第4講基本不等式及其應用

知識梳理

1、基本不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，當且僅當ab時，等號成立．其中，叫作a，b

22

的算術平均數，ab叫作a，b的幾何平均數．即正數a，b的算術平均數不小于它們的幾何

平均數．

基本不等式1：若a，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時取等號；

ab

基本不等式2：若a，bR，則ab（或ab2ab），當且僅當ab時取等

2

號．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求

最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續使用不等式要注意取得一

致．

【解題方法總結】

1、幾個重要的不等式

（1）a20aR,a0a0,a0aR.

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，則ab（當且僅當“ab”時取“”）．

2

1ab

特例：a0,a2;2（a,b同號）．

aba

（3）其他變形：

2

ab

①a2b2（溝通兩和ab與兩平方和a2b2的不等關系式）

2

a2b2

②ab（溝通兩積ab與兩平方和a2b2的不等關系式）

2

2

ab

③ab（溝通兩積ab與兩和ab的不等關系式）

2

2aba2b2

④重要不等式串：aba,bR即

11

22

ab

調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．

2、均值定理

已知x,yR．

2

xyS2

（1）如果xyS（定值），則xy（當且僅當“xy”時取“=”）．即“和

24

為定值，積有最大值”．

（2）如果xyP（定值），則xy2xy2P（當且僅當“xy”時取“=”）．即積為

定值，和有最小值”．

3、常見求最值模型

nn

模型一：mx2mn(m0,n0)，當且僅當x時等號成立；

xm

nn

模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，當且僅當

xaxa

n

xa時等號成立；

m

x11c

模型三：(a0,c0)，當且僅當x時等號成

2c

axbxcaxb2acba

x

立；

mx(nmx)1mxnmxn2n

模型四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，當且

mm24mm

n

僅當x時等號成立．

2m

必考題型全歸納

題型一：基本不等式及其應用

【解題方法總結】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是

否成立進行驗證．

例1．（2024·遼寧·校聯考二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種

方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜

邊AB上異于頂點的一個動點，設ADa，BDb，用該圖形能證明的不等式為（）．

ab2ab

A．aba0,b0B．aba0,b0

2ab

22

abab22

C．a0,b0D．ab2aba0,b0

22

【答案】C

1ababab

【解析】由圖知：OCAB,ODOBBDb，

2222

a2b2

在Rt△OCD中，CDOC2OD2，

2

aba2b2

所以OCOD，即a0,b0，

22

故選：C

例2．（2024·全國·高三專題練習）已知x，y都是正數，且xy，則下列選項不恒成立的

是（）

xyxy

A．xyB．2

2yx

2xy1

C．xyD．xy2

xyxy

【答案】D

【解析】x，y都是正數，

xyyx2xy2xy

由基本不等式，xy，2，≤xy，這三個不等式都是當且僅

2xyxy2xy

當xy時等號成立，而題中xy，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；

11

xy2中當且僅當xy1時取等號，如x,y2即可取等號，D中不等式不恒成立．

xy2

故選：D．

例3．（2024·江蘇·高三專題練習）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數是（）

ababab

①已知ab0，求的最小值；解答過程：22；

bababa

2

x521

②求函數y的最小值；解答過程：可化得yx42；

x24x24

222x

③設x1，求yx的最小值；解答過程：yx2，

x1x1x1

22x

當且僅當x即x2時等號成立，把x2代入2得最小值為4．

x1x1

A．0個B．1個C．2個D．3個

【答案】A

ab

【解析】對①：基本不等式適用于兩個正數，當ab0，與均為負值，

ba

ababab

此時22，

bababa

ab

當且僅當，即ab0時等號成立，故①的用法有誤，故①錯誤；

ba

1

對②：yx242，

x24

21

當且僅當x4，即x241時取等號，

x24

但x242，則等號取不到，故②的用法有誤；

22

對③：x1，x10，yxx11221，

x1x1

當且僅當x12，即x21時取等號，故③的用法有誤；

故使用正確的個數是0個，

故選：A.

