計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章第4講隨機(jī)事件的概率【考綱導(dǎo)學(xué)】1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．事件的分類【答案】一定會(huì)一定不會(huì)可能發(fā)生也可能不次數(shù)頻率fn(A)3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B__________，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)______(或A?B)相等關(guān)系若B____A且A____B，那么稱事件A與事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)________________________，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)_______________________，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為_(kāi)_______事件，那么稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為_(kāi)_______事件，A∪B為_(kāi)_____事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?且A∪B＝U一定發(fā)生B?A??事件A發(fā)生或事件B發(fā)生事件A發(fā)生且事件B發(fā)生不可能不可能必然4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：______.(2)必然事件的概率P(E)＝____.(3)不可能事件的概率P(F)＝____.(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝____________.若事件A與事件B互為對(duì)立事件，A∪B為必然事件，則P(A∪B)＝________，P(A)＝__________.[0,1]10P(A)＋P(B)11－P(B)【答案】D2．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(

)A．必然事件 B．隨機(jī)事件C．不可能事件 D．無(wú)法確定【答案】B3．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則下列事件中是對(duì)立事件的為(

)A．恰有1個(gè)白球和全是白球B．至少有1個(gè)白球和全是黑球C．至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球D．至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球【答案】B5．(2018年長(zhǎng)沙模擬)有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________．1．頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別．頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的改變而發(fā)生變化，概率是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，是一個(gè)常數(shù)．2．“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．3．需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語(yǔ)句的含義．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的．(

)(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(

)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(

)(4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．(

)(5)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(

)(6)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不可能事件．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√課堂考點(diǎn)突破2隨機(jī)事件的關(guān)系

某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與C；(4)C與E.【解析】(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂甲報(bào)紙”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件．由于事件B不發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定發(fā)生，且事件E不發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件B一定發(fā)生，故B與E還是對(duì)立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”“訂甲、乙兩種報(bào)紙”，事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”，由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件．【規(guī)律方法】判斷事件關(guān)系時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)利用集合觀點(diǎn)判斷事件關(guān)系；(2)可以寫(xiě)出所有試驗(yàn)結(jié)果，看所求事件包含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，從而判斷所求事件的關(guān)系．【跟蹤訓(xùn)練】1．從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．上述事件中，是對(duì)立事件的是(

)A．① B．②④C．③ D．①③【答案】C【解析】從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)．其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件．又①②④中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件．隨機(jī)事件的頻率與概率

某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運(yùn)會(huì)指定為乒乓球比賽專用球，目前有關(guān)部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示：(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)【規(guī)律方法】求隨機(jī)事件概率的關(guān)鍵：求解隨機(jī)事件的概率關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算基本事件數(shù)，計(jì)算的方法有：①列舉法；②列表法；③樹(shù)狀圖法．【跟蹤訓(xùn)練】2．某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí)的概率．互斥事件與對(duì)立事件的概率

某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率(將頻率視為概率)．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53【跟蹤訓(xùn)練】3．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．課后感悟提升31個(gè)難點(diǎn)——對(duì)頻率和概率的理解(1)依據(jù)定義求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率．但是，某一事件的概率是一個(gè)常數(shù)，而頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf(shuō)的“可能”“估計(jì)”是不同的．也就是說(shuō)，單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性．(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．2．(2015年北京)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下：A組：10