第42講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一．等比數(shù)列的有關(guān)概念

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為

零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，

a

定義的表達(dá)式為n1=q．

an

（2）等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．

2

即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列Gab．

知識(shí)點(diǎn)二．等比數(shù)列的有?關(guān)公式?

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式

{an}a1q(q0)

a

aaqn1cqn(c1)(a,q0)．

n1q1

推廣形式：n－m

anamq

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

na1(q1)

等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為n

{an}q(q0)nSna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

注①等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公

比q是否為1，再由q的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要分q1

與q1兩種情況討論求解．

n

②已知（項(xiàng)數(shù)），則利用a1(1q)求解；已知，則利用

a1,q(q1),nSa1,an,q(q1)

n1q

aaq

S1n求解．

n1q

n

③a1(1q)a1na1n，為關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)，

Sqkqk(k0,q1)Snq

n1q1q1q

且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．

知識(shí)點(diǎn)三．等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）等比中項(xiàng)的推廣．

2

若mnpq時(shí)，則amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，amanap．

（）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，m仍為等比數(shù)列．

2{an}{an}{an}{an}

②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．

{an}{bn}{anbn}

（）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．

3{an}a1q

a10a10

當(dāng)或時(shí)，{a}為遞增數(shù)列；

q10q1n

a10a10

當(dāng)或時(shí)，{a}為遞減數(shù)列．

0q1q1n

（4）其他衍生等比數(shù)列．

若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：

{an}qnSn

①等間距抽取

t

ap,apt,ap2t,ap(n1)t,為等比數(shù)列，公比為q．

②等長(zhǎng)度截取

為等比數(shù)列，公比為m（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．

Sm,S2mSm,S3mS2m,qq1m

【解題方法總結(jié)】

2

*＝＝

（1）若mnpq2k(m，n，p，q，kN)，則amanapaqak．

（）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，1，2，，

2{an}{bn}{an}(0){}{an}{anbn}

an

a

{n}仍是等比數(shù)列．

bn

（）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即

3{an}

，，，為

anan＋kan＋2kan＋3k

等比數(shù)列，公比為qk．

（）公比不為－的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，仍成等

41{an}nSnSnS2nSnS3nS2n

比數(shù)列，其公比為qn．

TT

（）為等比數(shù)列，若＝，則，2n，3n，成等比數(shù)列．

5{an}a1a2anTnTn

TnT2n

a

（6）當(dāng)q0，q1時(shí)，Sk－k·qn(k0)是{a}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k1．

nn1q

（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，

還等于中間

項(xiàng)的平方．

（）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．

8{an}{logcan}(c0,c1)

（）若為等差數(shù)列，則an為等比數(shù)列．

9{an}{c}(c0,c1)

（）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．

10{an}{an)

必考題型全歸納

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1．（2024·北京·高三匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列an中，a13，a1a2a39，

則a4a5a6等于（）

A．9B．72C．9或70D．9或72

例2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列an中，前3項(xiàng)的和為7，前3

項(xiàng)的積為8，則a4的值為（）

A．2B．4C．6D．8

例3．（2024·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

公比為q，且Snan11，則（）

A．a(chǎn)12B．S22C．q1D．q=2

變式1．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列{an}中，若a24，a532，

則公比q應(yīng)為（）

11

A．B．2C．D．－2

22

變式2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn，若

a11，S55S34，則S4（）

1565

A．B．C．15D．40

88

變式3．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，a1a22,a7a8128，

則該數(shù)列的S10以及a1依次為（）

222

A．682，B．，C．682，或D．，或

368223268232

變式4．（2024·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若

a4a53a8,S339，則a4=（）

A．64B．81C．128D．192

變式．（·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列a的前項(xiàng)和為，，

52024n430a1a515

則a7（）

11

A．B．C．1D．2

42

【解題方法總結(jié)】

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

（）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量，

1a1

，，，，

nqanSn

一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）便可迎刃而解．

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論：

n

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，a1(1q)a1anq．

q1Snna1q1S=

n1q1q

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種

溶液500ml，同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器并攪勻，這稱(chēng)

為一次調(diào)和．記a110%，b120%，經(jīng)n1次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度分別

為an，bn．

(1)試用an1，bn1表示an，bn．

(2)證明：數(shù)列anbn是等比數(shù)列，并求出an，bn的通項(xiàng)．

n*

例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足4Sn2an2，nN，其中Sn為

an的前n項(xiàng)和．證明：

a1

(1)n是等比數(shù)列．

2n6

1111

1

(2)n．

6a136a236a336an31

例6．（2024·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙

包，第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，

n*

設(shè)第（nN）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為an，在丙手中的方法數(shù)為bn.

