第21講極值點偏移

知識梳理

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函

數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)f(x)在xx0處取得極值，且函數(shù)yf(x)與直線yb交于

xxxx

A(x,b),B(x,b)兩點，則AB的中點為M(12,b)，而往往x12。如下圖所示。

12202

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點x0，方程f(x)

xx

的解分別為x、x，且axxb，（1）若12x，則稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間

121220

xx

(x,x)上極值點x偏移；（2）若12x，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(x,x)上極值點

1202012

xx

x左偏，簡稱極值點x左偏；（3）若12x，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(x,x)上極

002012

值點x0右偏，簡稱極值點x0右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)

定函數(shù)(極值點為x0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點

x0.

2

(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)F(x)f(x)f(2x0x)，若證x1x2x0，

2x

則令F(x)f(x)f(0).

x

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性．

(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)與f(2x0x)的大

小關(guān)系．

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與

2x0x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．

x1x2x1x2

【注意】若要證明f的符號問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得

22

xx

出12所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．

2

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，

它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無

關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難

為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧

和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解

題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，

有著非凡的功效

x1x2x1x2

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式x1x2證明極值點偏移：

lnx1lnx22

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

xx

②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到12；

lnx1lnx2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)

的單調(diào)性證明題中的不等式即可.

必考題型全歸納

題型一：極值點偏移:加法型

x2ax

例1．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx，aR

ex

(1)若a2，求fx的單調(diào)區(qū)間；

lnx1

(2)若a1，x，x是方程fx的兩個實數(shù)根，證明：x1x22．

12ex

例2．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxx2lnxaaR.

(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若函數(shù)fx有兩個零點x、x，證明1x1x2.

12e

例3．（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fxlnx.

(1)討論函數(shù)gxfx﹣axaR的單調(diào)性；

1

(2)①證明函數(shù)F(x)f(x)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一的零點；

ex

x

②設(shè)①中函數(shù)Fx的零點為x，記m(x)minxf(x),（其中min{a,b}表示a,b中的較小

0ex

值），若mxn(nR)在區(qū)間1,內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2x1x2，證明：

x1x22x0.

變式1．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

π

fxxsinxalnx,x1為其極小值點．

2

(1)求實數(shù)a的值；

(2)若存在x1x2，使得fx1fx2，求證：x1x22．

23

變式2．（2024·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxxlnxa，

2

a為實數(shù)．

(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)fx在xe處取得極值，fx是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，且fx1fx2，x1x2，

證明：2x1x2e

x1alnx

變式3．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx

x

(1)若函數(shù)fx在定義域上單調(diào)遞增，求a的最大值；

(2)若函數(shù)fx在定義域上有兩個極值點x1和x2，若x2x1，ee2，求x1x2的最

小值．

aex

變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fxlnxxaR．

x

(1)討論函數(shù)fx的極值點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)fx恰有三個極值點x1、x2、x3x1x2x3，且x3x11，求x1x2x3的最

大值．

變式5．（2024·廣西玉林·高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f(x)lnxax．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a1時，若f(x1)f(x2)(x1x2)，求證：x1x22

變式6．（2024·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

13

fxx3x2logxa0,a1．

32a

(1)若fx為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

1

(2)令ae，設(shè)函數(shù)gxfxx34lnx9x，且gxgx0，求證：xx311．

31212

變式7．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlnxax2（aR）．

(1)試討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

3

(2)若函數(shù)fx有兩個零點x，x（x1x2），求證：x3xa2．

1212a

變式8．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fxax2a2xlnxaR.

(1)討論fx的單調(diào)性；

2

(2)若fx有兩個零點x1,x2，證明：xx.

12a

kx2

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxlnx1.

x

(1)若fx0對x2,恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

lnx11

(2)已知方程有兩個不同的根x1、x2，求證：x1x26e2，其中e2.71828

x13e

為自然對數(shù)的底數(shù).

變式10．（2024·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx3alnxa3x，aR.