題型二：直接法求最值

【解題方法總結】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件．

例4．（2024·河北·高三學業考試）若x，yR，且x2y3，則xy的最大值為______．

9

【答案】

8

【解析】由題知，x，yR，且x2y3

因為x2y2x2y，

所以32x2y，

9

所以98xy，即xy，

8

33

當且僅當x2y，即x,y時，取等號，

24

9

故答案為：

8

例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）若a，b0，且abab3，

則ab的最小值是____________．

【答案】9

【解析】因為abab32ab（當且僅當ab時，等號成立），

所以(ab)22ab30，

所以(ab3)(ab1)0，所以ab3，所以ab9，

所以ab的最小值為9.

故答案為：9

例6．（2024·天津南開·統考一模）已知實數a0,b0,ab1，則2a2b的最小值為

___________.

【答案】22

【解析】∵a0，b0，ab1，

1

∴2a2b22a2b22ab22，當且僅當2a2b即ab時取等號.

2

故答案為：22.

題型三：常規湊配法求最值

【解題方法總結】

1、通過添項、拆項、變系數等方法湊成和為定值或積為定值的形式．

2、注意驗證取得條件．

1

例7．（2024·全國·高三專題練習）若x2，則fxx的最小值為___________.

x2

【答案】0

1

【解析】由x2，得x20，0，

x2

111

所以f(x)xx222(x2)20，

x2x2x1

1

當且僅當x2即x=1時等號成立.

x2

故答案為：0

4

例8．（2024·全國·高三專題練習）已知x0，則2x的最小值為__________.

2x1

【答案】3

4441

【解析】2x2x1122x113，當且僅當2x12，即x

2x12x12x12

時，等號成立.

故答案為：3.

x22x2

例9．（2024·全國·高三專題練習）若x1，則的最小值為______

x1

【答案】254/425

【解析】由x1，則x10.

2

因為x22x2x14x15，

x22x255

所以x142x14254，

x1x1x1

5

當且僅當x1，即x51時等號成立，

x1

x22x2

故的最小值為254.

x1

故答案為：254.

例10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）若關于x的不等式

12b4c

x2bxc0(b1)的解集為R，則的最小值為_________．

b1

【答案】8

b2

【解析】因為不等式x2bxc0(b1)的解集為R，則Δb24c0c，

4

因為b1，所以b10，

12b4cb22b1(b1)24(b1)444

∴(b1)42(b1)48．

b1b1b1b1b1

4

當且僅當b1，即b3時，取到等號．

b1

故答案為：8

題型四：消參法求最值

【解題方法總結】

消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數表示另一個參數，再利用基本不等式

進行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！

例11．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數a，b滿足ab2a20，則4ab的最小值

是（）

A．2B．422C．432D．6

【答案】B

2

【解析】由ab2a20，得a，

b2

888

所以4abb(b2)22(b2)2422，

b2b2b2

282

當且僅當a,b2，即a,b222取等號.

b2b22

故選：B.

11

例12．（2024·全國·高三專題練習）若x,yR，(xy)2(xy)3，則的最小值為

xy

___________.

【答案】2

【解析】

11

因為(xy)2(xy)3且x,yR，則兩邊同除以(xy)2，得()2xy，

yx

11111111

又因為()2()24xy42xy44，當且僅當xy4，即

xyyxxyxyxyxy

11

x22,y22時等號成立，所以4=2.

xy

故答案為:2

例13．（2024·全國·高三專題練習）已知x0，y0，滿足x22xy20，則2xy的最

小值是______．

【答案】6.

2x21x

【解析】由x22xy20，得y，x0,2

2xx2

1x3x13x13

所以2xy2x226.

x22x2x2

3x16

當且僅當即x時等號成立，

2x3

所以2xy的最小值是6.

