《高斯整數環的相關性質證明問題研究》3100字【論文】_第1頁
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[10]設,(為自然數)是的主理想,則中有個元素,且.證:是有1的交換環,是的主理想,所以.對,有,且.化簡,得,即.顯然,中包含的全部元素個數就是形成的陪集,且中滿足形如元素的個數恰好只有下面所述的個:.因此,有.例4.1設是高斯整數環,求商環的所有元素.解:由定理4.1,因為,故,共4個元素.定理4.2設,(為自然數)是的主理想,則中有個元素,且.證:對,滿足.化簡,得,即有.若,,且.而,則有,即,其中,.綜上所述,共有個元素.例4.2設為高斯整數環,求商環的所有元素.解:由定理4.2,因為,故,共2個元素.定理4.3對高斯整數環中的非零元素,若,則對,商環有結論如下:(1),滿足;(2).證:(1)“”如果,那么,進而有.因此,,使.易知,.由,得.“”若,且滿足,,令,則有.從而,因此.(2)“”已知,則.令,其中,從而得到,,(1)所以有.由于,因此.設,則,.(2)化簡(1)式和(2)式可得,,故.“”已知,因為,所以,即.最后,對于文獻[4]之猜想:“高斯整數環的商環的元素個數不超過”,我們將用不同于王海坤教授的方法證之,具體過程如下.定理4.4設,且是的主理想,則中有個元素.證:設,,,任取和,且令,;,.由定理4.3知,在商環中有,其中,.設若有,且,,.(1)從而,有.(2)由定理4.3中的(1)知,,故由(1)式知,.據(2)式又得.再由定理4.3知,.因此,同樣由(1)式知,.由以上證明知,中每個元素均可唯一地表示為以下形式:,,.由于這樣的元素共有,故商環共有個元素.參考文獻《數學辭海》總編輯委員會.數學辭海(第二卷)[M].太原:山西教育出版社,2002.方輝.高斯整數環及其商環的若干性質[J].安徽教育學院學報,2002,20(6):16-18.王小娟.Gauss整數環的主理想及其商環研究[J].淮陰師范學院學報(自然科學),2011,10(6):482-486.王海坤.Gauss整數環諸類問題探究[J].工科數學,1999,15(3):67-69.王芳貴.關于高斯整數環的商環元素個數的注記[J].工科數學,2001,17(4):62-63.楊子胥.近世代數[M].第三版.北京:高等教育出版社,2011:131-199.D.Dummit,R.Foote.AbstractAlgebra[M].3rded.JohnWiley&Sons,Inc.,2004:251-255.楊子胥,宋寶和.近世代數習題解[M].濟南:山東科學技術出版社,2003:356-494.聶靈沼,丁石孫.代數學引論[M].第二版.北京:

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