2024-2025學年河南省周口市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．復數(shù)（

）．A． B． C． D．2．設向量，滿足，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．3．設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則復數(shù)（

）A． B． C． D．4．已知向量，，，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．若直線平面，直線平面，，則（

）A．或與異面 B． C．與異面 D．與相交6．2020年11月5日—11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進口博覽會，其中的“科技生活展區(qū)”設置了各類與人民生活息息相關的科技專區(qū).現(xiàn)從“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務機器人”、“人工智能及軟件技術”五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，則選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術”專區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．7．已知，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．8．的內(nèi)角所對的邊分別為，且，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在正方體中，P為棱上的動點，平面，Q為垂足，則（

）．A．B．平面截正方體所得的截面可能為三角形C．當P位于中點時三棱錐的外接球半徑最大D．線段的長度隨線段的長度增大而增大10．如圖(a)，邊長為2的正方形AP?P?P?中，B，C分別是P?P?，P?P?的中點，AP?交BC于D，現(xiàn)沿AB，AC及BC把這個正方形折成一個四面體，如圖(b)，使P?，P?，P?三點重合，重合后的點記為P，則有（

）

A．平面PAD⊥平面PBCB．四面體P-ABC的體積為C．點P到平面ABC的距離為D．四面體P-ABC的外接球的體積為11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，三條中線相交于點.已知，，的平分線與相交于點，則（

）A．邊上的中線長為B．內(nèi)切圓的面積為C．與面積之比為3:2D．到的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，從下列四個條件中選擇兩個作為已知條件，能夠得到的是.（填入條件的序號即可）①；②；③；④.13．如圖，在四邊形中，設，，，則可用表示為．14．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N，且M是AD的中點，AB＝4，CD＝6，則MN＝________.四、解答題（本大題共5小題）15．化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；16．如圖，有一塊三棱錐形木塊ABCD，其中面ABC內(nèi)有一點P．(1)若要在面ABC內(nèi)過點P畫一條線段EF，其中點E在線段AB上，點F在線段AC上，且滿足EF與AD垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段EF并說明畫法，不必證明．(2)經(jīng)測量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，若P恰為三角形ABC的重心，EF為（1）中所求線段，求三棱錐ADEF的體積．17．如圖，公園有一塊邊長為2的等邊的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．（1）設（），，求用x表示y的函數(shù)關系式；（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請說明理由．18．已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.19．某校組織《反間諜法》知識競賽，將所有學生的成績（單位：分）按照，，…，分成七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這次競賽成績平均數(shù)的估計值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)從競賽成績不低于85分的學生中用分層隨機抽樣的方法抽取12人，再從第六組和第七組被抽到的學生中任選2人做主題演講，求至少有1名第七組的學生做主題演講的概率.