故答案為：6.

題型五：雙換元求最值

【解題方法總結】

若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運

用兩個分式的分母為兩個參數，轉化為這兩個參數的不等關系．

1、代換變量，統一變量再處理．

2、注意驗證取得條件．

例14．（2024·浙江省江山中學高三期中）設a0，b0，若a2b23ab1，則3a2ab

的最大值為（）

A．33B．23C．13D．23

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

設c3ab，則3a2aba(3ab)ac，

條件a2b23ab1a2c23ac1，

所以3ac1a2c22ac，即ac23.

故選：D.

31

法二：（三角換元）由條件(ab)2b21，

24

3

abcos

acos3sin

故可設2，即,，

bb2sin

sin

2

cos3sin05

由于a0，b0，故，解得0

2sin06

acos3sin5

所以，,(0)，

b2sin6

所以3a2ab32sin223,當且僅當時取等號.

4

故選：D.

4ab

例15．（2024·天津南開·一模）若a0，b0，c0，abc2，則的最小

abc

值為______．

【答案】222

【解析】由題意，a0，b0，c0，abc2得：ab2c，

設2cm,cn,(m0,n0)，則mn2，

4ab42c4242

故11

abc2cc2ccmn

mn422nm2nm

()1312+2=2+22，

2mnmnmn

當且僅當m22n2，即m422,nc222時取得等號，

4ab

故的最小值為222，

abc

故答案為：222

11

例16．（2024·全國·高三專題練習）已知a0，b0，a2b1，則取到最

3a4ba3b

小值為________．

【答案】322．

5

1

315

【解析】令a2b(3a4b)(a3b)(3)a(43)b，∴{{，

4322

5

111112312(a3b)3a4b

∴()[(3a4b)(a3b)][]

3a4ba3b3a4ba3b55553a4ba3b

a2b1

322(a3b)3a4b322

，當且僅當{2(a3b)3a4b時，等號成立，

553a4ba3b5

3a4ba3b

11

即的最小值是322．

3a4ba3b5

題型六：“1”的代換求最值

【解題方法總結】

1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為

定值，湊的過程中要特別注意等價變形．

1、根據條件，湊出“1”，利用乘“1”法．

2、注意驗證取得條件．

xy

例17．（2024·安徽蚌埠·統考二模）若直線1(a0,b0)過點2，3，則2ab的最

ab

小值為______．

【答案】743/437

xy

【解析】∵直線1(a0,b0)過點2，3，

ab

23

1．

ab

232b6ab3a

2ab2ab774743，當且僅當b3a，即

ababab

a23，b233時取等號．

2ab的最小值為743．

故答案為：743．

42b1

例18．（2024·河北·高三校聯考階段練習）已知a0,b0,a2b3，則的最

a2b

小值為__________.

7

【答案】

3

【解析】a0,b0,a2b3，

42b1a1111112ba47

1a2b121，

a2ba2b3a2b3a2b33

342b17

當且僅當a2b時取等號，則的最小值為.

2a2b3

7

故答案為：

3

111

例19．（2024·湖南衡陽·高三校考期中）已知x，y2，且3xy7，則

33x1y2

的最小值為______.

【答案】1

【解析】因為3xy7，所以3x1y24，

3x1y2

即1，

44

13x1y2

因為x，y2，所以0,0，

344

11113x1y2

()()

3x1y23x1y244

1y23x111y23x1

21，

44(3x1)4(y2)424(3x1)4(y2)

y23x1

當且僅當，即x1,y4時取等號.

4(3x1)4(y2)

11

所以的最小值為1.

3x1y2

故答案為：1

例20．（2024·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）已知正實數a,b滿

41

足1，則a2b的最小值為___________.

abb1

【答案】8

41

【解析】因為1，

abb1

41

所以a2babb11

abb1

4b1ab4b1ab

411428，

abb1abb1

4b1ab

當且僅當，即a4,b2時，取等號，

abb1

所以a2b的最小值為8.

