《6.4實踐與探索》教學設計課型新授課√復習課口試卷講評課口其他課口教學內容分析本節課主要圍繞實際問題展開，通過兩個具體問題（包裝盒的制作和長方形的拼圖）引導學生運用數學知識解決實際問題。教學內容涉及方程的應用、幾何圖形的拼合、以及古代數學問題的解析。通過這些活動，學生能夠加深對方程、幾何和數學思維的理解，培養解決實際問題的能力。學習者分析學生已經掌握了基本的方程解法、幾何圖形的性質如何列二元一次方程組和三元一次方程組，他們具備一定的邏輯思維能力和動手操作能力，但在將數學知識應用于實際問題時，可能會遇到困難。因此，本節課通過具體的實踐活動，幫助學生將理論知識與實際問題相結合，提升他們的應用能力。教學目標1.掌握如何利用方程解決實際問題，理解幾何圖形的拼合原理，學會分析古代數學問題。2.通過動手操作和小組討論，培養學生的合作能力和探究精神。3.體會古代數學的智慧，增強文化自信，欣賞數學文化。教學重點如何將實際問題轉化為數學問題；建立方程并求解；培養數學建模能力教學難點將實際問題轉化為數學模型；理解古代數學問題的解法。學習活動設計教師活動學生活動環節一：引入新課教師活動3：教材第45頁問題1要用20張白卡紙做長方體的包裝盒,準備把這些白卡紙分成兩部分,一部分做側面,另一部分做底面.已知每張白卡紙可以做2個側面,或者做3個底面.如果1個側面和2個底面可以做成一個包裝盒,那么如何分才能使做成的側面和底面正好配套?請你設計一種分法.想一想,如果可以將一張白卡紙裁出一個側面和一個底面,那么,該如何分這些白卡紙,才既能使做出的側面和底面配套,又能充分利用白卡紙?參考：不裁切時：無法嚴格配套，建議用?9張做側面、11張做底面，生產16個包裝盒。允許裁切時：用?8張全做側面，?11張全做底面，?1張裁切，可正好生產?17個包裝盒，無剩余。學生活動1：學生分組討論如何分配白卡紙制作包裝盒，嘗試設計一種分法。活動意圖說明：激發學生興趣，引導學生思考實際問題，培養數學建模能力，為后續學習打下基礎。環節二：新知導入教師活動3：教材第46頁問題2小明在拼圖時,發現8個大小一樣的長方形,恰好可以拼成如圖6.4.1所示的一個大長方形.小紅看見了,說:“我來試一試.”結果小紅七拼八湊,拼成如圖6.4.2所示的正方形.咳,怎么中間還留下了一個洞,恰好是邊長為2?mm你能求出這些長方形的長和寬嗎?圖6.4.1圖6.4.2探索設長方形的長和寬分別為x?mm、y?mm.圖S即x但這是我們還沒有研究過的方程!你有其他辦法來解決這個問題嗎?做一做：從5.3節提出的問題中選出一個,用本章的方法來處理,并比較一下兩種方法,談談你的感受.學生活動：學生觀察拼圖，嘗試建立方程求解長方形的長和寬。活動意圖說明：培養學生觀察能力和數學建模能力，理解方程在解決實際問題中的應用。環節三：閱讀材料教師活動3：教材第47頁雞兔同籠今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?這是出自我國《孫子算經》中著名的“雉(雞)兔同籠”問題,可以認為是我國雞兔同籠問題的始祖.對這一問題,《孫子算經》給出了簡捷而又巧妙的解法:“上置頭,下置足.半其足,以頭除足,以足除頭,即得.”(此處“除”意為“減”)即先設金雞獨立,玉兔雙足(即“半其足”),這時共有足數為:94÷2=47.在這47只足中,每數一只足應該有一只雞,而每數兩只足才有一只兔,也就是說,雞的頭、足數相等,而每只兔的頭數卻比足數少一,所以兔數為47?35=12,雞數為35?12=23.一般情況下,如果設x為雞數,y為兔數,A為雞和兔的總只數,B為雞和兔的總足數,則x解得x這就是說,兔數恰好為足數的二分之一(半其足)與總頭數之差(以頭除足).在古代朱世杰(生卒年不詳)的《算學啟蒙》(1299年)、《永樂大典》中的《丁巨算法》、嚴恭(生卒年不詳)的《通原算法》中,也有雞兔同籠問題的記載.朱世杰的解法與《孫子算經》不同,而與現在算術解法則幾乎完全一樣.學生活動3：學生閱讀雞兔同籠問題，嘗試理解其解法，并小組討論。活動意圖說明：感受古代數學的智慧，理解數學原理在解決實際問題中的應用，培養團隊協作和問題解決能力。課堂練習【必做題】1．下列方程組中，不是三元一次方程組的是(D)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,x＋y＝7，,x＋y＋z＝6)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝2，,x－y＋z＝0，,x－z＝4))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＋z＝5，,x＋z＝4)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋3z＝5，,x－3y＝4z，,xy＋yz＝1))2.小明和小麗同時到一家水果店買水果，小明買1kg荔枝和5kg西瓜，共花了30元；小麗買2kg荔枝和3kg西瓜，共花了46元.設荔枝每千克x元，西瓜每千克y元，根據題意可列出方程組為

