數學結合思想的起源發展及其價值體現研究TOC\o"1-3"\h\u285611引言 1294931.1研究背景 1247231.2研究意義 157061.3研究價值 119512數學結合思想的起源與發展 262452.1數與形的產生 290152.2古希臘時期的數形結合思想 3186932.3中國古代數學中的數形結合 4193892.4解析幾何的創立 5210892.5近現代數學中的數形結合 642223數形結合思想的價值體現 694033.1數形結合在概念定理中的優越性 7282153.2數形結合對微積分的重要作用 8269653.3數形結合為三大幾何問題的解決提供了轉機 9160043.4數形結合使圓錐曲線的研究有了新進展 107504總結 1123722參考文獻 12摘要：數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從具體的數學內容以及對數學的認識過程中所提煉的數學觀點與方法，而數形結合思想是具有一般性的數學思想,也是數學中最常見和最基本的數學思想方法之一，在數學中具有重要的價值和意義.數形結合思想貫徹于整個數學知識體現中，通過“數”與“形”的緊密結合，將代數式的精確性與幾何圖形的直觀性相結合，使代數問題和幾何問題相互滲透、相互轉化，為代數問題提供了幾何直觀，為幾何問題提供了精確的證明，具有很高的研究價值.關鍵詞：數學思想；數形結合；方法；價值1引言1.1研究背景社會的發展需要數學，生活中處處離不開數學，數與形無論是在實際生活中還是在數學的研究中，都隨處可見.學習數學，除了掌握最基本的數學知識以外，更應該掌握數學知識背后的本質，即數學思想.數學思想在培養能力、提升數學核心素養反面都發揮著重要的作用.數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從具體的數學內容以及對數學的認識過程中所提煉的數學觀點與方法，而數形結合思想是具有一般性的數學思想,也是數學中最常見和最基本的數學思想方法之一，在數學中具有重要的價值和意義.更有說法是：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.”這短短的兩句話，從反面道出了數形結合在數學思想中的重要地位.1.2研究意義數形結合思想貫徹于整個數學知識體現中，直覺上，代數與幾何似乎互不相干，數形結合卻大膽地打破了二者之間的界限，為解決問題提供了極大的便利，具有很高的研究價值.數形結合通過形象來揭示事物的本質，與邏輯思維相輔相成，使數學研究有目的性和方向性，并通過嚴格的論證與辯證法的有機結合，促進了數學的進階發展.不得不說，數學根本離不開數與形的結合，數和形兩者相互滲透，不可分割.通過“數”與“形”的緊密結合，將代數式的精確性與幾何圖形的直觀性相結合，使代數問題和幾何問題相互滲透、互為呼應，從而，抽象和形象完美地融合在一起.1.3研究價值通過數形結合，首先，我們對幾何圖形的性質進行了更深刻、更廣泛的研究，同時，研究對象也更加寬泛，方法也更加通用.其次，它為代數研究提供了幾何直觀.代數方法在計算方面面展現了其精確性，而幾何圖形則突顯的是直觀形象，兩者的結合相互促進，從而深化了我們對數量關系與空間形式之間的理解.就好比拉格朗日說的那樣，只有當數與形結合成伴侶時，它們才會互相吸取活力.數形結合思想的重要性顯而易見，對于數形結合思想的研究自然也很多，但當下的相關研究主要是在中學生用其解決數學問題的情況及教學策略等方面，然而，數形結合思想的價值并不局限于此.本文簡單的介紹了數形結合的起源與發展，主要從數形結合在概念定理中所具有的優越性、在微積分這個數學分支中的重要性、在三大幾何問題以及圓錐曲線的研究中發揮的重要作用四個方面來論述數形結合思想的價值意義.