易錯01數與式

,實數的有關阮鼾、易優點一:僅誤理解實「的有關概念

/［實效的運庫卜、馬指點二:運用順序錯誤

，《算卡》平才根與立才根卜一舄幡點三整滯平方根、算水平方根、立方根

B

與乙■（科學記數法與近似數卜、易錯點四:有故數字和指確度識別偌誤

式

N代數式的化簡求值易錯點五:混清代數式的運算法則

N分式化簡卜一易錯息六:息略了分式的分處不能為零

「因式分解卜、，得盤七四式分解不由原歿錯

易錯點一：錯誤理解實數的有關概念

一、實數的分類:

正有理數'

有理數零有限小數和無限循環小數.

實數負有理數

無理數無限不循環小數

負尢理數j

二、絕對值：一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，同N0.零的絕對值是它本身，也可看成

它的相反數,若向=m則。20;若同=-a,則a<0

三、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數

四、倒數：如果〃與b互為倒數,則有出>=1,反之亦成立

易錯提醒：（1）需要牢記與三者有關的概念以及相關概念之間的的包含與被包含的關系才能避免出錯;

（2）幾個特殊值注意：0的相反數還是0;0沒有倒數,1的倒數是1,-1的倒數是一1;一個正數的絕對4

它本身，一個負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值還是0.

e0g0）

例I.2023的倒數的相反數是（)

A.2023B.-2023

20232023

易錯警示：有理數、無理數以及實數的有關概念容易理解錯誤，相反數、倒數、絕對值的意義概念容易混

淆.選擇題考得比較多.

例2.下列說法：①負數沒有立方根;②實數和數軸上的點是一一對應的;③=-10;④任何實數不

是有理數就是無理數;⑤兩個無理數的和還是無理數;⑥無理數都是無限小數;其中正確的個數有

)

A.2個B.3個C.4個D.5個

變式1.下列實數：0.22,%病，0.010203040506,（拒丁，強.其中有理數有個，無理數有

個.

變式2.己知〃的倒數是-3,b的絕對值是最小的正整數，且優求8的相反數.

變式3.若實數a"互為相反數，c,d互為倒數,勿的絕對值為2,求〃2+（4尸+（1-2〃?+〃?2）的值.

變式4.請把下列各數填在相應的集合里：

0,-當,0正，十2|,一（一3）,n,-3.14,0.010010001-

正數集合：（_…}

負數集合：{_…}

有理數集合：{_…}

無理數集合：{_…}

1.下列各組數中，互為相反數的是（）

A.—23與"2）3B.-于與（-3/

C.-5?與（-2）5D.-（-3）與|-3|

4

2.已知。=萬3,2=逐+3,則。與〃的關系是（）

A.互為相反數B.相等C.互為倒數I）.互為負倒數

3.下列說法：①互為相反數的兩數和為0;②互為相反數的兩數商為-1;③若土=工，則工=y；④若?=。匕

aa

則其中正確的結論有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.下列說法中，正確的是（）

A.實數可分為正實數和負實數B.石、石、內都是無理數

C.絕對值最小的實數是0D.無理數包括正無理數，零和負無理數

5.在單元復習課上,老師要求寫出幾個與實數有關的結論，小明同學寫了以下5個：

①任何無理數都是無限不循環小數；

②立方根等于它本身的數是±1和0;

③在1和3之間的無理數有且只有及、石、顯"這4個;

④是分數,是有理數；

⑤由四舍五人得到的近似數7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數.

其中正確的有（填序號）.

6.給出下列說法：①0是最小的整數;②有理數不是正數就是負數;③正整數、負整數、正分數、負分數統

稱有理數;④非負數就是正數;⑤無限小數不都是有理數;⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數.其

中正確的說法是.

7.請把下列各數填入相應的集合中

,5.2,0,24,學-22,--,-0.030030003

非負數集合：{…}

分數集合：（…}

無理數集合：{…}

8.己知/〃的絕對值是1,〃的絕對值是4.求〃一〃的最大值.

易錯點二：運算順序錯誤

實數運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數的運算法貝！和運算律在

實數范圍內仍然成立

易錯提醒：在有理數混合運算中不注意運算導致計算錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：①先算乘方，再

算乘除,最后算加減;②有括號先算括號里面的,再算括號外面的;先算小括號,再算中括號,后算大括號.

1.計算：(4+響(4-炯_0+卜_4詞.

2.計算：

(1)4-(-8)+(-6)

(2)17+4x(-5)-14-2xl

(4)|V3-2|-7(-2)2-V64

3.閱讀材料并解決問題：

求1+2+2?+23+L+2的的值.

