立體幾何與空間向量第八章第7講立體幾何中的向量方法(二)課標(biāo)要求考情概覽1．能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題．2．了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講為高考必考內(nèi)容．預(yù)測本年度高考將會(huì)以空間向量為工具計(jì)算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏13．求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝________________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．(a·u)u

【特別提醒】1．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)．【常用結(jié)論】最小角定理cosθ＝cosθ1cosθ2如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2．【答案】D【答案】D3．(2021年無錫月考)若平面α的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,1)，平面β的一個(gè)法向量為n2＝(－3,1,3)，則平面α與β所成的角等于 (

)A．30°

B．45°

C．60°

D．90°【答案】D【答案】30°5．(教材改編)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面PAB與平面PCD所成的角為________．【答案】45°判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角． (

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角． (

)(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值．(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)锳C∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.利用空間向量求異面直線所成的角【解題技巧】用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定兩條異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．【答案】C

利用空間向量求直線與平面所成的角【解題技巧】利用空間向量求線面角的解題模型【變式精練】2．(2020年新高考卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．(1)證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC.又因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.

(2021年新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．(1)證明：OA⊥CD；(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小為45°，求三棱錐A－BCD的體積．利用空間向量求二面角(1)證明：因?yàn)锳B＝AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.(2)解：如圖，取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD為正三角形，所以CF⊥OD，過O作OM∥CF與BC交于點(diǎn)M，則OM⊥OD，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．空間距離【解題技巧】1．空間距離包括空間內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面的距離以及兩平行平面之間的距離，其中兩點(diǎn)間的距離可以用向量的模長處理，其他三種距離的求解都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.【變式精練】4．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，AD＝2，AB＝3，平面PAD⊥平面ABCD，E為棱PB上一點(diǎn)(不與P，B重合)，平面ADE交棱PC于點(diǎn)F.(1)求證：AD∥EF；(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD∥BC，又因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因?yàn)锳D?平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝EF，所以AD∥EF.(2)解：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，過點(diǎn)O作OH∥AB交BC于點(diǎn)H，因?yàn)閭?cè)面PAD為正三角形，所以PO⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD且交線為AD，所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD，所以O(shè)H⊥AD，以O(shè)A，OH，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，素養(yǎng)微專直擊高考3高考中立體幾何解答題的第二問考查空間角，其中線面角和二面角是考查的重點(diǎn)，求解方法有幾何法和向量法，本文重點(diǎn)介紹幾何法．思想方法——用幾何法求解空間角典例精析解：(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行，延長AB，DC，相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，從而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE，所以CM∥平面PBE.(說明：延長AP至點(diǎn)N，使得AP＝PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))．(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，則∠PDA＝45°，設(shè)BC＝1，則在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．過點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長線于點(diǎn)H，連接PH，易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH，所以平面PCE⊥平面PAH.【解題技巧】1．用幾何法求線面角時(shí)，先尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線，連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角，再把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形求出該角．2．找二面角有三種方法，一是定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線；二是三垂線定理法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角；三是垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．遷移應(yīng)用(1)證明：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E