集合與常用邏輯用語第一章第2講命題及其關系，充分條件與必要條件【考綱導學】1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系．3．理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系：(2)四種命題的真假關系：①兩個命題互為逆否命題，它們具有__________的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性________________．相同沒有關系充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要1．(教材習題改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是(

)A．“若x<y，則x2<y2” B．“若x≤y，則x2≤y2”C．“若x>y，則x2>y2” D．“若x≥y，則x2≥y2”【答案】B

【解析】根據原命題和其逆否命題的條件和結論的關系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．2．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線．在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為(

)A．0 B．2C．3 D．4【答案】B

【解析】向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1，所以命題p為真，其逆命題為假，故其否命題為假，其逆否命題為真．故選B．3．(2018年天津)設x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A

【解析】由x3＞8，得x＞2，則|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜－2或x＞2，則x3＜－8或x3＞8.故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要條件．故選A．4．(2018年北京)設a，b，c，d是非零實數，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數列”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B

【解析】若a，b，c，d成等比數列，則ad＝bc，反之數列－1，－1,1,1滿足－1×1＝－1×1，但數列－1，－1,1,1不是等比數列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數列”的必要不充分條件．故選B．5．(教材習題改編)下列命題：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分條件；②“圓心到直線的距離等于半徑”是“這條直線為圓的切線”的充要條件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要條件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件．其中為真命題的是________________________(填序號)．【答案】②④1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結論，而命題的否定是只否定命題的結論，不否定命題的條件．2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(

)(2)四種形式的命題中，真命題的個數為0或2或4.(

)(3)命題“三角形的內角和是180°”的否命題是“三角形的內角和不是180°”．(

)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(

)(5)給定兩個命題p，q，若p是q的充分不必要條件，則?p是?q的必要不充分條件．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√課堂考點突破2四種命題及其相互關系

(1)命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(

)A．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”，為真命題B．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，為真命題C．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，為假命題D．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”，為假命題(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復數，則|z1|＝|z2|”，關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(

)A．真、假、真 B．假、假、真C．真、真、假 D．假、假、假【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)根據逆否命題的定義可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命題為假命題，所以其逆否命題也是假命題．(2)由共軛復數的性質，|z1|＝|z2|，所以原命題為真，因此其逆否命題為真；取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復數，所以其逆命題為假，故其否命題也為假．【規律方法】(1)由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，如果命題不是“若p，則q”的形式，應先改寫成“若p，則q”的形式；如果命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提不變．(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例．(3)根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．【跟蹤訓練】1.(1)命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是(

)A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”(2)已知命題“若函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數，則m≤1”，則下列結論正確的是(

)A．否命題是“若函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是減函數，則m＞1”，是真命題B．逆命題是“若m≤1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數”，是假命題C．逆否命題是“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是減函數”，是真命題D．逆否命題是“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內不是增函數”，是真命題【答案】(1)B

(2)D【解析】(1)將原命題的條件與結論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個數的平方是正數，則它是負數”．(2)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，所以m≤1，即已知命題是真命題．所以其逆否命題“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內不是增函數”是真命題．充分必要條件的判定

(1)已知α，β為第一象限的兩個角，則“α＞β”是“sinα＞sinβ”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)“a＝2”是“函數f(x)＝x2＋ax＋1在區間[－1，＋∞)上為增函數”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)D

(2)A【規律方法】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷．(2)集合法：根據p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件．【跟蹤訓練】2．(1)(2018年黃岡模擬)若向量a＝(m,0)，b＝(0，m－2)，則“m＝2”是“a∥b”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)A

(2)C根據充分、必要條件求參數的范圍

(1)(2018年濟南一模)若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＞b，b∈R}，則A?B的一個充分不必要條件是(

)A．b≥2 B．1＜b≤2C．b≤1 D．b＜1【答案】(1)D

(2)A【規律方法】充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上．解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區間端點值的檢驗．課后感悟提升31個區別——“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區別“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結論；“A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結論．在進行充分、必要條件的判斷中，要注意這兩種說法的區別．2條規律——四種命題間關系的兩條規律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假．(2)當判斷一個命題的真假比較困難時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假．同時要關注“特例法”的應用．3種方法——判斷充分條件和必要條件的方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假，并注意和圖示相結合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．(2)等價法：利用p?q與?q??p，q?p與?p??q，p?q與?q??p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．(3)集合法：如果A?B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果A＝B，則A是B的充要條件．【答案】A

2．(2018年浙江)已知平面α，直線m，n滿足