第1頁（共1頁）2024-2025學年陜西省延安市志丹縣八年級（上）期末數學試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）1．（3分）計算a2?a3的結果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a62．（3分）點（﹣5，3）關于x軸對稱的點的坐標是（）A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（3，5）3．（3分）華為公司自主研發的麒麟9000s系列芯片采用5nm工藝制程，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科學記數法表示為（）A．5×109m B．0.5×10﹣9m C．5×10﹣8m D．5×10﹣9m4．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝76°，則∠3的度數是（）A．28° B．35° C．38° D．48°5．（3分）在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，則△ABC的周長可能是（）A．8 B．11 C．12 D．156．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，AB＝5，DE＝2（）A．3 B．4 C．5 D．77．（3分）在課外活動跳繩時，相同時間內小林跳100次，小穎比小林多跳20次，求小穎每分鐘跳多少次？設小穎每分鐘跳x次，則可列方程為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，兩個大小不同的三角板疊放在一起，已知AB＝AC，∠CAB＝∠DAE＝90°，且點B、C、E在同一條直線上，CE＝4cm，連接DC，沿B﹣C﹣D的路線爬行，則壁虎爬到點D所用的時間為（）A．10s B．8s C．12s D．13s二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）9．（3分）因式分解：x2﹣4x＝．10．（3分）若正多邊形的一個外角是45°，則這個正多邊形的邊數為．11．（3分）已知多項式x2﹣mx+9是完全平方式，則m的值為．12．（3分）若關于x的分式方程有增根，則a的值為．13．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABD是等邊三角形，點P是∠BAC的平分線上一動點，則PC+PD的最小值為．三、解答題（共13小題，計81分.解答應寫出過程）14．（5分）用乘法公式計算：102×98．15．（5分）化簡：．16．（5分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，CD平分∠ACB．求∠B的度數．17．（5分）如圖，已知△ABC，請用尺規作圖法，使得點D到邊AB，BC的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．（5分）如圖，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，求證：∠C＝∠E．19．（5分）2024年中央一號文件強調“強化農業科技支撐”，充分發揮科技生產力對企業和產業發展的作用，某鎮計劃引進無人機田間噴灑農藥技術，一架無人機每小時噴灑農藥的畝數是一個人每小時噴灑農藥畝數的7.5倍，120畝的農田利用一架無人機噴灑農藥比一個人噴灑節約13小時20．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AE＝5，△ABD的面積是1021．（6分）如圖，在單位長度為1的方格紙中建立平面直角坐標系，△ABC的頂點均在格點上．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′；（2）若△ABC的內部有一點P（x，y），則點P在△A′B′C′內部的對應點P′的坐標是．22．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一點，且∠BAP＝90°．（1）求證：PA＝PC；（2）若CP＝10，求BP的長．23．（7分）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，連接DE并延長至點F，使得EF＝ED（1）求證：CF∥AB；（2）若∠ABC＝52°，且CA平分∠BCF，求∠A的度數．24．（8分）在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法：解：x2﹣xy+6x﹣6y＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分組）＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式）＝（x﹣y）（x+6）．請利用上述方法，解答下列各題：（1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn；（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀，并說明理由．25．（8分）有一電腦AI程序如圖，能處理整式的相關計算，若輸入整式A＝k﹣1，但由于屏幕大小有限，只顯示了整式C的一部分：C＝2k2+□．（1）求程序自動呈現的整式C；（2）在（1）的條件下，琪琪發現：若k取某個正整數時2﹣2C的值大于5，求滿足條件的k的最小值．26．（10分）模型呈現某興趣小組在從漢代數學家趙爽的弦圖（如圖①，由外到內含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖②、圖③），即“一線三等角”模型．問題發現（1）如圖②，△ABC中，CA＝CB，直線l過點C，過點A，BF⊥l于點F，求證：EF＝AE+BF；（2）如圖③，若改變直線l的位置，其余條件與（1），請直接寫出線段EF，AE，無需證明；問題提出（3）如圖④，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，求△BCD的面積．

