數(shù)學教學設計之四

——數(shù)學思想方法滲透1第1頁中學數(shù)學課程內容是由詳細數(shù)學知識與數(shù)學思想方法組成有機整體，現(xiàn)行數(shù)學教材編排是沿知識縱向展開，數(shù)學思想方法只是蘊涵在數(shù)學知識體系之中，沒有明確揭示和總結。怎樣處理數(shù)學思想方法教學問題？數(shù)學思想方法構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。數(shù)學思想方法教學應以落實滲透性標準為根本，結合落實重復性、系統(tǒng)性和明確性標準．它們相互聯(lián)絡，相輔相成，共同組成數(shù)學思想方法教學指導思想。提要2第2頁1數(shù)學思想方法教學與能力關系

思想方法就是客觀存在反應在人意識中經過思維活動而產生結果，它是從大量思維活動中取得產物，經過重復提煉和實踐，一再被證實為正確、能夠重復被應用到新思維活動中，并產生出新結果。數(shù)學思想方法就是指現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系反應到人意識中，經過思維活動而產生結果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論（概念、定理、公式、法則等）本質認識。3第3頁數(shù)學思想是對數(shù)學知識本質認識，是對數(shù)學規(guī)律理性認識，是從一些詳細數(shù)學內容和對數(shù)學認識過程中提煉上升數(shù)學觀點，它在認識活動中被重復利用，帶有普遍指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學處理問題指導思想。數(shù)學方法是指從數(shù)學角度提出問題、處理問題（包含數(shù)學內部問題和實際問題）過程中所采取各種方式、伎倆、路徑等。數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)絡，普通來說，強調指導思想時稱數(shù)學思想，強調操作過程時稱數(shù)學方法。4第4頁1.1數(shù)學思想方法界定1.2數(shù)學思想方法與能力關系數(shù)學思想方法是形成學生良好認知結構紐帶，是將知識轉化為能力橋梁。中學數(shù)學教學綱領中明確指出：數(shù)學基礎知識是指數(shù)學中概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反應出來數(shù)學思想方法。

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從心剪發(fā)展規(guī)律看從認知心理學角度看從學習遷移看（1）（2）（3）數(shù)學思想方法教學一系列問題，已成為數(shù)學當代教育研究中一項主要課題。6第6頁（1）從心剪發(fā)展規(guī)律看進行數(shù)學思想方法教學，不但有利于學生從形式思維向辯證思維過渡，而且是形成和發(fā)展學生辯證思維主要路徑。（2）從認知心理學角度看數(shù)學學習過程是一個數(shù)學認知結構發(fā)展改變過程，（3）從學習遷移看數(shù)學思想方法有利于學生學習遷移，尤其是原理和態(tài)度遷移，從而能夠極大地提升學習質量和數(shù)學能力。7第7頁布魯納認為“學習基本原理目標，就在于促進記憶喪失不是全部喪失，而遺留下來東西將使我們在需要時候得以把一件件事情重新構思起來。高明理論不但是現(xiàn)在用以了解現(xiàn)象工具，而且也是明天用以回想那個現(xiàn)象工具。”8第8頁2數(shù)學思想方法教學原理中學數(shù)學課程內容是由詳細數(shù)學知識與數(shù)學思想方法組成有機整體。現(xiàn)行數(shù)學教材編排普通是沿知識縱方向展開，這是一條明線。大量數(shù)學思想方法只是蘊涵在數(shù)學知識體系之中，并沒有明確揭示和總結，而這又是教學根本。9第9頁

數(shù)學思想方法明朗和形成階段深化階段數(shù)學思想方法數(shù)學思想方法潛意識階段10第10頁

重復性標準系統(tǒng)性標準滲透性標準明確性標準應以落實滲透性標準為根本，結合落實重復性、系統(tǒng)性和明確性標準．它們相互聯(lián)絡，相輔相成，共同組成數(shù)學思想方法教學指導思想。11第11頁2.1滲透性標準在詳細知識教學中，普通不直接點明所應用數(shù)學思想方法，而是經過精心設計學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中數(shù)學思想和方法，使他們在潛移默化中到達了解和掌握。數(shù)學思想方法教學總是以詳細數(shù)學知識為載體，在知識教學過程中實現(xiàn)。數(shù)學思想是對數(shù)學知識和方法本質認識，數(shù)學方法是處理數(shù)學問題、表達數(shù)學思想伎倆和工具。數(shù)學思想方法含有高度抽象性與概括性。假如說數(shù)學方法尚含有某種外在形式或模式，那么作為一類數(shù)學方法概括數(shù)學思想，卻只表現(xiàn)為一個意識或觀念，極難找到外在固定形式。數(shù)學思想方法形式絕不是一朝一夕能夠實現(xiàn)，必須要日積月累，長久滲透才能逐步為學生所掌握。12第12頁