參考答案1．【答案】B【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法、除法的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算法則，可得.故選：B.2．【答案】B【分析】先求出，再根據(jù)已知求出，即得的最小值.【詳解】由題得，因為，所以，因為，所以當時，，所以的最小值為1.故選：B【點睛】本題主要考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3．【答案】A【分析】利用復數(shù)除法、復數(shù)乘法運算求得正確答案.【詳解】.故選：A4．【答案】B【分析】向量垂直的定義及向量的數(shù)量積坐標公式計算即可．【詳解】因為，，，故故選：B5．【答案】B【分析】過作平面交平面于，過作平面交平面于，通過線面平行的性質定理、判定定理、平行公理可以判斷出的位置關系.【詳解】如圖，過作平面交平面于，過作平面交平面于，因為，所以.因為，所以.所以，又，所以，又，所以，所以.故選：B【點睛】本題考查了線面平行的性質定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理論證能力.6．【答案】C【解析】先分別對五個專區(qū)作標記，列舉出總的基本事件，以及滿足“選擇的兩個專區(qū)中包括人工智能及軟件技術專區(qū)”所對應的基本事件，基本事件的個數(shù)比即為所求概率.【詳解】分別記“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務機器人”、“人工智能及軟件技術”五個專區(qū)為、、、、；從這五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共個基本事件；選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術”專區(qū)（即專區(qū)），所對應的基本事件有：，，，，共個基本事件；因此，選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術”專區(qū)的概率是.故選：C.7．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算可得，進而，結合復數(shù)的乘法計算即可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以.故選：B8．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可得，再結合同角商數(shù)關系，平方關系，最后求得.【詳解】由得，又，所以，從而，所以.故選：B9．【答案】ABD【分析】對于A，求證即可判斷；對于B，由等邊即可判斷；對于C，由外接球半徑和（的外接圓半徑為r）即可判斷；對于D，由和隨AP的增大而變小可判斷.【詳解】選項A，連接，CQ，則，，又因為，，所以，故，選項A正確；選項B，當P位于點A時，截面為三角形，選項B正確；選項C，平面DCP，記的外接圓半徑為r，則外接球半徑，由正弦定理得，當P位于AB中點時，，則，，選項C錯誤；選項D，為定值，過P作于點M，過M作，則，如圖，可知隨AP的增大而變小，所以由為定值可知，隨AP的增大而增大，故選項D正確．故選：ABD.10．【答案】ABD【分析】利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理判斷A；利用錐體的體積公式結合等積變換可判斷BC；利用三棱錐的外接球即是以2，??【詳解】對于A，由已知可得AP⊥PB，??AP⊥PC，??則⊥平面，又平面，故平面平面，故A正確；對于B，因為PA，??PB對于C，設到平面ABC的距離為，∵S△ABC=VP?ABC=13×32×?=?2=1對于D，因PA，??PB，??故球的半徑為4+1+12=6故選：ABD．11．【答案】BC【分析】如圖，取邊上的中點，則邊上的中線為，兩邊同時平方結合向量數(shù)量積即可判斷A；設內(nèi)切圓的為，由，求出即可判斷B；由角平分線定理，，可判斷C；到的距離為，求出代入可判斷D.【詳解】如下圖，取邊上的中點，則邊上的中線為，則，，又因為，則，則.故A不正確；因為，設內(nèi)切圓的為，，則，則，內(nèi)切圓的面積為：，故B正確.對于C，由角平分線定理知：，所以C正確；對于D，因為，在三角形和三角形中，，則，解得：，所以，所以，所以，所以到的距離為：，故D不正確.故選：BC.12．【答案】①③（或②④）【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關系對選項一一分析即可得出答案.【詳解】選①②，若，，則可能，不正確；選①③，若，，則，正確；選①④，若，，則可能，不正確；選②③，若，，則可能，不正確；選②④，若，，則，正確；選③④，若，，則可能，不正確；故答案為：①③（或②④）13．【答案】【解析】利用向量的加法與減法法則，在圖形中尋找回路即可得到答案.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查平面向量的加法的幾何意義，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題.14．【答案】5【詳解】因為AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又M是AD的中點，AB∥CD，所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN＝5.15．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.【詳解】（1）；（2）；（3）.16．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）在AD上任取一點Q；過點Q在平面ABD內(nèi)作AD的垂線，交AB于G；過點Q在平面ACD內(nèi)作AD的垂線，交AC于H；連接GH，若GH過點P，則GH就是所求線段EF；若GH不過點P，則過點P作GH的平行線，與AB、AC相交即得線段EF.（2）取BC中點M，連MA、MD，由余弦定理求得，根據(jù)線面垂直的判定證得面MAD，由已知得三棱錐A-DEF的體積為三棱錐A-BCD體積的，根據(jù)棱錐的體積公式可求得答案.【詳解】（1）解：如圖，在AD上任取一點Q；過點Q在平面ABD內(nèi)作AD的垂線，交AB于G；過點Q在平面ACD內(nèi)作AD的垂線，交AC于H；連接GH，若GH過點P，則GH就是所求線段EF；若GH不過點P，則過點P作GH的平行線，與AB、AC相交即得線段EF.（2）解：取BC中點M，連MA、MD，因為P為三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由題意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，所以，所以，，故面MAD，于是，故三棱錐A-DEF的體積為三棱錐A-BCD體積的，由題意得，在中，，所以，所以所以.17．【答案】（1）；（2）DE為AB中線或AC中線，理由見解析．【分析】（1）在中，利用余弦定理有，依題意，即，，由此求得；（2）如果DE是水管，利用基本不等式可求得最小值為，此時，即，且時，DE最短．如果DE是參觀線路，注意到在時值相等，根據(jù)對鉤函數(shù)的性質可知最大值為.【詳解】（1）在中，，即，①又，即，所以，②②代入①得：（），所以（）．（2）如果DE是水管，，當且僅當，即時“=”成立，故，即，且時，最短；如果是參觀線路，記，由對勾函數(shù)的性質可知：函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，所以.即DE為中線或中線時，DE最長．18．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)垂直關系可構造方程求得，由向量模長的坐標運算可求得結果；（2）根據(jù)向量共線的坐標表示可求得的值，根據(jù)夾角為銳角可構造不等式組求得結果.【詳解】（1），，解得：或，當時，，；當時，，；綜上所述：或10（2）若共線，則，解得：或，當時，，，此時同向；當時，，，此時反向；若與的夾角為銳角，則，解得：且，的取值范圍為.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用頻率之和為1，列式求解，利用平均數(shù)的計算公式求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣確定第六組和第七組分別抽取的人數(shù)，利用古典概型的概率公式計算.【詳解】（1），解得，這次競賽成績平均數(shù)的估計值為.（2）不低于85分的三組頻率之比為，用分層隨機抽樣的方法抽取12人，應從第六組和第七組分別抽取4人和2人，設第六組的4人為，，，，第七組的2人為甲、乙，于是從這6人中任選2人的所有情況為：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15種，其中甲、乙至少有1人被選中的有9種，所以至少有1名第七組的學生做主題演講的概率為.2024-2025學年河南省周口市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．已知，則下列說法一定成立的是（

