"22都有2a3，則。3+%=

⑷若q+i求a”用累加法：an=(a?-an_x)+｛an_x-an_2)++(a2-at)

+ax(n>2)o

如已知數列｛a“｝滿足q=1,an-a,-=~^=-r(〃22),貝Uan=__________

J"+1+J"

⑸已知嗅=/(〃)求4,用累乘法：a“=S-^-a,(n>2)o

an-\an-2ai

如已知數列｛6｝中,4=2,前〃項和S”，若5“=/%,求知

⑹已知遞推關系求％,用構造法(構造等差、等比數列)。特別地,

n

(1)形如O"=S7T+6、an^kan_l+b(k,b為常數)的遞推數列都可以用待定系數法轉化為

公比為左的等比數列后，再求凡。

如已知％=1,an=34T+2，求；

(2)形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。

kan_x+b

如已知q=1,an=———,求；

X-1+1

注意：(1)用%=S,,-S“T求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？

(n>2>當”=1時，％=S])；

(2)一般地當已知條件中含有a“與S”的混合關系時，常需運用關系式與=S“-S"T，

先將已知條件轉化為只含%或S“的關系式，然后再求解。

如數列｛??)滿足q=4,S“+S〃+i=ga“+i,求％;

6.數列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，

特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；

③常用公式：1+2+3++"=!〃(〃+1),I2+22++/=!〃(〃+1)(2〃+1),

2o

13+23+33++4=[硬*了.

2

如等比數列｛2｝的前〃項和Sn=2n—1,則a；+a；+a；+…+a；=；

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并

在一起，再運用公式法求和.

如求和Sn=l?n+2?（nT）+3*（n-2）+,??+n?1.

（3）并項求和法：

如求和：S=l-2+3-4+-+（-1）n+1n.

如：1002-992+982-972+-+22-12

（4）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相

關聯，則?？煽紤]選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前〃和公式的

推導方法）.

Y2111

如已知/⑴則〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+勺)+飛)+%)=

X

設外幻二二4」，利用倒序相加法（課本中推導等差數列前n項和的方法），可求得八1焉穴2焉）3小焉）十…六20裝14）的值為

4以22015201520152015

（5）錯位相減法