故答案為：8.

題型七：齊次化求最值

【解題方法總結】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉化為運用

基本不等式進行求解．

ac3c3

例21．（2024·全國·高三專題練習）已知正實數a，b，c，ab3，則的最

babc1

小值為_______________．

【答案】262/226

(ab)2

【解析】由正實數a，b，ab3，可得3，

3

(ab)2

a2

所以ac3c3a333

c()c3

babc1babc1abc1

4a22abb234ab23

cc()

3abc13b3a3c1

4ab4ab44ab24

而2，當且僅當即a,b時取等號，

3b3a3b3a3ba33

ac3c34233

故c()2(c1)2

babc133c1c1

262，

36

當且僅當2(c1)時，即c1時取等號，

c12

故答案為：262

2a

例22．（2024·全國·高三專題練習）已知a，b為正實數，且2ab1，則的最小值

a2b

為______．

【答案】6

2a4a2ba2ba2ba

【解析】由已知條件得，4246，

a2ba2ba2ba2b

2ba21

當且僅當，即a，b時取等號．

a2b55

故答案為：6.

例23．（2024·天津紅橋·高三天津市復興中學校考階段練習）已知x0,y0，則

2xyxy

的最大值是____________.

x24y2x2y2

【答案】22

3

2xyxy21

x

【解析】x24y2x2y2x4yxy，設t(t0)，

y

yxyx

2

33(t)

212tt3(t2t)

t

所以原式=2242，

4124

ttt4t1t5t4t5

ttt2

2

令ut(t0),u22.

t

3u33322

所以原式=2119.

u1u2223

u224

1

(函數yu在[22,)上單調遞增)

u

故答案為：22

3

題型八：利用基本不等式證明不等式

【解題方法總結】

類似于基本不等式的結構的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得

證明．

例24．（2024·全國·高三專題練習）利用基本不等式證明：已知a,b,c都是正數，求證：

abbcca8abc

【解析】a,b,c都是正數，ab2ab0（當且僅當ab時取等號）；bc2bc0

（當且僅當bc時取等號）；ca2ca0（當且僅當ca時取等號）；

abbcca2ab2bc2ca8abc（當且僅當abc時取等號），

即abbcca8abc.

例25．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知x，y，z為正數，證明：

111x2y2z2

(1)若xyz2，則；

xyz2

(2)若2xy2z9，則x2y2z29．

2y2z2

【解析】（1）因為xyz2，所以yz，

x2

2x2z22x2y2

同理可得，，

y2z2

222y2z2x2z2x2y2111x2y2z2

所以，故，

xyz222xyz2

當且僅當xyz時等號成立．

112

（2）x2y2z2221222x2y2z22xy2z，

99

因為2xy2z9，所以x2y2z29，當且僅當x2yz時等號成立．

例26．（2024·四川廣安·高三校考開學考試）已知函數fx2x1xm，若fx3

的解集為n,1．

(1)求實數m，n的值；

12

(2)已知a,b均為正數，且滿足2m0，求證：16a2b28．

2ab

【解析】（1）因為fx3的解集為n,1，所以f(1)3，即3|1m|3，所以|1m|0，

又|1m|0，所以1m0，即m1.

所以f(x)|2x1||x1|，

11

當x時，f(x)2x1x13x3,得x1，則1x，

22

11

當x1時，f(x)2x1x1x23，得x1，

22

當x1時，f(x)2x1x13x3，得x1，不成立，

綜上所述：fx3的解集為[1,1]，

因為fx3的解集為n,1．所以n1.

12

（2）由（1）知，m1，所以2(a0,b0)，

2ab

121221

所以22，當且僅當a，b2時，等號成立，

2ab2abab2

所以ab1，

1

所以16a2b2216a2b28ab8，當且僅當a，b2時，等號成立.

