平面向量與復(fù)數(shù)第五章第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算(本講對(duì)應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P132)課標(biāo)要求考情概覽1.通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.4.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個(gè)平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來(lái)看，本講一般不直接考查.預(yù)測(cè)本年度高考中，平面向量的線性運(yùn)算是考查的熱點(diǎn)，常以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔試題.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏0302重難突破

能力提升配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有

又有

的量

平面向量是自由向量長(zhǎng)度(模)向量的

叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)

零向量長(zhǎng)度為

的向量；其方向是任意的

記作

單位向量長(zhǎng)度等于

的向量

平行向量方向

或

的非零向量(又叫做共線向量)

0與任一向量

或共線

大小

方向

大小

001個(gè)單位

相同

相反

平行

名稱定義備注相等向量長(zhǎng)度

且方向

的向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度

且方向

的向量

0的相反向量為0相等

相同

相等

相反

2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝

；

(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

b＋aa＋(b＋c)向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝

；

(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝

(1)λ(μa)＝

；

(2)(λ＋μ)a＝

；

(3)λ(a＋b)＝

|λ||a|相同

相反

0(λμ)a

λa＋μaλa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得

.

b＝λa【特別提醒】

解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

C

B3.(易錯(cuò)題)對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A4.(2023年江蘇四市模擬)平面內(nèi)三個(gè)單位向量a，b，c滿足a＋2b＋3c＝0，則(

)A.a，b方向相同

B.a，c方向相同C.b，c方向相同

D.a，b，c兩兩互不共線A

有關(guān)平面向量概念的注意點(diǎn)：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆.(4)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小.(5)表示兩平行向量的有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.重難突破能力提升2平面向量的有關(guān)概念

(1)(2022年濰坊期末)下列命題正確的是(

)A.若向量a∥b，b∥c，則a∥cB.模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C.方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量D.若向量a＝(－3，－6)，則a分別在x軸、y軸上的投影的數(shù)量之和為－9D

ACD【解析】(1)對(duì)于A，若a與c不共線，b＝0，滿足a∥b，b∥c，則得不出a∥c，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，模相等方向相反時(shí)，這兩個(gè)向量不相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方向相反的兩個(gè)向量共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，a＝(－3，－6)在x軸上的投影為－3，在y軸上的投影為－6，D正確.故選D.

【解題技巧】理解向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度；(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等；(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向量平行.【變式精練】1.(1)設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0B.1C.2D.3(2)(2022年天津月考)(多選)下列說(shuō)法正確的有(

)A.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量B.任意兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.若a＝d，d＝c，則a＝cCDD【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題.(2)對(duì)于A，兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，不一定是平行向量，若它們的起點(diǎn)不同，即不為平行向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，任意兩個(gè)相等的非零向量共線時(shí)，它們的始點(diǎn)與終點(diǎn)可能是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或都在一條直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，否則a與b中有一個(gè)為零向量，則a與b共線，故C正確；對(duì)于D，長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量具有傳遞性，故D正確.故選CD.平面向量的線性運(yùn)算示通法向量線性運(yùn)算的解題策略：(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解.考向1向量加、減運(yùn)算的幾何意義

A

考向2向量的線性運(yùn)算

A

考向3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

A

【解題技巧】1.用幾個(gè)基本向量表示