希望由此能夠引起大家對數形結合思想的重視.2數學結合思想的起源與發展2.1數與形的產生人類很早就已然具備了區分事物多與少的技能，原始的對數的知覺到真正“數”概念的形成，是極緩慢的過程[1].在后來，人類從對生活中事物的觀察和思考發現了：一棵樹，一條魚，一個太陽等一系列物體間，似乎存在著某些共通點，這樣一來，“數”產生了.這就是“數”與“形”相結合最早的無意識表征[2].遠古人類對數的領會是不斷進步的，他們為了更好的表達事物在“數”方面的數學，于是便產生了“記數”，如利用石子、繩結、刻痕等記數方法，都是人類早期時候的記數方式.數的概念產生之后，“形”是被用來呈現“數”的第一個工具.在古代的形形色色的記數方法中，抽象的數都是以具體的圖形來展現的（如圖1），而歷史最長的一種記數工具當屬中國的算盤.而幾何知識最開始是根據人們對形的直覺萌生出來的，這與數的產生差不多.那時，人們最初是從自然環境中抽象出幾何形式，比如圓月，并且通過器皿制作、建筑設計以及繪畫裝飾等加以再現.這一時期人類的認識能力有局限，數和形的最初結合是無意識的，其根本原因是人們尚且還無法區別二者[3].圖1用圖形表示數2.2古希臘時期的數形結合思想幾何學發展的繁榮時期是在古希臘時期，在長期的生產生活實踐中，古巴比倫人和古埃及人獲得了大量且直觀的幾何知識，之后古希臘又將其引入，在這一時期，有兩大著名的數學學派，他們是當時數學的代表，為幾何學的進步與發展做出了巨大的貢獻.其中之一就是信奉“萬物皆數”的畢達哥拉斯學派，他們以算術為基礎，為幾何學的發展確立了根基，使數與形的結合得以發展，促使古希臘數學向前進步.畢達哥拉斯學派強調了數學上數和圖形并不同于實際事物與形象[4].他們還對數進行了廣泛的研究，比如“完全數”、“親和數”、“形數”等.例如，三角形數1,3,6,10圖2三角形數正方形數1,4,9,16圖3正方形數五邊形數1,5,12,22圖4五邊形數用公式表示為：；；.更大膽的說法是“萬物皆數”，畢達哥拉斯學派信奉“萬事萬物均可歸結為整數或整數之比[5]”.他們之所以把一切事物的根本看作是數，原因是他們努力嘗試將幾何建立在算術的前提上.畢達哥拉斯相信，任何數量都可以表示成兩個整數之比（即某個有理量），這是他們對“數”狹隘的認識，當不可公度線段被發現時，一切的幾何基礎倒塌.歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，他的《幾何原本》為幾何學的發展奠定了基礎，他從幾何的角度鉆研代數問題，通常認為，一切代數問題均可從幾何的角度進行思考，實際上，這也體現了畢達哥拉斯學派不認可無理數的存在.他們用線段描述數：線段的延伸是數的和，一線段割去另一線段的長度是兩數之差，兩數為邊長的矩形面積表示數的乘積[2].在對“形”的研究中，數也得到了發展，其中，較為經典的例子就是無理數的發現.可惜的是，那時候的古希臘人根本接受不了無理數的概念，最后就導致了他們把代數與幾何看成是兩門完全不相干的學科.2.3中國古代數學中的數形結合在歷史上，中國數學中數形結合的印跡隨處可見.算籌和算盤是早期歷史最長的計算工具，可以看成是“數形結合”最初的形式.《周髀算經》是我國最早的數學著作之一，其中記載了：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”另外，《九章算術》在“商功”這一章中敘述的關于體積的內容，實際上已經孕育著幾何代數化方法.我國數學家劉徽也在他的《九章算術注》中主張“析理以辭，解體用圖”.數形結合的有利之處就在中國古代數學的發展中充分顯現了，它在推動中國古代數學發展的同時，也讓現代數學的發展有了可借鑒之處，可見其在數學發展中的巨大貢獻.