令S=l+2+22+2'+L+22023，等式兩邊同時乘2,則2S=2+22+23+--+22O23+22024,

兩式相減得2S-S=294一1,所以S=294一?.

依據以上計算方法，計算1+3+32+3、…+3Q=

4.對有理數a,A定義運算〃二"：a?b=ab-a-b-2

⑴計算(-2)?3的值;

(2)比較4@(-2)與(―2)84的大小.

5.小明在電腦中設置了一個有理數的運算程序：輸入數”，加*鍵，再輸入數〃，就可以得到運算:

a*b=a2+b-ab.

⑴求(-5)*3的值；

⑵求(2*5)*(-6)的值.

6.符號〃廠表示一種運算，它對一組數的運算如下：

72,、2?

/(1)=1+?,/(2)=1+->/(3)=l+y,/(4)=1+--

(1)利用以上運算的規律寫出/(〃)=_；(〃為正整數)

⑵計算)/()/()/()；

⑶計算寸()!跳)/()/(J的值.

7.【閱讀材料】???4<6〈囪，即2V后<3,???1〈百-1〈2：???石-1的整數部分為1,???石-1的小數

部分為石-1-1=6-2.

【解決問題】

(1)填空：短的小數部分是二

(2)已知〃、〃分別是屈-4的整數部分、小數部分，求代數式WG+S+9)2的值.

易錯點三：混淆平方根、算術平方根、立方根

一、算術平方根：一個正數〃的算數平方根用符號表示為正,

二、平方根：一個非負數〃的平方根用符號表示為±&；

三、立方根：一個數〃的立方根用符號表示為指.

易錯提醒：幾個特殊值：。的算術平方根、平方根和立方根都是0;平方根等于其自身的有0和1;立方根等

于其自身的有70和1

例5.下列說法正確的是()

A.廬了■是最簡二次根式B.在數軸上找不到加

C.1的立方根與1的平方根相等D.屈和應是同類二次根式

例6.已知卜1+卜-4|=0,則看的平方根是()

A.五B.±@C.±-D.-

2244

變式1.若一個正數％的平方根是放工和師7,則標的值為.

變式2.已知5〃+2的立方根是3,%+/2-1的算術平方根是4”是癡的整數部分.

(1)求a,btc的值；

⑵求a-?+c的平方根.

變式3.已知某正數的兩個平方根分別是-1和。-2,5的立方根為2,

(1)求a,b的值；

(2)求〃的算術平方根.

變式4.(1)若)，+1是加的整數部分，求1+4)，的平方根；

⑵己知2"1和4x+3都是機的平方根，求加的值.

1.用的立方根是;廊的平方根是

2.如圖是?個無理數生成器的工作流程圖,根據該流程圖，下面說法:

輸出x

取算術平方根

輸出y

①當輸出值y為3時,輸入值x為3或9：

②當輸入值x為16時,輸出值y為應;

③對于任意的正無理數乂都存在正整數乂使得輸入后能夠輸出

④存在這樣的正整數乂輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值.其中錯誤的是()

A.①②B.②④C.①④I).@@

3.一個正數x的平方根是2。-3與5-〃，》的立方根是-3,求x+)，+3的算術平方根

4.已知3a+2的立方根是-1,2a-的算術平方根是3,。是而的整數部分.

⑴求c的值；

⑵求J2h-4a-c的平方根.

5.已知〃的平方根是±2,〃是27的立方根，c是的整數部分.

⑴求a+0+c的值；

(2)若x是g的小數部分,求工-厄+21的平方根.

6.己知2〃-1的平方根是±3,3。十8-9的立方根是2,c是質的整數部分，求a+〃+c的平方根.

7.己知4-4的立方根是1,3〃+〃-1的平方根是±4,c是M的整數部分.求a+2/?-c的算術平方根.

易錯點四：有效數字和精確度識別錯誤

一、科學記數法：表示形式為oxi。”的形式，其中14同＜io,〃為整數.

二、近似數：一個近似數四舍五人到哪一位,就說它精確到哪一位

易錯提醒：(1)科學計數法中確定〃的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數

點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，〃是正數;當原數的絕對值VI時，〃是負數；

(2)有效數字：從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字

例7.寧都縣位于贛江東源貢水上游.202()年戶籍人口約為904000人,用科學的計數方法表示904000為

()

A.9.04xlO4B.90x104C.9.04xlO5D.9.04x10"

例8.把準確數237.448四舍五入，精確到十分位的近似數是.這個近似數有個有效數

字.