公式、定理等探究和推導過程概念形成過程解題方法思索過程知識小結過程數(shù)學思想方法滲透是在詳細知識教學過程中實現(xiàn)！13第13頁2.2重復性標準（1）認識過程含有長久性和重復性特征．學生對數(shù)學思想方法領會和掌握規(guī)律：從個別到普通，從詳細到抽象，從感性到理性，從低級到高級。（2）個體差異存在造成學生接收了解掌握程度含有很大不一樣時性.14第14頁2.3系統(tǒng)性標準數(shù)學思想方法只有形成含有一定結構系統(tǒng)，才能更加好地發(fā)揮其整體功效。數(shù)學思想方法有高低層次之別，對于某一個數(shù)學思想而言，它所概括一類數(shù)學方法，所串聯(lián)詳細數(shù)學知識，也必須形成本身體系，才能為學生了解和掌握，這就是數(shù)學思想方法教學系統(tǒng)性原理。15第15頁2.3系統(tǒng)性標準對于數(shù)學思想方法系統(tǒng)性研究，普通需要從兩個方面進行：（1）研究在每一個詳細數(shù)學知識教學中能夠進行哪些數(shù)學思想方法教學。（2）研究一些主要數(shù)學思想方法能夠在那些知識點教學中進行滲透。從而在縱橫兩個維度上整理出數(shù)學思想方法系統(tǒng)。

16第16頁2.4明確性標準滲透性和明確性是數(shù)學思想方法教學辯證兩個方面。在重復滲透教學過程中，利用適當初機，對一些數(shù)學思想方法進行概括、強化和提升，對它內容、名稱、規(guī)律、使用方法適度明確化，是掌握、利用數(shù)學思想方法并轉化為能力前提。落實數(shù)學思想明確化標準，是讓學生了解數(shù)學思想關鍵，是熟練掌握、靈活利用、轉化為能力前提，有利于學生掌握其中規(guī)律，使學生認識能力產生飛躍。17第17頁

函數(shù)、方程思想數(shù)形結合思想分類討論思想化歸與轉化思想3中學數(shù)學中主要思想方法18第18頁函數(shù)、方程思想就是用函數(shù)觀點、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉化為函數(shù)問題，經過對函數(shù)研究，使問題得以處理。通常是這么進行：問題將問題轉化為函數(shù)問題建立函數(shù)關系研究這個函數(shù)將研究結果轉化為對應問題解19第19頁數(shù)形結合思想“數(shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表示式，代數(shù)中一切內容；“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結合本質是數(shù)量關系決定了幾何圖形性質，幾何圖形性質反應了數(shù)量關系。數(shù)形結合就是抓住數(shù)與形之間內在聯(lián)絡，以“形”直觀地表示數(shù)，以“數(shù)”準確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。”經過深入觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形直觀誘發(fā)直覺。20第20頁就是依據(jù)數(shù)學對象本質屬性共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不一樣種類思想方法。分類是以比較為基礎，它能揭示數(shù)學對象之間內在規(guī)律，有利于學生總結歸納數(shù)學知識，使所學知識條理化。分類討論思想21第21頁分類討論思想外部特征

數(shù)學中分類有現(xiàn)象分類和本質分類兩種：（1）以分類對象外延（外部特征、外部關系）為依據(jù)；（2）按對象內涵（本質特征、內部聯(lián)絡）進行分類。

分類方法內部聯(lián)絡22第22頁引發(fā)分類討論主要原因有：①由數(shù)學概念引發(fā)分類討論；②由數(shù)學定理、性質、公式限制條件引發(fā)分類討論；③由數(shù)學式子變形所需要限制條件引發(fā)分類討論；④由圖形位置和大小不確定性而引發(fā)分類討論；⑤對于含有參數(shù)問題要對參數(shù)允許值進行全方面分類討論。分類討論思想23第23頁化歸與轉化思想在教學研究中，使一個對象在一定條件下轉化為另一個研究對象數(shù)學思想稱為轉化思想。化歸與轉化普通標準是①化歸目標簡單化標準；②友好統(tǒng)一性標準③詳細化標準；④標準形式化標準；⑤低層次化標準化歸與轉化思想24第24頁化歸與轉化策略有：①已知與未知轉化②正面與反面轉化③數(shù)與形轉化④普通與特殊轉化⑤復雜與簡單元轉化