而在古代的數學研究中，最能體現數形結合的例子之一就是劉徽和楊輝對“三角形面積公式”的推導.《九章算術》呈現了劉徽對三角形面積公式的推導方法，具體描述為：“半廣以乘正從.半廣知，以盈補虛為直田也.亦可半正從以乘廣.”[2]實際上，我們如今運用的三角形面積公式與劉徽的推導方法得出的結論的說法是一樣的，那個時期的中國古代數學家將數與形相結合用以解決數學問題，他們的思考促進了三角形面積公式結論的產生，這也直接體現出中國古代就已經在運用數形結合思想了.具體分析如下（如圖5所示）.圖5劉徽對三角形面積公式的推導之后，楊輝更深層次地研究了劉徽對三角面積公式的推導方法，其結論收錄在《田畝比類乘除捷法》中.其中記載的：“廣步可以折半者，用半廣以乘正從，從補可以折半者，用半從步乘廣.廣從皆不可折半者，用步從相乘折半.”[2].這一結跟現今所用公式一模一樣，他的結論可以用字母闡述如下：；；.劉徽和楊輝的方法是“以盈補虛”，進而得出三角面積公式，它的推導過程是我國古代數學中數與形完美結合的經典例子，毋庸置疑，這也滲透出了數形結合思想.2.4解析幾何的創立17世紀以后，隨著社會生產的進一步發展和需要，圓錐曲線的研究也應運而生，解析幾何由此誕生.回看解析幾何的發明就要歸功于兩位法國的笛卡爾與費馬，他們對解析幾何的創建作出了極大的貢獻.笛卡爾和費馬結束了古希臘人對代數與圖形結合上狹隘認知，他們將數與形相結合統一了起來.依據笛卡爾的《幾何》可以知道，他創立解析幾何的核心就是為了轉化幾何學的問題為代數形式的問題，簡單的說就是從運動軌跡（形）出發尋找它所滿足的方程（數），而費馬則相反，他是從方程（數）出發研究曲線（形），對比兩人的思維路徑，他們研究解析幾何基本原理的方向幾乎是東趨西步.“解析幾何的創立使得代數與分析中的許多事實可用幾何來表現，幾何上的一些考慮又可幫助解決代數與分析的問題”[6].2.5近現代數學中的數形結合從解析幾何創立以后，數與形之間就不再有那么明顯的界限了.尤其是在18世紀之后，我們牽強地把“數”與“形”理解為單側重于“數”與單側重于“形”的研究學科[7].但解析幾何從一開始就不僅限于對“形”的研究，故此它從誕生開始便不能說是完全意義上的幾何學.此后，代數與幾何幾乎是相互滲透發展，難以分割，而數與形在局部相關領域聯系也更加緊密，“數”可以作為研究的工具，并從新的角度看待問題，而“形”提供的是研究對象和思考工具，數形結合思想也充分融入到了數學的發展當中.就近現代來看，“數”使研究更加深入與抽象，但也有某些領域使研究的對象與“形”之間的聯系漸行漸遠.由于數學分支的不斷壯大，整個數學領域中交叉的學科也愈來愈多，現在已經很難闡述“數”與“形”的具體含義，同時，備受數學家們“寵愛”的“結合”、“聯系”不再局限于“數”與“形”，在他們看來，從不同角度出發的數學方法與數學思想之間的相互滲透反而更具有價值.現代數學工具大都兼備了“數”和“形”雙重特征，“數形結合”已完全地、徹底地熔融到數學的發展中[8].3數形結合思想的價值體現數形結合思想是中學數學中常見的數學思想之一，它在數學學習中具有重要的價值.數學主要研究的兩類對象就是數與形，數是數學知識的抽象性，形是數學知識的直觀性.數形結合是聯結數與形的橋梁，在解決問題時，需要邏輯時用“數”，需要直觀時用“形”，二者互為支撐，可化抽象為直觀，化形象為邏輯，達到解決問題的最終目的.因此，掌握數形結合思想是很有必要的.3.1數形結合在概念定理中的優越性數形結合思想的優越性就在于，幾何對象、幾何概念、幾何目標、幾何圖象都可以直接或間接地以代數方法進行表達；反之，數形結合思想使代數語言得到了幾何解釋，這使得代數語言直觀而生動.