π

(1)當(dāng)a1時，求曲線gxfx3lnxsinx在x處的切線方程；

2

(2)設(shè)x1，x2是hxfx3a2lnx3x的兩個不同零點，證明：ax1x24.

變式11．（2024·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)lnxx(x3).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在x1,x2,x3(0,)，且x1x2x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)，求證：2x1x2x3.

題型二：極值點偏移:減法型

1

例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fxxe1exex2e2x．

2

(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間與極值．

x3x1

(2)若fx1fx2fx3x1x2x3，求證：e1．

2

例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxex2xa1，

gxx2a1xa2（其中e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）

(1)試討論函數(shù)fx的零點個數(shù)；

(2)當(dāng)a1時，設(shè)函數(shù)hxfxgx的兩個極值點為x1、x2且x1x2，求證：

ex2ex14a2.

1

例6．（2024·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函數(shù)f(x)x2axlnx(aR).

2

（1）若f(x)在定義域上不單調(diào)，求a的取值范圍；

1

（2）設(shè)ae,m,n分別是f(x)的極大值和極小值，且Smn，求S的取值范圍.

e

題型三：極值點偏移:乘積型

例7．（2024·全國·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

lnx

fxxexax1,x1,,a0,gxbx．

x

(1)當(dāng)b1，fx和gx有相同的最小值，求a的值；

(2)若gx有兩個零點x1，x2，求證：x1x2e．

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlnx.

(1)證明：fx1x.

=1

(2)若函數(shù)hx2xfx，若存在x1x2使h(x1)h(x2)，證明：xx.

12e2

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxxsinxtanxalnxb，x0,.

2

(1)求證：2xsinxtanx，x0,；

2

x1x2

(2)若存在x1、x20,，且當(dāng)x1x2時，使得fx1fx2成立，求證：1.

2a2

變式12．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)exxlnxx2ax．

(1)證明：若ae1，則f(x)0；

(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，x2，則x1x21．

變式13．（2024·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fxxlnxa，

fx

gxaax．

x

(1)當(dāng)x1時，fx≥lnx2恒成立，求a的取值范圍．

xx2

(2)若gx的兩個相異零點為1，2，求證：x1x2e．

變式14．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知f(x)2xsinxalnx．

(1)當(dāng)a1時，討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)；

(2)若存在x1，x2(0x1x2)，使f(x1)f(x2)，求證：x1x2a．

a

變式15．（2024·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxaxlnx(a0)

x

(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為yx1，求實數(shù)a的值；

(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

a

(3)已知gxfx有兩個零點x，x，求實數(shù)a的取值范圍并證明xxe2.

x1212

題型四：極值點偏移:商型

例10．（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知函數(shù)f(x)2exlnx，其

中e2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

11

（2）若x1,x20,1，且x2lnx1x1lnx22ex1x2lnx1lnx2，證明：2e2e1.

x1x2

例11．（2024·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fxx1lnx.

（1）討論fx的單調(diào)性；

11

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blnaalnbab，證明：2e.

ab

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx1lnx.

(1)討論fx的單調(diào)性；

11

(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blnaalnbab，證明：2.

ab

1

變式16．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù)fxaxa1lnx，

x

aR．

(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

1

(2)若關(guān)于x的方程fxxexlnx有兩個不相等的實數(shù)根x、x，

x12

（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；

ex1ex22a

（ⅱ）求證：．

x2x1x1x2

題型五：極值點偏移:平方型

例13．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fxlnxax2.

(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性：

22

(2)若x1,x2是方程fx0的兩不等實根，求證：x1x22e；

lnx

例14．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fxax.

x

(1)若fx1，求實數(shù)a的取值范圍；

2212

(2)若fx有2個不同的零點x1,x2（x1x2），求證：2x3x.

125a

1lnx

例15．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx，a0．

ax

(1)若fx≤1，求a的取值范圍；

xx22

(2)證明：若存在1，2，使得fx1fx2，則x1x22．

1lnx

變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx

ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

若x2x1，且，，，證明22

(2)ex1ex2x10x20x1x2:x1x22.

變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxxsinxcosxalnx，aR.