(1)求證：數(shù)列an1an為等比數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)；

(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，anbn.

11

變式6．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列an和bn，a12，1，an12bn.

bnan

1

(1)求證數(shù)列1是等比數(shù)列；

an

n

n

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和Tn.

bn

1

a,n為偶數(shù)

2n

變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1a，且a，

n11

a,n為奇數(shù)

n4

1

記ba,n1,2,3....

n2n14

(1)求a2,a3；

(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

L

(3)求b1b2bn.

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an、bn滿足4an13anbnt，

4bn13bnant，tR，nN，且a11，b10.

(1)求證：anbn是等比數(shù)列；

(2)若an是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

n*

變式9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列{an}的前和Sn滿足Sn2annnN，

(1)求a1的值及an與an1的關(guān)系；

(2)求證：an1是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式.

7an8*4

變式10．（2024·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列an有遞推關(guān)系an1nN,an，

3an43

69rbn

b

a1，記anbnk(kZ)，若數(shù)列bn的遞推式形如n1（p,q,rR且p,r0），

29pbnq

也即分子中不再含有常數(shù)項(xiàng).

(1)求實(shí)數(shù)k的值；

13

(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項(xiàng)和公比.

bn5

a2

n*

變式11．（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a11,an1,nN．

an

a2

(1)證明n是等比數(shù)列；

an1

3

(2)若bn，求bn的前n項(xiàng)和Sn．

an1

變式12．（2024·山東濰坊·三模）已知數(shù)列an和bn滿足

a13,b12,an1an2bn,bn12anbn．

ab

(1)證明：anbn和nn都是等比數(shù)列；

(2)求anbn的前n項(xiàng)和Sn．

【解題方法總結(jié)】

等比數(shù)列的判定方法

若an1（為非零常數(shù)，*或an（為非零常數(shù)且，*），則

=qqnN=qqn2nN{an}

定義法anan1

是等比數(shù)列

若數(shù)列中，且2*，則是等比數(shù)列

中項(xiàng)公式法{an}an0an1=anan2(nN){an}

*

若數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成ac·qn1（c，q均為非零常數(shù)，nN），則{a}是等

通項(xiàng)公式法nnn

比數(shù)列

前項(xiàng)和公式法若數(shù)列的前項(xiàng)和n（為非零常數(shù)，，），則是等比數(shù)列

n{an}nSnk·q-kkq01{an}

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用

n1

例7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3c，則

c__________.

例8．（2024·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)fxx2pxqp0,q0的兩個(gè)

不同零點(diǎn)，且m，n，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，

則pq__________.

a

例9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列n中，a10，amnamanm,nN，且

2

a3、a11是函數(shù)fx2x19x20的兩個(gè)零點(diǎn)，則a7___________.

1

變式13．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列an的公比q，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積

2

為1，則a1______．

2

變式14．（2024·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3與a8是方程x30x100

的兩個(gè)根，則lga1lga2lga10_________.

變式15．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等比數(shù)列an中，a1a9256，a4a640，則公比

q的值為_(kāi)____________.

變式16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等

比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于_____________.

變式17．（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列an是等比

數(shù)列，且a1a7a138，則a3a11__________．

變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列an是公比不等于1的等比數(shù)列，且

2

lga1lga20230，若fx，則fa1fa2fa2023__________.

1x2

變式．（·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列a的首項(xiàng)為，且，

192024n1a6a42a3a1

則a1a2a3a7__________.

，

變式20．（2024·重慶·高三階段練習(xí)）在等比數(shù)列an中，a1a230a3a460，則

a7a8______________．

【解題方法總結(jié)】

（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若

＝＝2

mnpq2k，則amanapaqak．”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．

（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此

外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．

題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例10．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S3013S10，

S10S30140，則S20的值為_(kāi)_________.

例11．（2024·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S32，

S66，則S24______.

例12．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S1020，則

S302S20S10的最小值為_(kāi)_____．

變式21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S615，

S18195，則S24______.

變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S410S2，

S

則6的值為_(kāi)_____.

S2

變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且

1010q

2S3021S20S100，則公比__________.

變式24．（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S67，

aa

13

a2a53，則___________.

a2

變式25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S34，

S19，則S，的等差中項(xiàng)為

96S9__________.

