選考部分第十三章第4講不等式的證明欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷1a>b

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2．綜合法與分析法(1)綜合法：證明不等式時，從已知條件出發，利用定義、公理、定理、性質等，經過__________而得出命題成立．綜合法又叫順推證法或由因導果法．(2)分析法：證明命題時，從待證不等式出發，逐步尋求使它成立的__________，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立．這是一種__________的思考和證明方法．推理論證充分條件執果索因3．反證法先假設要證的命題__________，以此為出發點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的________，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)________的結論，以說明假設______，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法．4．放縮法證明不等式時，通過把所證不等式的一邊適當地______或______，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法．不成立推理相反不正確放大縮小5．數學歸納法數學歸納法證明不等式的一般步驟：(1)證明當________時命題成立；(2)假設當________(k∈N*且k≥n0)時命題成立，證明________時命題也成立．綜合(1)(2)可知，結論對于任意n≥n0且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等號當且僅當ad＝bc時成立．n＝n0

n＝k

n＝k＋1

1．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，則m與n的大小關系為_______________．【答案】n≥m

比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號—下結論．其中“變形”是證明的關鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數式平方和的形式，當差式是二次三項式時，有時也可用判別式來判斷差值的符號．個別題目也可用柯西不等式來證明．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時假設為“a，b，c全不為0”．(

)(2)若實數x，y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.(

)【答案】(1)×

(2)√課堂考點突破2用分析法證明不等式【規律方法】當所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式沒有直接聯系，較難發現條件和結論之間的關系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆．用綜合法證明不等式【證明】(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy.因為a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a，b均為正數，所以a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x－y)2≤0，當且僅當x＝y時等號成立．所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.【規律方法】(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間的關系，不等式的左右兩端之間的差異與聯系．合理進行轉換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵．(2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質和基本不等式是最常用的．在運用這些性質時，要注意性質成立的前提條件．柯西不等式的應用課后感悟提升31個關系——綜合法與分析法的內在聯系綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚．當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達整個證明過程．3個依據——放縮法證明不等式的理論依據主要有(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．注意：放縮要適度，“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出．1．(2017年新課標Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.求證：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【證明】(1)因為(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2＋b2)2≥4，所以(a＋b)(a5＋b5)≥4.2．(2017年江蘇)已知a，b，c，d為實數，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求證：ac＋bd≤8.【證明】由柯西不等式得(ac＋b