2024-2025學年安徽省黃山市徽州中學普通高中高三第一次診斷性測試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．72．復數的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函數（，）的一個零點是，函數圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數的單調遞增區間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）4．在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種5．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．6．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．7．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數t的值為（）A． B． C． D．8．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員?面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4329．過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線：的左、右兩個焦點分別為，，若存在點滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．511．已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數有如下結論：①在上單調遞減；②函數至少存在一個零點；③的最大值為；④若函數和圖象關于原點對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④12．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為____________.14．如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.15．已知△的三個內角為，，，且，，成等差數列，則的最小值為__________，最大值為___________.16．如圖所示，點，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現恰有三個團購網站在市開展了團購業務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）將頻率視為概率，現從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數為，試求事件“”的概率.18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的正整數存在，求的值；若不存在，說明理由.設正數等比數列的前項和為，是等差數列，__________，，，，是否存在正整數，使得成立？19．（12分）如圖：在中，，，.（1）求角；（2）設為的中點，求中線的長.20．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的值域；（2），，求實數的取值范圍.21．（12分）[選修4-5：不等式選講]設函數.（1）求不等式的解集；（2）已知關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.22．（10分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大小；（2）求函數的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==本題考查了向量的數量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量．2．C【解析】所對應的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.3．B【解析】

根據函數的一個零點是，得出，再根據是對稱軸，得出，求出的最小值與對應的，寫出即可求出其單調增區間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調遞增區間是（）.故選：B此題考查三角函數的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數值為零，屬于較易題目.4．C【解析】

根據題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理問題，屬于基礎題．5．D【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.6．B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．7．C【解析】

設，求，作為的函數，其最小值是6，利用導數知識求的最小值．【詳解】設，則，記，，易知是增函數，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．本題考查導數的應用，考查用導數求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．8．C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數為．故選：C．本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．9．C【解析】

聯立方程解得M(3，)，根據MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長為4的等邊三角形，計算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為故選：C.本題考查了直線和拋物線的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力.10．B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉化為a,b,c的關系式.11．C【解析】

分四類情況進行討論，然后畫出相對應的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當時，，此時不存在圖象；（2）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（3）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（4）當時，，此時為圓心在原點，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對于①，在上單調遞減，所以①正確；對于②，函數與的圖象沒有交點，即沒有零點，所以②錯誤；對于③，由函數圖象的對稱性可知③錯誤；對于④，函數和圖象關于原點對稱，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數的圖象與性質，函數的零點概念，考查了數形結合的數學思想.12．C【解析】

設，根據題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，，是單位向量，,，，聯立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.本題考查向量的模、夾角計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據漸近線得到，，計算得到離心率.【詳解】，一條漸近線方程為：，故，，.故答案為：.本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學生的計算能力.14．【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15．【解析】

根據正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范圍，然后構造函數，利用導數，研究函數性質，可得結果.【詳解】由，，成等差數列所以所以又化簡可得當且僅當時，取等號又，所以令，則當，即時，當，即時，則在遞增，在遞減所以由，所以所以的最小值為最大值為故答案為：，本題考查等差數列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導數的綜合應用，難點在于根據余弦定理以及不等式求出，考驗分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.16．【解析】

設出兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得的坐標.【詳解】設，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故答案為：本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數學期望公式進行求解；（2）借助題設條件運用貝努力公式進行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網站的數量相等為事件，則，所以他們加入團購網站的數量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調查的50家商家中加入了兩個團購網站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網站的商家，他同時加入了兩個團購網站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.18．見解析【解析】

根據等差數列性質及、，可求得等差數列的通項公式，由即可求得的值；根據等式，變形可得，分別討論取①②③中的一個，結合等比數列通項公式代入化簡，檢驗是否存在正整數的值即可.【詳解】∵在等差數列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數，使得成立，即成立，設正數等比數列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當時，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無正整數解，∴不存在正整數使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當時，滿足成立.本題考查了等差數列通項公式的求法，等比數列通項公式及前n項和公式的應用，遞推公式的簡單應用，補充條件后求參數的值，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）通過求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根據求出的值，由正弦定理求出邊，最后在中由余弦定理即可得結果.【詳解】（1）∵，∴.由正弦定理，即.得，∵，∴為鈍角，為銳角，故.（2）∵，∴.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，∴.本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，考查三角函數知識的運用，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）將代入函數的解析式，將函數的及解析式變形為分段函數，利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；（2）由參變量分離法得出在區間內有解，分和討論，求得函數的最大值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.當時，；當時，.函數的值域為；（2）不等式等價于，即在區間內有解當時，，此時，，則；當時，，函數在區間上單調遞增，當時，，則.綜上，實數的取值范圍是.本題主要考查含絕對值函數的值域與含絕對值不等式有解的問題，利用絕對值的應用將函數轉化為二次函數，結合二次函數的性質是解決本題的關鍵，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.21．(1)(2)【解析】

（1）零點分段去絕對值解不等式即可（2）由題在上有解，去絕對值分離變量a即可.【詳解】（1）不等式，即等價于或或解得，所以原不等式的解集為；（2）當時，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．