2

題型九：利用基本不等式解決實際問題

【解題方法總結】

1、理解題意，設出變量，建立函數模型，把實際問題抽象為函數的最值問題．

2、注意定義域，驗證取得條件．

3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數，單位換算等．

例27．（2024·全國·高三專題練習）首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節

能減排，綠色生態”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，

把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為

600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似的表示為

1

yx2200x80000，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.

2

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多

少元才能使單位不虧損？

【解析】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為

y180000180000

x2002x200200；

x2x2x

180000

當且僅當x，即x400時等號成立，

2x

故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.

（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則

121212

S100xy100xx200x80000x300x80000x30035000，

222

因為x400,600，則S80000,40000，

故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.

例28．（2024·貴州安順·高一統考期末）某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化

碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，

月處理成本f(x)（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為

1

f(x)x2200x80000．

2

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？

(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本

最低是多少元？

【解析】（1）該單位每月的月處理成本：

11

f(x)x2200x80000(x200)260000，

22

因100x600，函數f(x)在區間[100,200]上單調遞減，在區間(200,600]上單調遞增，

從而得當x200時，函數f(x)取得最小值，即f(x)minf(200)60000.

所以該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.

1

（2）由題意可知：f(x)x2200x80000(100x600)，

2

fxx80000x80000

每噸二氧化碳的平均處理成本為：2002200200

x2x2x

x80000

當且僅當，即x400時，等號成立.

2x

所以該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．

例29．（2024·湖北孝感·高一統考開學考試）截至2022年12月12日，全國新型冠狀病毒

的感染人數突破44200000人.疫情嚴峻，請同學們利用數學模型解決生活中的實際問題.

(1)我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段.

已知這種新藥在注射停止后的血藥含量ct（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）.的變

kt1

化用指數模型ctc0e描述，假定某藥物的消除速率常數k0.1（單位：h），剛注射

這種新藥后的初始血藥含量c02000mg/L，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于

1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有

療效的時長大約為多少小時？（精確到0.01，參考數據：ln20.693，ln31.099）

(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為48a

平方米(a0)，側面長為x米，且x不超過8，房高為4米.房屋正面造價400元/平方米，側

面造價150元/平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側面長為多少時，總價最低？

kt0.1t

【解析】（1）由題意得，c(t)c0e2000e，

設該藥在病人體內的血藥含量變為1000mg/L時需要是時間為t1，

0.1t1

由c(t)2000e0.1t11000，得e1，

12

ln2

故0.1tln2，t6.93h．

0.1

該新藥對病人有療效的時長大約為6.93h．

48a48a

（2）由題意，正面長為米，故總造價y400421504x，即

xx

76800a

y1200x,0x8.

x

76800a76800a76800a

由基本不等式有y1200x21200x，當且僅當1200x，即

xxx

x8a時取等號.

故當8a8，即a1，x8a時總價最低；

當8a8，即a1時，由對勾函數的性質可得，x8時總價最低；

綜上，當0a1時，x8a時總價最低；當a1時，x8時總價最低.

題型十：與ab、平方和、ab有關問題的最值

【解題方法總結】

利用基本不等式變形求解

例30．（多選題）（2024·重慶·統考模擬預測）若實數a，b滿足a2b2ab1，則（）

23

A．ab1B．ab

3

11

C．abD．ab

33

【答案】BC

【解析】a2b2ab1,

當ab0時，a2b22abab12abab1，當且僅當ab1或ab1時等號成

立，得0ab1，

22133

當ab0時，ab2abab12abab，當且僅當a,b或

333

331

a,b時等號成立，得ab0，

333

當ab0時，由a2b2ab1可得a0,b1或b0,a1

1

綜合可得ab1，故C正確，D錯誤；

3

a2b22ab1ab(ab)21ab1(ab)2ab，

1142323

當ab時，1(ab)2(ab)2ab，故A錯誤，B正確；

33333

故選：BC.

1

例31．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知a0,b0，且a