x+53．解方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－7，,5x＋3y＋2z＝2，,3x－4z＝4；))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,2x＋5y－2z＝11，,3x－5y＋2z＝－1.)))解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－7，①,5x＋3y＋2z＝2，②,3x－4z＝4，③))把①代入②，得5x＋6x－21＋2z＝2，即11x＋2z＝23，④④×2＋③，得25x＝50，解得x＝2，把x＝2代入①，得y＝－3，把x＝2代入③，得z＝eq\f(1,2).所以方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，,z＝\f(1,2)；))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，①,2x＋5y－2z＝11，②,3x－5y＋2z＝－1，③))②＋③，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得y＝1，把x＝2，y＝1代入②，得2×2＋5×1－2z＝11，解得z＝－1，所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，,z＝－1.)))【選做題】4．桌面上有甲、乙、丙三個杯子，三杯內原本均裝有一些水．先將甲杯的水全部倒入丙杯，此時丙杯的水量為原本甲杯內水量的2倍多40毫升；再將乙杯的水全部倒入丙杯，此時丙杯的水量為原本乙杯內水量的3倍少180毫升．若過程中水沒有溢出，則原本甲、乙兩杯內的水量相差多少毫升(B)A．80 B．110 C．140 D．2205.用代入法解方程組4x?3y=17,①5x+y=7,②A.由①得x=B.由①得y=C.由②得y=7-5xD.由②得x=【綜合拓展作業】6．有一場足球比賽，共有九支球隊參加，采取單循環賽，其記分和獎勵方案如表：標準勝一場平一場負一場積分310獎勵(元/人)20008000甲隊參加完了全部8場比賽，共得積分16分．(1)求甲隊勝負的所有可能情況；(2)若每一場比賽，每一個參賽隊員均可得出場費500元，求甲隊參加了所有8場比賽的隊員的個人總收入(獎金加上出場費)．解：(1)設甲隊勝x場，平y場，負z場．根據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝16，,x＋y＋z＝8，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(z,2)，,y＝4－\f(3,2)z，)))得整數解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，,z＝0，)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1，,z＝2.)))即甲隊勝負的所有可能情況有：“4勝4平”或者“5勝1平2負”．(2)若是4勝4平，甲隊參加了所有8場比賽的隊員的個人總收入為2000×4＋800×4＋500×8＝15200(元)，若是5勝1平2負，甲隊參加了所有8場比賽的隊員的個人總收入為2000×5＋800＋500×8＝14800(元)．答：若是4勝4平，個人總收入為15200元；若是5勝1平2負，個人總收入為14800元．課堂總結包裝盒設計問題：涉及數學運算和邏輯推理，需要將實際問題轉化為數學問題，理解長方體體積和表面積的計算。長方形拼圖問題：涉及方程的建立和求解，需要理解方程在解決實際問題中的應用，掌握如何通過拼圖問題建立方程。雞兔同籠問題：了解古代數學問題的解法及其背后的數學原理，感受古代數學的智慧，掌握設未知數和建立方程的方法。作業設計【知識技能類作業】1.把某一段公路的一側全部栽上銀杏樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完.設原有樹苗x棵，公路長為y米.根據題意，下面所列方程組中正確的是(A)A.y=6x?1C.y=6x52.將三元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＋z＝0，①,3x＋y－4z＝11，②,x＋y＋z＝－2③))經過①－③和③×4＋②消去未知數z后，得到的二元一次方程組是(A)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝2，,7x＋5y＝3)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝2，,23x＋17y＝11))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,23x＋17y＝11)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,7x＋5y＝3))3．已知某速食店販售的套餐內容為一片雞排和一杯可樂，且一份套餐的價錢比單點一片雞排再單點一杯可樂的總價錢便宜40元，小梁打算到該速食店買兩份套餐，若他發現店內有單點一片雞排就再送一片雞排的促銷活動，且單點一片雞排再單點兩杯可樂的總價錢，比兩份套餐的總價錢便宜10元，則根據題意可得到的結論是(C)A．一份套餐的價錢必為140元B．一份套餐的價錢必為120元C．單點一片雞排的價錢必為90元D．單點一片雞排的價錢必為70元【綜合拓展類作業】4.學校八年級師生共406人準備到某教育實踐基地參加研學旅行，現已預備了49座和37座兩種客車共10輛，剛好坐滿.設49座客車x輛，37座客車y輛，根據題意可列出方程組(B)A.x+y=1037x+49y=406C.x+y=40649x+37y=105.在疫情防控期間，某中學為保障廣大師生生命健康安全，欲從商場購進一批免洗手消毒液和84消毒液.如果購買40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花費1320元；如果購買60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花費1860元.(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價格分別是多少元?(2)若商場有兩種促銷方案：方案一，所有購買商品均打九折；方案二，購買5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液.學校打算購進免洗手消毒液100瓶、84消毒液60瓶，請問學校選用哪種方案更節約錢?節約多少錢?解：

（1）?解答過程：?設免洗手消毒液每瓶價格為

x

元，84消毒液每瓶價格為

y

元根據題意列方程組：?40x+90y=1320解得：每瓶免洗手消毒液?15元，每瓶84消毒液?8元。（2）原價總費用：?100×15+60×8=1980元方案一（打九折）：?1980×0.9=1782元方案二（買5送2）：?每買5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液。購買100瓶免洗手消毒液，可分成

100÷5=20

組，贈送

20×2=40

瓶84消毒液。實