（1）當(dāng)a0時，求曲線yf(x)在點,f處的切線方程；

22

（2）若f(m)f(n)，0mn，求證：m2n2|a|.

題型六：極值點偏移:混合型

a1x

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)(x0)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，

ex

aR）．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

4a

(2)若存在xx，滿足fxfx，求證：xx．

121212a2

1

例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)xaa,aR.

x

(1)若f（1）=2，求a的值；

(2)若存在兩個不相等的正實數(shù)x1,x2，滿足f(x1)f(x2)，證明：

①2x1x22a；

x2

②2a1.

x1

a

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)xlnxx2xa(aR)，在其定義域

2

內(nèi)有兩個不同的極值點.

(1)求a的取值范圍；

1

(2)記兩個極值點為x1，x2，且x1x2，當(dāng)1時，求證：不等式x1x2e恒成立.

1x

變式19．（2024·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測）已知f(x)ex,g(x)a(x1)．

1x

（1）求yf(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

（2）當(dāng)a0時，若關(guān)于x的方程f(x)g(x)0存在兩個正實數(shù)根x1,x2x1x2，證明：ae

且x1x2x1x2．

變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)xex(xR)．

（1）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若方程f(x)2a23a10有兩個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）如果x1x2，且f(x1)f(x2)，求證：ln(x1x2)ln2．

變式21．（2024·天津河西·統(tǒng)考二模）設(shè)kR，函數(shù)f(x)lnxkx．

（1）若k2，求曲線yf(x)在P(1,2)處的切線方程；

（2）若f(x)無零點，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）若f(x)有兩個相異零點x1,x2，求證：lnx1lnx22．

變式22．（2024·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

fxx1alnx，aR.

(1)討論f（x）的單調(diào)性；

1

(2)若x0,時，都有fx1，求實數(shù)a的取值范圍；

2

1lnxx

22

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)x1，x2滿足，證明：x1x2ex1x2.

1lnx1x1

變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxexax2bx1，其中a，b為常數(shù)，e

為自然對數(shù)底數(shù)，e2.71828．

(1)當(dāng)a0時，若函數(shù)fx0，求實數(shù)b的取值范圍；

(2)當(dāng)b2a時，若函數(shù)fx有兩個極值點x1，x2，現(xiàn)有如下三個命題：

①7x1bx228；②2ax1x23x1x2；③x11x212；

請從①②③中任選一個進(jìn)行證明．

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

變式24．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

fxalnx2xaR.

(1)討論f(x)的單調(diào)性和最值；

x21mx1x22

(2)若關(guān)于x的方程eln(m0)有兩個不等的實數(shù)根x1,x2，求證：ee.

mmx2m

變式25．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考三模）已知函數(shù)hxxalnxaR.

(1)若hx有兩個零點，a的取值范圍；

2

xx1x2e

(2)若方程xealnxx0有兩個實根x1、x2，且x1x2，證明：e.

x1x2

變式26．（2024·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fxxexalnxa，其中a0．

(1)若a2e，求fx的極值：

xxx1x2

(2)令函數(shù)gxfxaxa，若存在1，2使得gx1gx2，證明：x1ex2e2a．

變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx1alnx,a0.

(1)討論fx的單調(diào)性；

1

(2)若x0,時，都有fx1，求實數(shù)a的取值范圍；

2

1lnxx

22

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)x1,x2滿足，求證：x1x2ex1x2.

1lnx1x1

題型七：拐點偏移問題

例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)2lnxx2x.

（1）求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

（2）若正實數(shù)x1,x2滿足f(x1)f(x2)4，求證：x1x22.

例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx2lnxx2a1xa，(aR)，當(dāng)x1

時，f(x)0恒成立．

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若正實數(shù)x1、x2(x1x2)滿足f(x1)f(x2)0，證明：x1x22．

1

例21．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)x23x2lnx.

2

(1)求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)（ⅰ）若對于任意x1,x2[1,3]，都有f(x1)f(x2)2m2，求實數(shù)m的取值范圍;

127