第頁2025年高考數學總復習《外接球、內切球與棱切球問題》專項測試卷及答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1、補成長方體（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示圖1圖2圖3圖41．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為A． B． C． D．2．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．3．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為A． B． C． D．5．（2021?甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．6．（2023?甲卷）在正方體中，，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．7．（2023?甲卷）在正方體中，，分別為，的中點，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為．8．（2020?新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為．考點一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．例1．（2023·四川·高三統考學業考試）若球的表面積為，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（

）A．256 B．64 C．27 D．8例2．（2023·四川巴中·統考一模）已知長方體的表面積為22，過一個頂點的三條棱長之和為6，則該長方體外接球的表面積為.例3．（2023·重慶渝北·高三重慶市南華中學校校考階段練習）在長方體中，，，，則長方體外接球的表面積為．考點二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．例4．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長為（

）A． B． C． D．例5．（2023·天津北辰·統考三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．6例6．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．考點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．例7．（2023·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．例8．（2023·廣東揭陽·高三校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．例9．（2023?五華區校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為A． B． C． D．考點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例10．（2023·湖南·高三校聯考階段練習）在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．例11．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π例12．（2023·陜西咸陽·統考一模）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（

）．A．4 B．3 C． D．例13．（2023·廣東·統考一模）如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．考點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．例14．（2023·江西萍鄉·高三統考期末）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．例15．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．例16．（2023·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．考點六：正棱錐與側棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．例17．（2023·重慶·高三重慶八中校考期末）已知球O為三棱錐S﹣ABC的外接球，，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏東中學校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為例20．（2023·河南·模擬預測）已知正四棱錐的底面邊長為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為．考點七：側棱為外接球直徑模型找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．例21．（2023·江蘇南通·高三海安市曲塘中學校考期末）在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點P到底面ABC的距離為（

）A． B． C． D．例22．（2023?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．例23．（2023?防城港模擬）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為A． B． C． D．考點八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．例24．（2023·四川德陽·統考模擬預測）已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（

）A． B． C． D．不確定的實數例25．（2023·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例26．（2023·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．考點九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2例27．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（

）A． B． C． D．例28．（2023·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（

）A． B． C． D．例29．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．考點十：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．例30．（2023·安徽·蕪湖一中校聯考模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．例31．（2023·廣東·統考模擬預測）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．例32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．考點十一：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．例33．（2023·廣東陽江·高三陽春市第一中學階段練習）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為．例34．（2023·浙江·高三校聯考階段練習）空間直角坐標系中，則四面體ABCD外接球體積是（）A． B． C． D．例35．（2023·安徽·高三校聯考階段練習）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）

A． B． C． D．例36．（2023·浙江金華·模擬預測）三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．考點十二：圓錐圓柱圓臺模型1、球內接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．例37．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（

）

A．64 B． C． D．例38．（2023·全國·高三專題練習）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（

）A． B． C． D．例39．（2023·全國·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例40．（2023·全國·高三專題練習）如圖，半徑為4的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．考點十三：錐體內切球等體積法，即例41．（2023·浙江溫州·統考一模）與圓臺的上、下底面及側面都相切的球，稱為圓臺的內切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內切球的體積為.例42．（2023·湖南郴州·統考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側面都相切，則球的表面積為.例43．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為.例44．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球表面積為．

考點十四：棱切球找切點，找球心，構造直角三角形例45．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（

）A．9 B． C． D．例46．（2023·江西宜春·高三奉新縣第一中學校考階段練習）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是．例47．（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知三棱錐的棱長均為，則與其各條棱都相切的球的體積為.參考答案1．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為，底面的四個頂點均在球的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為A． B． C． D．【答案】【解析】對于圓內接四邊形，如圖所示，，當且僅當，為圓的直徑，且時，等號成立，此時四邊形為正方形，當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，該四棱錐的高，該四棱錐的體積，當且僅當，即時，等號成立，該四棱錐的體積最大時，其高，故選：．2．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【答案】【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設球的半徑為，則軸截面中由幾何知識可得，解得，該球的表面積為．當球心在臺體內時，如圖，此時，無解．綜上，該球的表面積為．故選：．3．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點都在同一球面上，連接與交于點，連接，則球心在直線上，連接，設正四棱錐的底面邊長為，高為，在中，，即，球的體積為，球的半徑，在中，，即，，，，又，，該正四棱錐體積，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，（4），又，，且，，即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．4．（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設球的半徑為，由題意，，可得，則球的直徑為4，兩個圓錐的高之比為，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．這兩個圓錐的體積之和為．故選：．5．（2021?甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．【答案】【解析】因為，，所以底面為等腰直角三角形，所以所在的截面圓的圓心為斜邊的中點，所以平面，在中，，則，在中，，故三棱錐的體積為．故選：．6．（2023?甲卷）在正方體中，，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是．【答案】，．【解析】設球的半徑為，當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，，故，分別取側枝，，，的中點，，，，則四邊形是邊長為4的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑最小，即的最小值為，綜上，球的半徑的取值范圍是，．故答案為：，．7．（2023?甲卷）在正方體中，，分別為，的中點，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為．【答案】12．【解析】在正方體中，，分別為，的中點，設正方體中棱長為2，中點為，取，中點，，側面的中心為，連接，，，，，如圖，由題意得為球心，在正方體中，，，則球心到的距離為，球與棱相切，球面與棱只有一個交點，同理，根據正方體的對稱性可知，其余各棱和球面也只有一個交點，以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為12．故答案為：12．8．（2020?新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為．【答案】【解析】因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設該內切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，故答案為：．考點一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．例1．（2023·四川·高三統考學業考試）若球的表面積為，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（