比如畢達哥拉斯學派對完全平方公式的證明，具體的證明過程如下（如圖6所示）：圖6完全平方公式的證明正方形的邊為，割分為四個矩形，其中兩個小正方形的邊長各為，，以為邊的大正方形的面積等于其余四個矩形面積的和，即，整理就得到完全平方式：.圖6完全平方公式的證明又如我國古代科學家趙爽對勾股定理的證明：如圖7，四個全等直角三角形拼成一個正方形，三角形的兩直角邊為、，斜邊為，易知，大正方形與小正方形的邊長分別為和.四個三角形的面積之和為，大正方形和小正方形的面積分別為和.顯然，，所以，故，勾股定理成立.圖7趙爽弦圖圖82002年世界數學家大會會徽趙爽根據他繪制的圖形，運用數形結合證明了勾股定理，這使我國數學的發展又向前邁進了一步.2002年，世界數學家大會在我國北京舉辦，大會的會徽就是趙爽的“勾股弦圖”（如圖8所示），再一次把我們的民族驕傲展現在世界的面前.上述例子說明，從古至今，數形結合彼此間的聯系緊密相關.代數與幾何間的界限已然愈加模糊，在解決部分問題時，二者幾乎合為一體，數形結合思想對于理解數學概念、證明數學定理的優越性不言而喻.3.2數形結合對微積分的重要作用由恩格斯編撰的《自然辯證法》中提到，17世紀人類理性精神的最高代表是微積分的創立，可以說它的產生同解析幾何的貢獻密不可分.在17世紀上半葉時期，數學家們已經積累了大量微積分的知識和方法，如開普勒對求旋轉體體積方法的發現；卡瓦列里對不可分量原理的建立，這個原理后稱“卡瓦列里原理”；笛卡爾對“圓法”的提出；費馬對求極大值、極小值的代數方法的提出；巴羅對曲線切線進行“微分三角法”的求解，這個方法也叫“特征三角法”，以及沃利斯的“無窮算法”等，這些努力都對促進微積分的產生起到了積極作用，而解析幾何的出現是微積分創立的穩固底座.解析幾何在17世紀被笛卡爾所創立，坐標系中點與數的對應由此建立，為利用數形結合思想研究微積分打下了基礎[9].實際上，微積分學中不少問題都是建立數與形的聯系，將其合為一體，從而以達到解決問題的目的，其主要體現在兩方面：一是形象化代數問題，即根據數量特征，構造出相應的幾何圖形；二是具體化幾何問題，也就是將圖像信息轉化為數學符號的表達.更具體的說，大多數微積分的概念和定理中都深嵌了數形結合.如：函數在區間上連續表示它的圖像在這個區間上是一個連貫的曲線；定積分表示曲邊梯形的面積代數和.解析幾何融合了幾何與代數，在數學中引入了不定量，為微積分的創立提供了可能性[10].解析幾何的出現，促使微積分向前進步.3.3數形結合為三大幾何問題的解決提供了轉機古希臘是幾何學的故鄉，而古希臘時期的三大幾何難題困擾了數學研究者們兩千多年，之后才逐步得以解決.古希臘三大著名幾何問題是：（1）化圓為方，即作一個與給定的圓面積相等的正方形；（2）倍立方體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍；（3）三等分角，即分任意角為三等分[1].三大幾何問題的起源涉及一些古老的傳說，如由埃拉托塞尼記載的兩個關于倍立方體問題的神話故事，一是神話中的米諾斯王命令將其墳墓擴大一倍；二是瘟疫襲擊提洛島，一個先知者說必須將立方體的祭壇的體積加倍，瘟疫方可停息[11].這類問題當時就引起了眾多數學愛好者的關注，他們對這類問題的研究幾乎風靡一時.解決三大幾何問題的難點在于古希臘人限制了作圖工具，而古希臘人要求幾何作圖只能使用沒有刻度的直尺和圓規（稱為尺規作圖法），致使這三大幾何問題看似簡單，而實際操作起來卻很難，令數學家們百思不得其解.這三個看起來不復雜的幾何作圖問題困擾了數學家們一千多年，而一代代數學家貢獻力無限時間與精力，都沒有找到正確的方法.許多古希臘學者都為解決這三個問題作了大量的工作，如今看來，盡管他們最終沒能解決這三大幾何問題，但他們在試圖解決這三個問題的過程中的探究引出了許多重要的發現，這些發現對整個希臘數學的意義深遠.