變式26．（2024·江西南昌·南昌十中校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

若S43，S89，則S16的值為_(kāi)______

【解題方法總結(jié)】

（）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比

1{an}S奇S偶

為q．

SSa

①若共有2n項(xiàng)，則偶q；②若共有2n1項(xiàng)，奇1q．

S奇S偶

（）等比數(shù)列中，表示它的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，有，－，－，

2{an}Skkq1SkS2kSkS3kS2k

也成等比數(shù)列，公比為qk．

題型五：求數(shù)列的通項(xiàng)

an

例13．（2024·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知向量man1,Sn，

n1,2，若a12，且m∥n，則an通項(xiàng)為_(kāi)_______．

例14．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an和bn滿足a11，b12，

，則數(shù)列的通項(xiàng)

an13anbn4bn13bnan4.anbnanbn______.

3

例15．（2024·上海浦東新·高三校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)冪函數(shù)fxx，數(shù)列an滿足：a12021，

*

且an1fan（nN），則數(shù)列an的通項(xiàng)an__．

變式27．（2024·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足前5項(xiàng)的和為31，且遞減的等比數(shù)列

的通項(xiàng)an___________．

變式28．（2024·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足Snan2，

則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an_______．

變式29．（2024·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,an12Sn，則數(shù)列

的通項(xiàng)an___________．

變式30．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間

滿足關(guān)系Sn23an,則an=__________

n

變式31．（2024·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列an的通項(xiàng)an3n1,bn的通項(xiàng)bn2，由an

與bn中公共項(xiàng)，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列cn，求cn的前n項(xiàng)和.

【解題方法總結(jié)】

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式

{an}a1q(q0)

a

aaqn1cqn(c1)(a,q0)．

n1q1

推廣形式：n－m

anamq

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

na1(q1)

等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為n

{an}q(q0)nSna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

題型六：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

例16．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a13，且

2an,n是偶數(shù),

a

n1是奇數(shù)

an1,n.

(1)設(shè)bna2na2n1，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求使得不等式Sn2023成立的n的最小值．

1

a,n為奇數(shù),

2n

例17．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a12，a

n11

a,n為偶數(shù).

n2

(1)記bna2n1a2n1，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；

1

(2)記ca，求數(shù)列ncn的前n項(xiàng)和Tn．

n2n2

例18．（2024·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

*

Sn,an1an12ann2,nN，且a11,S515．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;

a，n為奇數(shù)

若n，求數(shù)列b的前項(xiàng)和．

(2)bnan2nT2n

2n1，n為偶數(shù)

變式32．（2024·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）設(shè)an為等比數(shù)列，bn為公差不為零的等差數(shù)列，

且a1b33，a2b9，a3b27.

(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；

T1

n

(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：；

Sn3

an1

2,n為奇數(shù)

2n

bn2

(3)記cn，求ci.

ani1

2,n為偶數(shù)

bn1bn1

變式33．（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a35,S981，

n1

數(shù)列{bn}滿足a1b1a2b2a3b3anbnn133.

(1)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

b,n為奇數(shù)

n

數(shù)列c滿足c，為偶數(shù)，求c前項(xiàng)和T

(2){n}n1為偶數(shù)n{n}2n2n.

,n

anan2

變式34．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足

n*

anan116,nN.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

an,n為奇數(shù)

(2)設(shè)b11，b，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.

n1為偶數(shù)

bnn,n

變式35．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知數(shù)列an滿足：a12，且對(duì)

a

n是奇數(shù)

n,n,

任意的nN*，an12

n1是偶數(shù)

2an2,n.

2

(1)求a2，a3的值，并證明數(shù)列a2n1是等比數(shù)列；

3

(2)設(shè)bna2n1nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

1為奇數(shù)

ann1,n

變式36．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a11，an12，

為偶數(shù)

an2n,n

記bna2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．

【解題方法總結(jié)】

求解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注

意其項(xiàng)數(shù)n的值；對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一問(wèn)題要注意分類(lèi)討論．主要是從n為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)

行分類(lèi)．

題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

例19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a11，a3421，

Sn

前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn滿足b，求證：

nn

(1)數(shù)列bn為等差數(shù)列；

(2)數(shù)列an中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.

