PAGEPAGE1課后限時集訓65兩個計數原理、排列與組合建議用時：45分鐘一、選擇題1．“中國夢”的英文翻譯為“ChinaDream”，其中China又可以簡寫為CN，從“CNDream”中取6個不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(依次不變)的不同排列共有()A．360種 B．480種C．600種 D．720種C[從其他5個字母中任取4個，然后與“ea”進行全排列，共有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)＝600種，故選C.]2．(2024·濟南調研)有4位老師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位老師不能在本班監考，則不同的監考方法有()A．8種 B．9種C．10種 D．11種B[設四位監考老師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設A監考b，則余下三人監考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監考方法．]3．(2024·全國卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種D[由題意可得其中1人必需完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．故選D.]4.現有小麥、大豆、玉米、高粱4種不同農作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上進行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農作物，則不同的種植方法共有()A．36種 B．48種C．24種 D．30種B[先給B地種植，有4種選擇，再給C塊地種植，有3種選擇，再給A地種植，有2種選擇，最終給D地種植，有2種選擇．依據分步乘法計數原理可知共有4×3×2×2＝48(種)不同的種植方法．]5．有七名同學站成一排照畢業紀念照，其中甲必需站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有()A．240種 B．192種C．96種 D．48種B[當丙和乙在甲的左側時，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝96種排列方法，同理，當丙和乙在甲的右側時也有96種排列方法，所以共有192種排列方法．]6．(2024·北京101中學模擬)某中學語文老師從《紅樓夢》《平凡的世界》《紅巖》《老人與海》4本不同的名著中選出3本，分給三個同學去讀，其中《紅樓夢》為必讀，則不同的安排方法共有()A．6種 B．12種C．18種 D．24種C[(1)先從《平凡的世界》《紅巖》《老人與海》三本書中選擇2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)選法；(2)將選出的2本書與《紅樓夢》共計3本書進行全排列，對應分給三名學生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，依據分步乘法計數原理，不同的安排方法有3×6＝18(種)．故選C.]7．福州西湖公園花展期間，支配6位志愿者到4個展區供應服務，要求甲、乙兩個展區各支配一個人，剩下兩個展區各支配兩個人，不同的支配方案共有()A．90種 B．180種C．270種 D．360種B[依據題意，分3步進行分析：①在6位志愿者中任選1個，支配到甲展區，有Ceq\o\al(1,6)＝6種狀況；②在剩下的5個志愿者中任選1個，支配到乙展區，有Ceq\o\al(1,5)＝5種狀況；③將剩下的4個志愿者平均分成2組，然后支配到剩下的2個展區，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(2,2)＝6種狀況，則一共有6×5×6＝180種不同的支配方案．]二、填空題8．由數字2,0,1,9組成沒有重復數字的四位偶數的個數為________．10[依據所組成的沒有重復數字的四位偶數的個位是否為0進行分類計數：第一類，個位是0時，滿意題意的四位偶數的個數為Aeq\o\al(3,3)＝6；其次類，個位是2時，滿意題意的四位偶數的個數為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分類加法計數原理得，滿意題意的四位偶數的個數為6＋4＝10.]9．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，則m＝________.2[由組合數公式化簡整理得m2－23m＋42＝0解得m＝2或m10．(2024·上海高考)首屆中國國際進口博覽會在上海實行，某高校擬派4人參與連續5天的志愿者活動，其中甲連續參與2天，其他人各參與1天，則不同的支配方法有種________(結果用數值表示)．24[在五天里，連續的2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有4Aeq\o\al(3,3)＝24種．]1．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為()A．40 B．16C．13 D．10C[分兩類狀況探討：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．依據分類加法計數原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．]2．(2024·濮陽5月模擬)支配A，B，C，D，E，F，共6名義工照看甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照看一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A擔心排照看老人甲，義工B擔心排照看老人乙，則支配方法共有()A．30種 B．40種C．42種 D．48種C[6名義工照看三位老人，每兩位義工照看一位老人共有：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90種支配方法，其中A照看老人甲的狀況有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種，B照看老人乙的狀況有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種，A照看老人甲，同時B照看老人乙的狀況有：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12種，∴符合題意的支配方法有：90－30－30＋12＝42種，故選C.]3．(2024·衡水模擬)把20個不加區分的小球放入1號，2號，3號的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于它的編號數，則不同的放法種數為________．120[先在編號為2,3的盒內分別放入1個，2個球，還剩17個小球，三個盒內每個至少再放入1個，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可，共有Ceq\o\al(2,16)＝120種方法．]4．(2024·湖南省師范高校附中考前演練五)習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略．為協作國家精準扶貧戰略，某省示范性中學支配6名高級老師(不同姓)到基礎教化薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，因工作須要，其中李老師不去甲校，則安排方案種數為________．360[法一：依據甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，可分四種狀況：(1)甲校支配1名老師，安排方案種數有Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；(2)甲校支配2名老師，安排方案種數有Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；(3)甲校支配3名老師，安排方案種數有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；(4)甲校支配4名老師，安排方案種數有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10；由分類計數原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)安排方案．法二：由6名老師到三所學校，每所學校至少一人，可能的分組狀況為4,1,1；3,2,1；2,2,2，(1)對于第一種狀況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個學校有Ceq\o\al(1,2)種，其余5名分成一人組和四人組有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)種，共Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝20(種)；李老師安排到四人組且該組不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(種)，則第一種狀況共有20＋40＝60(種)．(2)對于其次種狀況，李老師安排到一人組有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝40(種)，李老師安排到三人組有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，李老師安排到兩人組有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,2)＝80(種)，所以其次種狀況共有40＋80＋120＝240(種)．(3)對于第三種狀況，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(種)；綜上所述，共有60＋240＋60＝360(種)安排方案．]1．把7個字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三個“1”兩兩不相鄰，且兩個“A”也不相鄰，則這樣的排法共有()A．12種 B．30種C．96種 D．144種C[先排列A，A，α，β，若A，A不相鄰，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(種)；若A，A相鄰，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，共有不同的排法6＋6＝12(種)．從所形成的5個空中選3個插入1,1,1，排法共有12Ceq\o\al(3,5)＝120(種)．當A，A相鄰時，從所形成的4個空中選3個插入1,1,1，共有6Ceq\o\al(3,4)＝24(種)．故若三個“1”兩兩不相鄰，且兩個“A”也不相鄰，則這樣的排法共有120－24＝96(種)．故選C.]2．將甲、乙等5位同學分別保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就讀，每所高校至少保送一人．(1)有________種不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有________種不同的保送方法．(1)150(2)100[(1)5名學生可分成2,2,1和3,1,1兩種形式，當5名學生分成2,2,1時，共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法；當5名學生分成3,1,1時，共有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60種方法．依據分類加法計數原理知共有