有些人在解決問題的過程中善于變通，富有技巧的添加了一些條件，例如阿基米德在直尺上固定標出兩個點，從而解決了三等分角的問題.此外，數學家們在這些基礎上摸索并且由此發現了一些從未出現過的新問題，還得出了一些新的數學理論.例如，柏拉圖的學生梅內勞斯為了解決倍立方體問題發現了圓錐曲線；在三等分任意角的求解過程中，對高等幾何有了新發現，如尼科梅德斯的蚌線、阿基米德的螺線等.解析幾何是一直到1637年才被法國數學家笛卡爾所創立的，其中，運用了代數方法來研究幾何問題，這為解決這三大幾何難題提供了新的轉機.其中，笛卡爾在1637年首次提出尺規作圖無法解決立方倍積問題.解析幾何誕生后，代數方程與幾何曲線的聯系就更為緊密，這促使人們對尺規作圖問題的可能性有了更加深入的認識，由此得出：一個幾何量能否僅用直尺、圓規作出，等同于它是否可以通過已知量經過有限次基本的四則運算以及開方來獲得.直到解析幾何創立之后的19世紀，三大幾何作圖問題才得以真正解決.1837年，法國的旺澤爾經過努力，用方程的形式證明了倍立方體和三等分角問題只用尺規作圖是無法實現的.1882年，德國數學家林德曼證明了的超越性，從而證實了利用尺規化圓為方同樣不可實現.至此，古希臘三大幾何問題才得以全部解決.事實上，三大幾何問題的解決過程中存在著解析幾何的影子，可見，解析幾何在三大作圖問題中的作用是不可替代的.3.4數形結合使圓錐曲線的研究有了新進展關于圓錐曲線的起源，古希臘幾何學家梅內勞斯認為，提出圓錐曲線是為了解決三大幾何問題中的“倍立方體”問題.圓錐曲線的出現掀起了一陣古希臘數學家們的研究熱潮，而他們的研究為圓錐曲線的發展積累了大量的素材.其中，對圓錐曲線的研究作出最大貢獻的則是阿波羅尼奧斯，一直到晚年時期，他才在自己研究成果的基礎上，思考并總結了前人在圓錐曲線上的研究成果，撰成了《圓錐曲線論》.《圓錐曲線論》是學習或研究圓錐曲線的必讀經典，它是古希臘幾何的象征，但這本書晦澀難懂，阻礙了希臘數學的發展.自此以后很長時間，圓錐曲線的研究再也無法達到古希臘時期那樣的盛況，希臘幾何也再沒有實質性的進步.17世紀初期，費馬和笛卡爾創立了解析幾何，圓錐曲線的研究從此進入新紀元[12].在這一時期，數學家們運用解析的方法從代數的層面，探討圓錐曲線的各種性質，與此同時，大量有關圓錐曲線的著作紛紛涌現，其中一部分成為了當時奉為經典的教材，其中對橢圓定義的方式多種多樣，對其方程的推導即便是對現在也有極大的影響.1655年，英國數學家、物理學家沃利斯為了解釋阿波羅尼奧斯的結論，他在撰寫的《論圓錐曲線》一書中將幾何條件轉化為代數條件，首次得到了圓錐曲線的解析方程.顯然，解析幾何的引入，巧妙的將晦澀難懂的圓錐曲線問題轉化得易懂，同時，也促使圓錐曲線的研究有了新進展.19世紀以來，解析幾何的內容發展得尤為豐富，就圓錐曲線來看，不僅理論發展上達到了極高點，在實際中也有其必不可少的妙用[12].4總結所謂數形結合，就是把問題中的“數”和能與之相聯系的“形”相互結合，從而簡化問題結果，達到解決問題的目的，或者說是把“數”或“形”轉化為研究者或大眾更能理解的形式，讓復雜、抽象的內容轉化成直觀、形象的內容.作為中學數學中必不可少的簡化思想，數形結合思想在數學教學中的地位顯而易見.首先，在數學概念定理的教學中，數形結合有著優越性，學生要實實在在地弄懂數學必須從了解數學的概念定理開始，而數形結合正好可以作為梳理概念定理的工具，簡化抽象難懂的文字描述.有時候在數學概念的教學中，如果有概論定理的幾何意義作為輔助，那么學生就更能抓住概念定理的本質.因此，教師在教學中用好數形結合思想對學生數學思維的培養有著不可小覷的巨大力量.其次，數形結合對微積分有著重要作用.解析幾何的創立為利用數形結合思想研究微積分打下了基礎