化歸與轉化思想超越方程代數(shù)化、三維空間平面化、復數(shù)問題實數(shù)化,…25第25頁化歸與轉化思想化歸與轉化標準化歸與轉化策略化歸與轉化思想26第26頁3.2中學數(shù)學中基本數(shù)學方法（1）數(shù)學中幾個慣用求解方法：配方法、消去法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、坐標法、參數(shù)法、結構法、數(shù)學模型法等；（2）數(shù)學中幾個主要推理方法：綜正當與分析法、完全歸納法與數(shù)學歸納法、演繹法、反證法與同一法；（3）數(shù)學中幾個主要科學思維方法：觀察與嘗試、概括與抽象、分析與綜合、特殊與普通、比較與分類、歸納與類比、直覺與頓悟等。27第27頁4數(shù)學思想方法教學路徑探索4.1滲透——潤物細無聲，是數(shù)學思想方法教學基礎在基礎知識教學過程中，適時滲透數(shù)學思想方法，就是要注意知識形成過程，尤其是定理、性質、公式推導過程和例題求解過程。（1）重視概念形成過程（2）引導學生重視定理、公式探索、發(fā)覺、推導過程28第28頁4數(shù)學思想方法教學路徑探索4.1滲透——潤物細無聲，是數(shù)學思想方法教學基礎4.2提煉——態(tài)度鮮明，是升華知識關鍵數(shù)學思想方法形成有一個過程，學生經過詳細數(shù)學知識學習，對于蘊含其中某個數(shù)學方法開始產生感性認識，經過屢次重復，在不停感悟基礎上，逐步概括成理性認識，所以在適當時候，教師要幫助學生進行歸納、整理、提煉，并鮮明地指出思想方法內涵，充實完善學生認知結構，以增強學生利用數(shù)學思想方法意識.29第29頁4數(shù)學思想方法教學路徑探索4.1滲透——潤物細無聲，是數(shù)學思想方法教學基礎4.2提煉——態(tài)度鮮明，是升華知識關鍵4.3熟練——瞻前顧后，是鞏固思想方法必經階段當學生初步認識了基本數(shù)學思想方法后，教師應在基礎知識講授和解題指導中，盡可能表達這種思想方法，使學生逐步到達自覺、自如、熟練程度.30第30頁4數(shù)學思想方法教學路徑探索4.1滲透——潤物細無聲，是數(shù)學思想方法教學基礎4.2提煉——態(tài)度鮮明，是升華知識關鍵4.3熟練——瞻前顧后，是鞏固思想方法必經階段4.4深化——耐心細致，是自覺利用思想方法主要步驟對數(shù)學思想方法了解和利用，還須有一個深化過程，使機械模仿行為升華充實到固有知識體系中，這一過程實施能夠利用課后小結，單元小結或總復習進行，也能夠依據(jù)學生數(shù)學思想方法成熟程度，適時開設專題講座課，講清其來龍去脈，內涵外延、作用功效等等.31第31頁例10“三線八角”教學過程問題1

（1）請回顧一下角概念。（2）對頂角、鄰補角是怎樣形成？我們是怎樣研究它們性質？設計意圖：強調從結構特征、討論問題思想方法等角度，對已經有知識進行復習回顧，為新知識學習提供借鑒。32第32頁先行組織者：兩條直線相交形成四個角，它們關系（性質）已經清楚（特例是垂直）。接下來能夠研究一條直線與兩條直線分別相交，能夠得到哪些角，它們又有什么關系（性質）。意圖：提出問題方法、研究思緒引導。33第33頁問題2：畫出一條直線與兩條直線分別相交圖形。共得到幾個角？你知道其中哪些角關系？設計意圖：培養(yǎng)學生畫圖習慣；分析出需要研究新問題（思維邏輯性）。問題3：我們沒有研究過是哪些角關系？怎樣把這些角分類？設計意圖：引導學生學習依據(jù)一定標準分類研究方法。34第34頁問題4：如圖，直線AB，CD被直線EF所截。∠1與沒有公共定點∠5，∠6，∠7，∠8關系能夠怎樣描述？可分為幾類？設計意圖：讓學生自己描述這些角結構特征，并分類。說明：本問題是本課關鍵，可多給時間，教師可在確定分類標準上給予引導。35第35頁問題5：圖中，（1）與∠1、∠8類似含有相同位置關系角還有哪幾對？（2）還有哪幾對角位置關系是問題4中沒有包含？設計意圖：從圖中識別同位角，及時鞏固概念；引導學生觀察圖形，從分類角度認識內錯角、同旁內角概念。能夠安排讓學生找出全部內錯角、同旁內角活動。教科書只敘述了事實，給了名字。數(shù)學思想方法沒有明確——要學生自己悟。36第36頁例題：主要是經過圖形變式，讓學生在逐步復雜圖形中識別相