2024-2025學(xué)年吉林省長春市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率為（

）A． B．2 C．?2 D．2．若點(diǎn)到直線l：的距離為，則（

）A．5 B． C．5或 D．或153．已知空間向量，，且，則（

）A． B．?8 C．2 D．4．已知直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．在空間四邊形OABC中，，，，且，，則（

）A． B．C． D．6．空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．7．在如圖所示的多面體中，平面，平面平面，且，，則異面直線BP與CQ所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知二面角的棱l上有A，B兩點(diǎn)，直線BD，AC分別在平面α，β內(nèi)，且它們都垂直于l．若，，，，則平面與的夾角為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線l過點(diǎn)，，則（

）A．直線l的傾斜角為150°B．直線l的兩點(diǎn)式方程為C．直線l的一個方向向量為D．直線l的截距式方程為10．對于直線l：，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線l恒過點(diǎn)B．當(dāng)時，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為C．若直線l不經(jīng)過第二象限，則D．坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為11．已知正三棱柱的所有棱長都為2，P是空間中的一動點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則的最小值為2B．若，則三棱錐P-ABC的體積為定值C．若，則直線AP與平面ABC所成角的正弦值的最大值為D．若，則平面PBC截三棱柱所得的截面面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線l垂直于直線，且過點(diǎn)，則直線l的傾斜角為，在x軸上的截距為．13．已知向量，，，當(dāng)時，向量在向量上的投影向量為．（用坐標(biāo)表示）14．已知點(diǎn)，直線：，為直線上一動點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，直線．(1)若，求，之間的距離；(2)若，求，及軸圍成的三角形的面積．16．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是線段，EC，的中點(diǎn).設(shè)，，.

(1)用基底表示向量.(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，請說明理由.17．在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．

(1)證明：平面平面．(2)求直線DF與平面BEF所成角的大?。?8．已知的頂點(diǎn)，，直線l：過定點(diǎn)．(1)若是的重心，求三邊所在直線的方程；(2)若，且，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．19．如圖，平面，，，，，．

(1)證明：平面．(2)若三棱錐的體積為1，求平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值．

參考答案1．【答案】A【詳解】直線的斜率為．故選：A.2．【答案】C【詳解】由題意可得：點(diǎn)P到直線l的距離，解得或．故選：C.3．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，解得．故選：C.4．【答案】D【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為α，則．因?yàn)椋?，所以．故選：D5．【答案】B【詳解】．故選：B.6．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以直線EF的一個單位方向向量為．因?yàn)?，所以點(diǎn)P到直線EF的距離為．故選：A7．【答案】A【詳解】如圖，將該多面體補(bǔ)成底面邊長為2，高為2的正三棱柱，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以．故選：A8．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)椋?，，，，，所以，所以．因?yàn)?，所以，故平面與夾角為60°．

故選：B.9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，，所以直線l的斜率為，傾斜角為150°，故A正確，C不正確；直線l的兩點(diǎn)式方程為，整理易得截距式方程為，所以B，D正確．故選：ABD.10．【答案】ABD【詳解】可變形為，由得所以直線l恒過點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時，直線l在x，y軸上的截距分別為1，1，所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故B正確；當(dāng)時，直線l的方程為，直線l也不經(jīng)過第二象限，故C不正確；因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為，故D正確．故選：ABD11．【答案】BCD【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，B（0，1，0），，，．因?yàn)?，所以，所以，所以．?dāng)，時，，所以A錯誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍭BC的法向量為，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為為定值，即三棱錐P-ABC的體積為定值，所以B正確；因?yàn)?，平面ABC的一個法向量為，設(shè)AP與平面ABC所成的角為θ，所以，，當(dāng)時，，所以C正確；因?yàn)椋裕蓤D可知平面PBC截三棱柱所得的截面為，，所以D正確．

故選：BCD.12．【答案】【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線l的斜率為，所以直線l的傾斜角為．因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以直線l的方程為，令得出,故直線l在x軸上的截距為．故答案為：2π3；.13．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以在上的投影向量為．故答案為?4．【答案】【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則解得，即．因?yàn)?，所以的最小值為．故答案為?5．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時，，，，重合；當(dāng)時，，，符合題意．故，則，之間的距離為．（2）因?yàn)?，所以，解得．，的方程分別為，．聯(lián)立方程組，得．因?yàn)?，與軸的交點(diǎn)分別為，，所以，及軸圍成的三角形的面積為．16．【答案】(1)(2)不存在一點(diǎn)G，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．?）假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)G，使得，設(shè)．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，化簡得，得，所以棱BC上不存在一點(diǎn)G，使得.17．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以AB，AC，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面BEF的法向量為，因?yàn)?，，所以，解得，令，得，故．設(shè)平面DEF的法向量為，因?yàn)?，，所以令，得．因?yàn)?，所以，所以平面平面?/p>