例20．（2024·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考期末）在等差數(shù)列an中，

a1a612,a2a716．

(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列2anbn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn．

例21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，

2

___________.在①a2，S3，a14成等比數(shù)列，②S2n2Sn2n，③數(shù)列Sn為等差數(shù)列，

這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線，使得條件完整，并解答：

(1)求an；

a,n為奇數(shù)

n

若b，求數(shù)列bn的前+項(xiàng)和T

(2)n1為偶數(shù)2n12n1.

,n

anan2

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

變式37．（2024·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3m，S9m，

*

S6m（其中mN）成等差數(shù)列．問(wèn)：a2m，a8m，a5m是否成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．

變式38．（2024·江蘇·高考真題）已知an是等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，a1b1，

a2b2a1，記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.

(1)若bkam（m，k是大于2正整數(shù)），求證：Sk1(m1)a1；

(2)若b3ai（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列bn中每一項(xiàng)都是數(shù)列an中的項(xiàng)；

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列bn中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，

并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式39．（2024·河南開(kāi)封·高三校考階段練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列an中，a7a92，

且a8,a9,a12成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求使Sn0成立的n的最大值.

20

變式40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知an是遞增的等比數(shù)列，且a32，aa．

243

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n

(2)在an與an1之間插入個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中

是否存在3項(xiàng)dm,dk,dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a10，a21，

nSn1(2n1)Sn(n1)Sn110(n2).

(1)證明：an為等差數(shù)列；

an

(2)設(shè)bn2，在bn和bn1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為dn的等差數(shù)列，求

1

的前n項(xiàng)和.

dn

【解題方法總結(jié)】

（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，

正項(xiàng)等比數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．

（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列

為非零常數(shù)數(shù)列．

題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題

例22．（2024·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a10，

公比q1,0，則下列敘述不正確的是（）

A．?dāng)?shù)列an的最大項(xiàng)為a1B．?dāng)?shù)列an的最小項(xiàng)為a2

aa

C．?dāng)?shù)列nn1為嚴(yán)格遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列a2n1a2n為嚴(yán)格遞增數(shù)列

例．（·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a是公比為的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)的積為，并

232024nq．Tn

a1

99

且滿足條件：a11，a99a10010，0．給出下列結(jié)論：①0q1；②T1981；

a1001

③a99a1011；④使Tn1成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A．①②③B．①④C．②③④D．①③④

1

例24．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a8,a4a，則

811124

a1a2an取最大值時(shí)n的值為（）

A．8B．9C．10D．11

變式42．（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an是無(wú)窮等比數(shù)列，若a1a20，則數(shù)

列an的前n項(xiàng)和Sn（）．

A．無(wú)最大值，有最小值B．有最大值，有最小值

C．有最大值，無(wú)最小值D．無(wú)最大值，無(wú)最小值

1

變式43．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a10，aa，則數(shù)列an

n12n

是（）

A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不能確定

變式44．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知an是遞增的等比數(shù)列，且a20，則其公比

q滿足（）

A．q1B．1q0

C．q1D．0q1

變式45．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于

1，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且a3a5a4，則使得Tn1的n的最小值為（）

A．5B．6C．7D．8

變式46．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a1，

則（）

A．Sn為遞減數(shù)列B．Sn為遞增數(shù)列

C．?dāng)?shù)列Sn有最大項(xiàng)D．?dāng)?shù)列Sn有最小項(xiàng)

變式47．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，并

且滿足條件a11,a7a81,a71a810，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)7a91B．0q1C．a(chǎn)6a8a7a9D．Sn的最大值為S8

變式48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前

a1

2019

n項(xiàng)積為T(mén)n，并滿足條件a11,a2019a20201，0，則下列結(jié)論正確的是（）

a20201

A．S2019S2020B．T2020是數(shù)列Tn中的最大值

C．a(chǎn)2019a202110D．?dāng)?shù)列Tn無(wú)最大值

變式49．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和

a1

2021

為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且a11，a2021a20221，0，則下列結(jié)論正確的是（）

a20221

A．q1B．S2021S202210

C．T2022是數(shù)列Tn中的最大值D．?dāng)?shù)列Tn無(wú)最大值

變式50．（2024·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學(xué)校考期中）設(shè)等比數(shù)列an的公比為

q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，且滿足條件a11，a2020a20211，a20201a202110，

則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A．0q1B．S20201S2021

C．T2020是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng)D．T40411

變式51．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為T(mén)n，并

a1

2019

且滿足條件：a11，a2019a20201，0，給出下列結(jié)論：①0q1；②a2019a202110；

a20201

③T2019是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)；④使Tn1成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的

序號(hào)為（）

A．①②B．①③