2024-2025學年陜西省延安市志丹縣八年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCD．CBAAB一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）1．（3分）計算a2?a3的結果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：a2?a3＝a8．故選：C．2．（3分）點（﹣5，3）關于x軸對稱的點的坐標是（）A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（3，5）【分析】利用關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數求解即可．【解答】解：點（﹣5，3）關于x軸對稱的點的坐標是（﹣6．故選：C．3．（3分）華為公司自主研發的麒麟9000s系列芯片采用5nm工藝制程，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科學記數法表示為（）A．5×109m B．0.5×10﹣9m C．5×10﹣8m D．5×10﹣9m【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：1米＝1000000000納米，5納米＝6.000000005米＝5×10﹣9米．故選：D．4．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝76°，則∠3的度數是（）A．28° B．35° C．38° D．48°【分析】由平行線的性質可得∠4＝∠1＝76°，然后再根據三角形外角的性質即可解答．【解答】解：如圖：∵a∥b（已知），∴∠4＝∠1＝76°（兩直線平行，同位角相等），∵∠6＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4﹣∠2＝76°﹣38°＝38°．故選：C．5．（3分）在△ABC中，若AB＝2，AC＝4，則△ABC的周長可能是（）A．8 B．11 C．12 D．15【分析】根據三角形的三邊關系可得2＜BC＜6，即可確定BC的長度可以為3、4、5，再求出△ABC的可能取值即可解答．【解答】解：在△ABC中，∵AC﹣AB＜BC＜AC+AB，AB＝2，∴4﹣5＜BC＜4+2，∴6＜BC＜6，∵BC的長度為整數，∴BC的長度可以為3、7、5，∴△ABC的周長可能是：2+6+4＝9或4+4+4＝10或6+5+4＝11．綜上所述，△ABC的周長可能是5或10或11．故選：B．6．（3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，AB＝5，DE＝2（）A．3 B．4 C．5 D．7【分析】作DF⊥BC于F，根據角平分線的性質得到DF＝DE，根據三角形面積公式計算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，  ∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∵△ABC的面積為8，∴，∴，整理得，5+BC＝8，解得，BC＝8．所以BC的長為3，故選：A．7．（3分）在課外活動跳繩時，相同時間內小林跳100次，小穎比小林多跳20次，求小穎每分鐘跳多少次？設小穎每分鐘跳x次，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】設小穎每分鐘跳x次，則小林每分鐘跳（x﹣30）下．再根據相同時間內小林跳100次，小穎比小林多跳20次列出分式方程即可得出正確答案．【解答】解：根據相同時間內小林跳100次，小穎比小林多跳20次，∴可列方程為．故選：A．8．（3分）如圖，兩個大小不同的三角板疊放在一起，已知AB＝AC，∠CAB＝∠DAE＝90°，且點B、C、E在同一條直線上，CE＝4cm，連接DC，沿B﹣C﹣D的路線爬行，則壁虎爬到點D所用的時間為（）A．10s B．8s C．12s D．13s【分析】先根據等腰直角三角形的性質可以得出△ABE≌△ACD，所以CD＝BE＝10+4＝14（cm），最后根據時間＝路程÷速度即可解答．【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠CAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE．∴∠BAE＝∠CAD．在△ABE與△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD＝BE＝BC+CE＝14（cm），∴BC+CD＝10+14＝24（cm）．∵壁虎以3cm/s的速度從點B出發，∴t＝24÷3＝7（s）．故選：B．二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）9．（3分）因式分解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．【分析】直接提取公因式x，進而分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案為：x（x﹣4）．10．（3分）若正多邊形的一個外角是45°，則這個正多邊形的邊數為8．【分析】根據多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等，直接用360°÷45°可求得邊數．【解答】解：∵多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是45°，∴360°÷45°＝8即該正多邊形的邊數為8．11．（3分）已知多項式x2﹣mx+9是完全平方式，則m的值為±6．【分析】依據題意，由x2﹣mx+9是完全平方式，從而﹣m＝±2×1×3，進而可以判斷得解．【解答】解：由題意，∵x2﹣mx+9是完全平方式，∴﹣m＝±2×1×3．∴m＝±3．故答案為：±6．12．（3分）若關于x的分式方程有增根，則a的值為﹣1．【分析】將分式方程去分母得a﹣2x+5＝0，由分式方程的增根是x＝2，代入計算即可．【解答】解：，a+（x﹣1）＝4（x﹣2）， a﹣2x+8＝0，由題意可得：將x＝2代入，得m﹣7+5＝0，a＝﹣2．故答案為：﹣1．13．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABD是等邊三角形，點P是∠BAC的平分線上一動點，則PC+PD的最小值為5．【分析】連接BP，根據AP垂直平分BC，即可得到CP＝BP，再根據當B，P，D在同一直線上時，BP+PD的最小值為線段BD長，即可得出答案．【解答】解：如圖，連接BP，∵點P是∠BAC的角平分線上一動點，AB＝AC＝5，∴BP＝CP，∴PD+PB＝PD+PC，∴當B，P，D在同一直線上時，又∵△ABD是等邊三角形，∴DB＝BA＝5，∴PD+PC的最小值為4，故答案為：5．三、解答題（共13小題，計81分.解答應寫出過程）14．（5分）用乘法公式計算：102×98．【分析】將102化為（100+2），將98化為（100﹣2），正好構造成平方差公式，再利用公式計算即可．【解答】解：由平方差公式，得102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1006﹣22＝10000﹣8＝9996．15．（5分）化簡：．【分析】根據分式加、減、乘、除運算法則進行計算即可．【解答】解：原式＝＝＝．16．（5分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，CD平分∠ACB．求∠B的度數．【分析】根據CD平分∠ACB，就可以得到∠ACB，根據三角形內角和定理就可以求出∠B．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠ACD＝30°，∴∠ACB＝2∠ACD＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°．17．