）A． B．C． D．若，則點C在線段上4．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（

）A． B． C． D．5．同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”.則下列說法中正確的是（

）①A與C互斥

②B與D對立

③A與D相互獨立

④B與C相互獨立A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知函數(shù)圖象關于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（

）.A．1 B．2 C．3 D．47．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知是復數(shù)，滿足，，，則（

）A． B．3 C． D．6二、多選題（本大題共3小題）9．設為復數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，且，則z在復平面對應的點在一條直線上10．如圖，函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，且滿足的面積為，則下列結論不正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象對稱中心為，C．的單調增區(qū)間是，D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可以得到函數(shù)的圖象11．如圖：棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱和棱的中點，在棱上移動，則下列命題正確的是（

）①存在點，使垂直于平面；②對于任意點，平行于平面；③直線被球截得的弦長為；④過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為.A．① B．② C．③ D．④三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)在區(qū)間上的值域是．13．若函數(shù)，，則和在的所有公共點的橫坐標的和為.14．在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知，函數(shù)(a＞0)的最大值為4，最小值為0．(1)求a，b的值；(2)若不等式在上有解，求實數(shù)k的取值范圍．16．新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考歷史的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次歷史測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值并估計這100名學生本次歷史測試成績的中位數(shù)．(2)據(jù)調查，本次歷史測試成績不低于60分的學生，高考將選考歷史科目；成績低于60分的學生，高考將不選考歷史科目．按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考歷史科目的概率．17．中，角A，B，C所對的邊分別為.已知.(1)求的值；(2)求的面積.18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，且，，，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點.(1)若平面平面，①求證：；②求三棱錐的體積；(2)若，請作出四棱錐過點，，三點的截面，并求出截面的周長.19．已知平面向量，，且函數(shù).(1)求的值；(2)求函數(shù)的最小正周期；(3)求函數(shù)在上的最大值，并求出取得最大值時的值.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，，為正數(shù)且滿足，所以，當且僅當時等號成立，令，，則，令，，又在上單調遞增，所以當時，取得最小值為，所以的最小值為，當且僅當時取得．故選D．2．【答案】D【分析】先通過簡單的放縮比較和的大小，再通過構造函數(shù),利用圖象特征比較和的大小，由此可得答案.【詳解】，設，，當時，與相交于點和原點時，，即故選D.3．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)不等式可得，即可判斷A，由冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷B，由對數(shù)函數(shù)的值域即可判斷C，由平面向量數(shù)乘的定義即可判斷D【詳解】因為，則，即，所以，故A錯誤；因為在上單調遞減，且，所以，又，所以在單調遞增，所以，所以，故B正確；因為，所以，當時，，當時，，故C錯誤；又，所以，由可得點C在延長線上，故D錯誤；故選B.4．【答案】A【分析】由題可得，是要求解關于對稱軸對稱的兩點與對稱軸的關系問題，需要先求出對稱軸通式，再判斷在符合定義域取值范圍內(nèi)有多少條對稱軸，確定每相鄰兩零點與對稱軸關系，再通過疊加法表示出，結合數(shù)列通項公式求和即可.【詳解】函數(shù)令，可得，即函數(shù)的對稱軸方程為，又的周期為，，令，可得，所以函數(shù)在上有25條對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知，（最后一條對稱軸為函數(shù)的最大值點，應取前一條對應的對稱軸）,將以上各式相加得，故選A.5．