變式1.數據0.001239用科學計數記作()

A.1.239x103B.0.1239x1(尸C.12.39xI0-2D.1.239x10^

變式2.“厚德開泰，奮發圖興”是130萬泰興人的不懈追求，130萬用科學計數表示為()

A.13X105B.1.3X106C.1.3X107D.1.3X109

變式3.用四舍五入法取近似數，保留3位有效數字后，1.804。

變式4.6.4349精確到0.()1的近似數是,精確到個位的近似數是，保留4個有效數字時是

精確到千分位時是

1.在芯片設計和制造中，為了表示芯片中晶體管與晶體管之間的距離，經常需要用到納米這樣的計數單

位.我們知道：1納米=0.000001毫關，I毫米=0.001米，則1納米=()

A.IO-米B.10兇米C.10-2米D?KT”米

2.下列說法正確的是().

A.0.600有4個有效數字B.5.7萬精確到().1

C.6.610精確到千分位D.2.708X104有5個有效數字

3.2020年我國GDP達到1015986億元，是全球為數不多的實現經濟正增長的國家之一，用科學計數法保留

4個有效數字可表示為億元.

4.世界上最小、最輕的昆蟲是膜翅綏小蜂科的一種卵蜂，其質量只有0.000005克；0.000005用科學記數表

示為()

A.5x10-B.5xl()7C.5x10^D.5xlO-3

5.下列說法中，正確的是()

A.近似數28.00與近似數28.0的精確度一樣

B.近似數0.32與近似數0.302的有效數字一樣

C.近似數2.4X10?與近似數240的精確度一樣

D.近似數220與近似數0.101都有三個有效數字

6.記者從2022年高質量發展新聞發布會.上獲悉,截至2022年年底，國家能源集團風電裝機達到5600萬千

瓦,繼續保持世界第一、其中數據5600萬可用科學記數表示為千瓦.

7.海洋面積36KX)O(X)Okm2用科學記數法可記作kn/.(保留2個有效數字)

易錯點五：混淆代數式的運算法則

一、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連

同它的指數不變

二、器的運算：①同底數塞的乘法：。叫優二""”；②轅的乘方

③積的乘方：卜力)"=anb'1;④同底數轅的除法：a』”=優e.

例9.下列計算正確的是()

A.a2+ay=a5B.C.I),(ab)2=air

例10.(1)化簡：5xy-(4x2+2y)-2|xy-lj；

(2)先化簡，再求值：3。力—lab1—2^ab——crh+ab+3而~,其中。=2,b=—3.

變式1.已知A=2X+1,6是多項戈在計算8+A時，某同學把B+A看成了B+結果得一一3,則

8+A=.

變式2.計算：

⑴〃-(-2)2-(-1嚴+次.

變式3.計算：

(1)4個/(2X-個，)+(-2盯了;

⑵(一加y+加.("『(_2好；

(3)32+(-2丫+(2017-4

2

(4)(3x—2)(2x—3)—(X—l)(6x+5).

變式4.先化簡，再求值：[4f+2)，(x+3)，)—(2x+)，)(2x—)，)]+2義其中f—4x+4+|.y+l|=0.

1.三角形的面積是12a3-6,仍+3/,它的一條高是3%這條高對應的底邊長是()

A.&/一4力+2。B.a2+yb-4aC.a2-lb+4aD.4a2-2b+a

2.計算題：

(1)82O,9X(-O.125)2O2°;

⑵202()2-2019x2()21(用乘法公式進行計算)；

⑶3-)財2+力3+),)；

(4)(?+/?)(/?-?);

(5)先化簡，再求值：［&+3?-(刀+2))(3%-)，)一11)，2卜(2。其中工二一2,尸1.

3.先化簡，再求值：(〃-3葉一(〃+力)(〃一人)+(4曲其中〃=3'=一；

4.計算：

⑴卜（丁），2-xy）--/y）卜3/），；

⑵求（2工+3），＞-（21+），）（2]-＞，）的值，其中x=：,.

5.已知x"=2,f=4,x'=8.

⑴求證：a+c=2b-,

⑵求如標的值.

6.計算：

⑴（-4./+[（-47；

（2）（凸,）“+丹_卜2）,）3；

⑶（-曲+7（/『-（-?）?（_〃）.

⑷(2)?（2冷,）、得Q,

7.計算:

⑴卜?/+(3a4y

2

⑵卜—.F3、卜77X^-477

易錯點六：忽略了分式的分母不能為零

A

一、分式：一?般地，如果A、8表示兩個整式，并且一中含有字母的式子

B

二、分式的基本性質：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變

易錯提醒：求分式值時要主要到隱藏條件，即分式的分母不能為零,否則原分式無意義.

例比化簡扁一43,從LT,2中選一個適合的數作為a的值代入求值?

易錯警示：分式運算要注意運算法則和符號的變化.當分式的分子分母是多項式時要先因式分解，因式分解

要分解到不能再分解為止,注意計算方法,不能去分母,把分式化為最簡分式.