）A．256 B．64 C．27 D．8【答案】B【解析】因為球的表面積為，所以，解得，設正方體的棱長為，因為正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，所以，即，所以.故選：B例2．（2023·四川巴中·統考一模）已知長方體的表面積為22，過一個頂點的三條棱長之和為6，則該長方體外接球的表面積為.【答案】【解析】令長方體的長、寬、高分別為，則，由，則，而長方體外接球半徑，故，其表面積.故答案為：例3．（2023·重慶渝北·高三重慶市南華中學校校考階段練習）在長方體中，，，，則長方體外接球的表面積為．【答案】【解析】由題意，根據長方體外接球的性質，可得，，該長方體的外接球的表面積.故答案為：.考點二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．例4．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設外接球半徑為，則，解得，將正四面體放入正方體中，設正方體邊長為，如圖所示：則，，正四面體的棱長為.故選：C.例5．（2023·天津北辰·統考三模）中國雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當繁復，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉動，是中國玉雕工藝的一個重大突破.今一雕刻大師在棱長為12的整塊正方體玉石內部套雕出一個可以任意轉動的球，在球內部又套雕出一個正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），若不計各層厚度和損失，則最內層正四面體的棱長最長為（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】由題意，球是正方體的內切球，且該球為正四面體的外接球時，四面體的棱長最大，則該球半徑，如圖：可知為外接球球心，，平面，為底面等邊的中心，設正四面體的棱長為，則，，在中，則，即，解得，即．故選：A例6．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，是正四面體的高，是外接球球心，設外接球半徑為，∵正四面體棱長為，∴，，，，由得，解得，∴．故選：D．考點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．例7．（2023·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，此四面體可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.例8．（2023·廣東揭陽·高三校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．故選：A．例9．（2023?五華區校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為A． B． C． D．【解析】解：因為鞠表面上的四個點，，，滿足，，，所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，則該長方體的體對角線就是鞠的直徑，設該長方體的長、寬、高分別為，，，鞠的半徑為，則，由題意得，，，所以，即，所以該鞠的表面積為，故選：．考點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例10．（2023·湖南·高三校聯考階段練習）在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設直三棱柱的高為，外接球的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又，令，則，易知的最小值為，此時，所以該三棱柱外接球表面積的最小值為.故選：A.例11．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【解析】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，則，所以，則，外接圓的半徑為，所以棱柱外接球的半徑為，令，則，則，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.例12．（2023·陜西咸陽·統考一模）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（

）．A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】由題意將直三棱柱補成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，利用直三棱柱的外接球表面積為，可求出外接球的半徑，從而可求得直三棱柱的高因為，所以將直三棱柱補成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，設球的半徑為，則，解得，設直三棱柱的高為，則，即，解得，所以直三棱柱的高為，故選：D例13．（2023·廣東·統考一模）如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，其外接圓的半徑滿足，所以．由得．由球的性質可知，球心到底面的距離為，結合球和直三棱柱的對稱性可知，，故選D．考點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．例14．（2023·江西萍鄉·高三統考期末）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補形為以AD，DC，BD為三條棱的長方體，如圖所示，三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設外接球的半徑為R，則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C．例15．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】四邊形為邊長為的正方形，四邊形的外接圓半徑，又平面，，四棱錐的外接球半徑，四棱錐的外接球表面積.故選：D.例16．（2023·河南開封·統考三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．設，則，，，所以當時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，所以．故選：A考點六：正棱錐與側棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．例17．（2023·重慶·高三重慶八中校考期末）已知球O為三棱錐S﹣ABC的外接球，，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取SC中點M，連接AM、MB，因為△SAC是等邊三角形，且SB＝BC，∴AM⊥SC，MB⊥SC，∴SC⊥平面AMB，∴球心O在平面AMB上，作⊥平面SAC，可得為等邊三角形SAC的中心，所以＝，取AB中點N，連接ON，∴ON⊥AB，∴四點共圓，AO為這四點共圓的直徑，也是三棱錐S?ABC外接球的半徑，連接，在△ABM中：，，∴∠MAB＝90°，∴在直角三角形中，由勾股定理，得＝，∴三棱錐S?ABC外接球的半徑長為AO==，．故選：A．例18．（2023·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．【答案】【解析】如圖設底面的中心為，連接，則球心在直線上，由幾何關系可知，，先將三角形轉化成平面三角形，如圖：因為，由勾股定理可得，設球心為，則在的延長線上，且，則，由勾股定理可得，即，解得，所以球體的表面積．故答案為：．例19．（2023·福建福州·高三福建省福州屏東中學校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為【答案】【解析】如圖，正三棱錐中，設點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設球O的半徑為r，則，，在中，，即，解得，∴球O的表面積為．故答案為：.例20．（2023·河南·模擬預測）已知正四棱錐的底面邊長為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為．【答案】【解析】連接相交于點，連接，則⊥平面，球心在上，連接，則，，因為正四棱錐的底面邊長為，所以，在直角三角形上，由勾股定理得，即，，解得，由，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在取得極小值，也是最小值，此時，又當和時，，所以，則.故答案為：考點七：側棱為外接球直徑模型找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．例21．（2023·江蘇南通·高三海安市曲塘中學校考期末）在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點P到底面ABC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設點P到底面ABC的距離為，點到底面ABC的距離為，則.連接、，則三棱錐是棱長為2的正四面體，取的中點，連接，作，則平面，即，在正中，，在中，，即，即點P到底面ABC的距離為.故選：D.例22．（2023?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：因為是邊長為2的正三角形，所以外接圓的半徑，所以點到平面的距離，為球的直徑，點到平面的距離為，此棱錐的體積為，故選：．例23．（2023?防城港模擬）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：根據題意作出圖形：設球心為，球的半徑．過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面．，，高，是邊長為1的正三角形，，，．則球的表面積為故選：．考點八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．例24．（2023·四川德陽·統考模擬預測）已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把折起，則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于（