（5分）如圖，已知△ABC，請用尺規作圖法，使得點D到邊AB，BC的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】理解點D是∠ABC與AC的交點，再作∠ABC的角平分線即可．【解答】解：如圖，點D為所作．．18．（5分）如圖，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，求證：∠C＝∠E．【分析】根據角的和差可得∠BAC＝∠DAE，再結合∠ABC＝∠ADE、AC＝AE，然后根據AAS證得△ABC≌△ADE，然后根據全等三角形對應角相等即可證明結論．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又∵AC＝AE，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴∠C＝∠E．19．（5分）2024年中央一號文件強調“強化農業科技支撐”，充分發揮科技生產力對企業和產業發展的作用，某鎮計劃引進無人機田間噴灑農藥技術，一架無人機每小時噴灑農藥的畝數是一個人每小時噴灑農藥畝數的7.5倍，120畝的農田利用一架無人機噴灑農藥比一個人噴灑節約13小時【分析】設一個人平均每小時噴灑農藥x畝，根據利用一架無人機噴灑農藥比一個人噴灑節約13小時列方程求解，然后檢驗即可．【解答】解：設一個人平均每小時噴灑農藥x畝，根據題意，得，整理得，97.4x＝780，解得x＝8，經檢驗，x＝8是原方程的解，∴一架無人機平均每小時噴灑農藥5.5x＝7.3×8＝60（畝）．答：一架無人機平均每小時噴灑農藥60畝．20．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AE＝5，△ABD的面積是10【分析】由三角形中線的性質可得S△ABC＝20，再根據三角形面積公式列方程求出BC即可．【解答】解：∵AD為△ABC的中線，S△ABC＝2S△ABD＝20，∴，解得：BC＝8．21．（6分）如圖，在單位長度為1的方格紙中建立平面直角坐標系，△ABC的頂點均在格點上．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′；（2）若△ABC的內部有一點P（x，y），則點P在△A′B′C′內部的對應點P′的坐標是（﹣x，y）．【分析】（1）根據軸對稱的性質，畫出△A′B′C′；（2）根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相同，求出點P′的坐標即可．【解答】解：（1）如解圖，△A′B′C′即為所求；（2）∵P（x，y），∴P′的坐標是（﹣x，y）；故答案為：（﹣x，y）．22．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一點，且∠BAP＝90°．（1）求證：PA＝PC；（2）若CP＝10，求BP的長．【分析】（1）先求出∠B＝∠C＝30°；根據∠BAP＝90°得∠PAC＝30°，由此得∠PAC＝∠C＝30°，由此即可得出結論；（2）由（1）的結論可知PA＝CP＝10，再在Rt△APB中，根據∠B＝30°即可得出BP的長．【解答】（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝；∵∠BAP＝90°，∴∠PAC＝∠BAC﹣∠BAP＝120°﹣90°＝30°，∴∠PAC＝∠C＝30°，∴PA＝PC；（2）解：∵CP＝10，由（1）可知：PA＝CP＝10，在Rt△APB中，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝20．23．（7分）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，連接DE并延長至點F，使得EF＝ED（1）求證：CF∥AB；（2）若∠ABC＝52°，且CA平分∠BCF，求∠A的度數．【分析】（1）先證明△AED≌△CEF，由全等三角形的性質可得∠A＝∠ACF，最后根據平行線的判定定理即可證明結論；（2）先由平行線的性質求出∠BCF＝128°，由角平分線的定義得，然后再利用平行線的性質即可求出∠A的度數．【解答】（1）證明：∵E為AC的中點，∴AE＝CE，又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠DAE＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣52°＝128°，∵CA平分∠BCF，∴，∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF＝64°．24．（8分）在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法：解：x2﹣xy+6x﹣6y＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分組）＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式）＝（x﹣y）（x+6）．請利用上述方法，解答下列各題：（1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn；（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀，并說明理由．【分析】（1）用分組分解法求解即可；（2）利用分組分解法求出（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，可得a﹣b＝0，從而可判斷△ABC是等腰三角形．【解答】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn）＝m（m﹣2）+n（2﹣m）＝（m﹣8）（m﹣n）；（2）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝2，∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b＝6，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．25．（8分）有一電腦AI程序如圖，能處理整式的相關計算，若輸入整式A＝k﹣1，但由于屏幕大小有限，只顯示了整式C的一部分：C＝2k2+□．（1）求程序自動呈現的整式C；（2）在（1）的條件下，琪琪發現：若k取某個正整數時2﹣2C的值大于5，求滿足條件的k的最小值．【分析】（1）由題意列式表示出C，然后再運用整式的乘法運算法則計算即可；（2）將B、C代入B2﹣2C運用整式的混合運算發展化簡可得10k+15，最后根據整式B2﹣2C的值大于5列不等式求解即可．【解答】解：（1）∵A＝k﹣1，B＝2k+2，∴C＝A?B＝（k﹣1）（2k+8）＝2k2+5k﹣2k﹣3＝6k2+k﹣3，∴程序自動呈現的整式C為2k2+k﹣3；（2）B3﹣2C＝（2k+5）2﹣2（8k2+k﹣3）＝7k2+12k+9﹣5k2﹣2k+8＝10k+15，∵整式B2﹣2C的值大于2，∴10k+15＞5，∴解得k＞﹣1，∵k為正整數，∴k的最小值為3．26．（10分）模型呈現某興趣小組在從漢代數學家趙爽的弦圖（如圖①