例12.化簡下式：

111

⑴x(x+l)+(X+1)(A+2)+...+(x+2004)(x+2005)

小、1?11

(2)-；----------1—；------1—；------------1—；-------------

x2-4x4-3x2-l丁+4%+3x2+8x+15

⑶分式方程品歷+鬲兩一(=1的解是---------(請直接寫出答案)

變式1.若分式皇2的值為零，則*的值為()

x-3

A.0B.-3C.3I).3或一3

變式2.先化簡，再求值：

(孚+I,其中％是方程=+1=--的解.

VX*-2xX-4二X+4jJXx-22-x

變式3.已知,+=且。+/力0,則竺不的值為_____?

aba+b

變式4.先化簡，再求值：從-2c<2的整數解中選取一個合適的x代入求值.

X-+2X4-1\X+\J

L當一時,分式亍的值為。.

2.要使分式二的值擴大4倍，X、),的取值可以如何變化()

A.X的值不變，y的值擴大4倍B.y的值不變，X的值擴大4倍

c.工、y的值都擴大4倍I).x、y的值都擴大2倍

3.先化簡，再求值：一;+—從-2、-1、0中選擇一個合適的x值代入求值.

\x+2x-2)x--4

4.如圖,約定：上方相鄰兩個代數式之和等于兩個代數式下方箭頭共同指向的代數式

(1)求代數式和

(2)當。=3,〃=一1時，求代數式A；的值.

5.先化簡，再求值：，3匕x+口4-2三、卜x中+2/其中x從-1、+「2、-3中選出你認為合理的一個數代入化

簡后的式子中求值.

6.定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，那么稱這個分式為〃美好分

=二^^±^==+二=]+二則二是〃美好分式”

式"，如:

x-ix-\x-\x-ix-\x-\

(1)下列分式中，屬于〃美好分式”的是_____;(只填序號)

③二；

Xrx+32x-l

(2)將“美好分式")-2工+2化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式;

x-\

(3)判斷其一七1+占卜的結果是否為“美好分式”，并說明理由.

x+1x廠-7x

7.王老師在黑板上書寫了一個代數式及其正確的演算結果,隨后用手掌捂住了一部分,形式如:

一熹=V.求〃所捂部分”化簡后的結果.

易錯點七：因式分解不徹底致錯

一、因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+ph+pc=p(a-￥b+c);②公式法：a2-b~=^a+b)^a-b)；

a2+2ab-^-b2=[a+b^；a2-lab+b2=(〃一〃了

③分組分解法：ac+ad+權,+cd=a(c+d)+〃(c+〃)=(a+〃乂c+d)

④十字相乘法:"+(p+q)a+pq=(a+")(a+q)

二、因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式,那么先提取公因式.

②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下,觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式法分解

因式;3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式;4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解

因式

易錯提醒：(1)要牢記公式法和十字相乘法，切不可混淆；

(2)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止

e0??)

例13.下列因式分解正確的是()

A.21+6邛=x(2+6y)B.x2y+6x)?2+9y'=y(x2+6沖+9./)

C.x2+2X-8=X(A+2)-8I),x2-4y2=(x+2y)(x-2y)

例14.計算：

⑴化簡計算：(x—l)(x+3)+(x—lf;

(2)分解因式：x2.y-2Ar+/;

變式1.若將多項式2丁-/+加進行因式分解后,有一個因式是.r+1,則〃?的值為

變式2.卜.列因式分解正確的是(

A.3X3+2d+%=x(3x2+2x)B.9???2-1=(9/?r+l)(9/7/-1)

222

C.x-2xy-y=(x-y)D.am-bin+2Jy-2a=(<m-2)^a-b)

變式3.已知3z都是正整數，其中x>”且/-KZ-盯+yz=23,設a=x-z,貝IJ

[(3〃-1)(〃+2)—5a+2]+a=()

A.3B.69C.3或69D.2或46

變式4.新定義：對于任意實數x,都有/(司=加+尻，若"1)=5,/,⑵=12,則將/(X2-甸因式分解的

結果為

1.若實數a、b、。滿足。一力=3,Z?-c、=l,那么—Hc-ca的值是

2.下列從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.CT-4+a=(a+2)(a-2)-^aB.a2+4a-4=(a-2)2

C.a2+h=a(a+b)I),a2+4ci+3=(^a+\)(a+3)

3.下列因式分解：

①6c《a+Z?)-4/?(〃+〃)=[/+。)(6"-4/?);@JC-2X—8=(X-4)(JC+2)；(3)a3b-ab=ab^a2-1);?

9—6(〃?—〃)+(〃—.“J=(3+〃?—“J.其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個