）A． B． C． D．不確定的實數【答案】B【解析】設矩形的邊長分別為、，則，所以矩形周長，，，當且僅當時取等號，矩形周長最小時，，，，因為外接球的半徑，外接球表面積．故選：B．例25．（2023·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，則，所以，又因為，，，則，所以，由，，，則，所以，又由，，，則，所以，可得為三棱錐的外接球的直徑，又由，所以此三棱錐的外接球半徑為，所以球的表面積為．故選：C．例26．（2023·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，因為，所以，則，所以O為其外接球的球心，設球的半徑為R，因為，，所以，所以，因為，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的體積為，故選：D考點九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2例27．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，為直角三角形，故在三棱維的外接球的一個切面圓上，為該圓直徑；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面內，又，故為等腰三角形，球心O在BD邊中線所在直線上，點到線段的距離為，設外接球的半徑為，則，解得，則外接球的表面積為.故選：C.例28．（2023·全國·模擬預測）如圖1，平面五邊形，，，，，將沿折起至平面平面，如圖2，若，則四棱錐的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，易得，由題可知四邊形為等腰梯形，過點作，在中，，，由三角函數知，所以，取中點，過點作交于點，連接，，又因為平面平面，所以平面，易求，所以為中點，且外接球球心在平面的垂線上，又因為中，，，所以；同理可得，所以在平面內，，即就是外接球球心，所以半徑，所以四棱錐外接球體積為.故選：A.例29．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設正方形的邊長為，在等邊三角形中，過點作于E，由于平面平面，∴平面．由于是等邊三角形，則，∴，解得．設四棱錐外接球的半徑為，為正方形ABCD中心，為等邊三角形PAB中心，O為四棱錐P－ABCD外接球球心，則易知為矩形，則，，，∴外接球表面積．故選：C．考點十：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．例30．（2023·安徽·蕪湖一中校聯考模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過這兩點分別作平面、平面的垂線，交于點O，則O就是外接球的球心；取中點E，連接，因為，，所以，因為和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半徑為，所以球體積為．故選：C.例31．（2023·廣東·統考模擬預測）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因為為正三角形，所以，連接，為的中點，E為中點，則，所以為二面角的平面角所以．因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，設G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設與交于點H，，所以,，∴．所以，故選：C.例32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B考點十一：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．例33．（2023·廣東陽江·高三陽春市第一中學階段練習）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為．【答案】【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設為的中點，為三棱錐外接球的球心，則為外接圓的圓心，平面，，設，則，所以，化簡得，所以，所以球的半徑.故答案為：.例34．（2023·浙江·高三校聯考階段練習）空間直角坐標系中，則四面體ABCD外接球體積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取，則是長方體，其對角線長為，∴四面體外接球半徑為．，故選：B．例35．（2023·安徽·高三校聯考階段練習）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，則，，，于是，則，∴，四棱錐外接球直徑為，故其表面積為．故選：B.例36．（2023·浙江金華·模擬預測）三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，將三棱錐畫在長方體方體中，并建立空間直角坐標系，由，由面，可知P點在面上，又，面，所以為直角三角形，故，即P點軌跡為以D為圓心，半徑為4，在上的圓，設點，則

—①，因為為等腰直角三角形，所以三棱錐的外接球的球心在直線上，設點，由，得—②，聯立①②得：，設過點和點的直線斜率為，則，由直線與圓相切，可得，則，所以，所以．故選：C考點十二：圓錐圓柱圓臺模型1、球內接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．例37．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（

）

A．64 B． C． D．【答案】B【解析】設外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，三點共線，則是正三棱臺的高，設臺體的高為，設外接球的半徑為，過作，垂足為，根據正棱臺的性質可知，所以平面，平面，所以，設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.在直角三角形中，，所以.當