第四章

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末復(fù)習(xí)課內(nèi)容索引知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)突破真題體驗(yàn)1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點(diǎn)突破PARTTWO一、指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算主要考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式等，會(huì)利用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明.2.掌握基本運(yùn)算性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例1化簡(jiǎn)并計(jì)算(式中字母均為正數(shù)).(1)(－

)÷( )；解原式＝

··÷

＝

···＝

＝4x·.(2)＋

－

＋lg4＋2lg5＋log49·log34.解原式＝

＋|π－4|－32·＋lg4＋lg25＋2log43·log34反思感悟指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡(jiǎn)順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化，前后要等價(jià)，熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式，換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算：二、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用有兩個(gè)方面：一是已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象，即“知式求圖”；二是判斷方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，通常不具體解方程，而是轉(zhuǎn)化為判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.2.掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的作法以及簡(jiǎn)單的圖象平移翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).√解析函數(shù)g(x)的定義域是(－∞，0)，排除A，B，若0<a<1，則f(x)＝ax是減函數(shù)，若a>1，則f(x)＝ax是增函數(shù)，反思感悟指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象既是直接考查的對(duì)象，又是數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)、最值、解不等式的工具，所以要能熟練畫(huà)出這兩類函數(shù)圖象，并會(huì)進(jìn)行平移、對(duì)稱、翻折等變換.跟蹤訓(xùn)練2

對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是√解析若0<a<1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，若a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因此B項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng)A滿足.三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.以函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算考查函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及利用性質(zhì)進(jìn)行大小比較、方程和不等式求解等.在解含對(duì)數(shù)式的方程或解不等式時(shí)，不能忘記對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0，以免出現(xiàn)增根或擴(kuò)大范圍.2.掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).例3

(1)設(shè)a＝log2π，b＝

，c＝π－2，則A.a>b>c B.b>a>c

C.a>c>b D.c>b>a√解析∵a＝log2π>log22＝1，b＝

<＝0，(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1.①求a的值；解因?yàn)閘oga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上為增函數(shù).又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.令t＝log3x，因?yàn)?≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.反思感悟要熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).方程、不等式的求解可利用單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)含參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要注意變量本身的取值范圍，以免出現(xiàn)增根；大小比較問(wèn)題可直接利用單調(diào)性和中間值解決.√解析因?yàn)?<x<y<1，則對(duì)于A，函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，故3x<3y，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，根據(jù)底數(shù)a對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的影響：當(dāng)0<a<1時(shí)，在x∈(1，＋∞)上“底小圖高”.因?yàn)?<x<y<1，所以logx3>logy3，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故log4x<log4y，C正確.四、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根1.函數(shù)的零點(diǎn)主要考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及零點(diǎn)所在區(qū)間，主要利用了轉(zhuǎn)化思想，把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與x軸交點(diǎn)以及兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題.2.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理及轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).例4

(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x＋2x－3，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋2x－3，所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，f(2)＝log22＋22－3＝2>0，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間(1,2)內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn).√√若函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為ex＋a＝0在x≤0上有一個(gè)實(shí)根，即y＝－a與y＝ex在x≤0上有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閤≤0時(shí)，ex∈(0,1]；又y＝－a與y＝ex在x≤0上有一個(gè)交點(diǎn)，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.反思感悟(1)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有兩個(gè)基本方法：利用圖象研究與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.√由函數(shù)解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0，(2)設(shè)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程2x－2[x]－1＝0的根有A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)√解析方程2x－2[x]－1＝0根的個(gè)數(shù)等價(jià)于y＝2x－1與y＝2[x]的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程2x－2[x]－1＝0有3個(gè)根.在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：3真題體驗(yàn)PARTTHREE1.(2019·全國(guó)Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.b<c<a12345√解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.2.(2019·全國(guó)Ⅱ)若a>b，則A.ln(a－b)>0 B.3a<3bC.a3－b3>0 D.|a|>|b|12345√解析由函數(shù)y＝lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a－b<1時(shí)，ln(a－b)<0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3>0，故C正確；當(dāng)b<a<0時(shí)，|a|<|b|，故D不正確.3.(2019·全國(guó)Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則23451√23451解析根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可知，因?yàn)?<<<20<log34，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，23451√2345123455.(2019·北京)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝

，其中星