（2）設(shè)直線DF與平面BEF所成的角為，由（1）知，平面BEF的一個法向量為，則，所以，即直線DF與平面BEF所成的角為．18．【答案】(1)，，(2)或【詳解】（1）將l：整理得，由，得，所以，設(shè)，因?yàn)槭堑闹匦模裕獾?，所以，故所在直線的方程為，整理得，所在直線的方程為，整理得，所在直線的方程為，整理得；（2）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，又，所以點(diǎn)C到直線的距離為，因?yàn)椋渣c(diǎn)C在的垂直平分線上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，則的垂直平分線的方程為，即，所以，解得或，所以或．19．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，，所以兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，因?yàn)槠矫鍭DE的一個法向量為，，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>

（2）解：設(shè)為平面BDE的法向量，點(diǎn)F到平面BDE的距離為h，因，，所以令，得．因?yàn)?，解得：，所以，即點(diǎn)F到平面BDE的距離為2，所以，所以，即．設(shè)平面BDF的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，得．因?yàn)?，所以平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值為．2024-2025學(xué)年吉林省長春市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，且，則實(shí)數(shù)x的值是（

）A． B． C． D．2．已知直線，若，則實(shí)數(shù)（

）A．或 B． C．或 D．3．在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線4．若直線5x＋4y＝2m＋1與直線2x＋3y＝m的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．(－∞，2) B．C．(－∞，－3) D．5．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．6．如圖，長方體中，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．7．2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為58．如圖，在正方體中，為棱上的一個動點(diǎn)，為棱上的一個動點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．直線過，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角有可能是（

）A． B． C． D．10．如圖，在平行六面體中，設(shè)，若為與的交點(diǎn)，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．11．已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在上，且；點(diǎn)在上，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段是異面直線與的公垂線段B．異面直線與的距離為C．點(diǎn)到直線的距離為D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)M(0，－1)，點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，則N點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為.14．在棱長為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個公共點(diǎn)，設(shè)，則.四、解答題（本大題共5小題）15．根據(jù)下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式.(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)在軸和軸上的截距分別是和；(3)經(jīng)過點(diǎn)，且一個方向向量為.16．如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時直線的方程．18．已知直線：，.(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，是正三角形，平面，為的中點(diǎn)，，，分別是，，上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求平面與平面所成銳二面角的大小;(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為?若存在，求線段的長度；若不存在，請說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€平面，直線l的方向向量為，平面的法向量為，所以，又，所以，所以.故選：C.2．【答案】C【詳解】因?yàn)榍宜越獾茫夯蚬蔬x：C3．【答案】B【詳解】因?yàn)闉榛?，所以非零向量不在同一平面?nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以A、C、D選項(xiàng)說法正確，B錯誤．故選：B4．【答案】D【詳解】聯(lián)立，解得，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以，解得，故選：D5．【答案】B【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時，,故B不正確，當(dāng)時，或，由圖象知AC正確.故選：B6．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，然后利用空間向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖所以所以異面直線與所成角的余弦值故選：A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值，利用向量的方法，便于計算，將幾何問題代數(shù)化，屬基礎(chǔ)題.7．【答案】B【詳解】如圖所示：由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，則，解得，即，對于A，直線的斜率為，所以將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；對于B，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯誤；對于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯誤.故選：B.8．【答案】A【詳解】設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，又底面的一個法向量為，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，，則，，則，則當(dāng)時，分母取到最小值，此時，當(dāng)，時，則，此時，綜上，故選：A.9．【答案】AD【詳解】設(shè)的傾斜角分別為，直線的斜率，，又，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：AD.10．【答案】BD【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確；故選：BD11．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法依次求解判斷.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，，，，，.對于A，，，，，，即，，所以線段是異面直線與的公垂線段，故A正確；對于B，由正方體可得異面直線與的公垂線的方向向量為，又，所以異面直線與的距離為.故B錯誤；對于C，，，所以在方向的投影向量的模為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故C正確；對于D，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間中的距離問題.解題思路是建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，異面直線距離公式，點(diǎn)到面的距離公式，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.12．【答案】(2,3)【詳解】由點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴．又直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，∴，解得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．故答案為13．【答案】【詳解】由，得，得，所以：，即，又：，所以與間的距離.故答案為：14．【答案】/1.2【詳解】如圖所示，正方體中，，，，A，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，，解得，；．故答案為：15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為，化簡可得；（2）解：根據(jù)截距式可得：，化簡可得；（3）解：由直線的方向向量為可得直線的斜率，所以所求直線方程為即.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，底面，所以，，兩兩相互垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A0,0,0，，，，，，，，，則，，設(shè)平面的一