【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、獨立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】①：因為兩枚骰子的點數(shù)相同，所以兩枚骰子的點數(shù)之和不能為5，所以A與C互斥，因此本序號說法正確；②：當紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)，藍色骰子的點數(shù)是奇數(shù)時，B與D同時發(fā)生，因此這兩個事件同時發(fā)生，所以本序號說法錯誤；③：，顯然，所以A與D不相互獨立，所以本序號說法錯誤；④：，顯然，所以B與C相互獨立，所以本序號說法正確，故選B.6．【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸可得，從而求出，進而可得，令，解方程即可.【詳解】函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，解得，又因為，所以，所以，令，則，解得，因為，所以，，.即函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為3.故選C【方法點睛】本題考查了余弦函數(shù)的性質以及求函數(shù)的零點個數(shù)，解題的關鍵是掌握余弦函數(shù)的對稱軸.7．【答案】B【分析】根據(jù)，利用正弦定理結合兩角和與差的三角函數(shù)得到，化簡得到，求得，再利用余弦定理結合基本不等式求解.【詳解】在中，有由正弦定理得，又，所以，因為，所以，即，則，即，由余弦定理得，則，當且僅當時，等號成立，所以.故選B.8．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，利用和進行計算即可．【詳解】因為，且，，即，得；同理因為，且，即，得：；聯(lián)立可得：，，．故選D．9．【答案】AD【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義及復數(shù)的乘法運算即可判斷A；根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可判斷B；舉出反例即可判斷C；根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】對于A，設，則，所以，故A正確；對于B，由，得，所以，所以，故B錯誤；對于C，若，則，而，故C錯誤；對于D，因為，設對應的點為，若，則在復平面內(nèi)對應點到和的距離相等，即在復平面內(nèi)對應點在線段的垂直平分線上，所以在復平面對應的點在一條直線上，故D正確.故選AD．10．【答案】ABD【分析】A：根據(jù)面積列式計算求出周期，根據(jù)周期可得；B：利用正切函數(shù)的對稱中心求解；C：利用正切函數(shù)的單調性求解；D：直接平移即可.【詳解】A：當時，，又，所以，得，即函數(shù)的最小正周期為，由得，故A錯誤；B：由選項A可知，令，，解得，，即函數(shù)的對稱中心為，，故B錯誤；C：由，，得，，故C正確；D：將函數(shù)圖象向右平移個長度單位，得函數(shù)的圖象，故D錯誤．故選ABD.11．【答案】ACD【分析】以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設點，其中，利用空間向量法可判斷①；取點與點重合，可判斷②；求出，利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理可判斷③；設點在上的射影為點，過直線的平面為，分析可知，當時，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結合圓的面積公式可判斷④.【詳解】以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，設點，其中，對于①，，，，若存在點，使垂直于平面，只需，，則，，解得，此時，為的中點，故當點為的中點時，平面，①正確；對于②，當點與點重合時，平面，②錯誤；對于③，，，則，因為，則，所以點到的距離為，所以直線被球截得的弦長為，③正確；對于④，設點在上的射影為點，過直線的平面為，當直線與平面垂直時，平面截球所得截面圓的半徑最小，且半徑的最小值為，因此，半徑最小的圓的面積為，④正確.故選ACD.12．【答案】【分析】令，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式求出關于的表達式，最后利用二次函數(shù)的單調性求出函數(shù)的值域.【詳解】令，因為，，所以，，設，顯然一元二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.13．【答案】【分析】由正切函數(shù)和正弦函數(shù)的性質可知兩函數(shù)的交點關于對稱，作出圖象，結合圖象即可得出答案.【詳解】因為的對稱中心為，，的對稱中心為，，所以兩函數(shù)的交點也關于對稱，，又因為函數(shù)，的最小正周期為，作出兩函數(shù)的在的圖象，如下圖，由此可得兩函數(shù)圖象共6個交點，設這6個交點的橫坐標依次為，且，其中關于對稱，，關于對稱，，所以.故答案為：.14．【答案】【分析】由正四棱臺的對角面為是等腰梯形，求得棱臺的高，結合棱臺的體積公式，即可求解.【詳解】正四棱臺的對角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，因為，則該梯形的高，所以該棱臺的體積為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)化簡解析式，將看作整體即可求最值，即可求出a，b的值；(2)化簡g(t)，化簡不等式，參變分離k和t，得，問題等價于.【詳解】(1)，由得，，又a＞0，因此的最大值為，最小值為，解得．(2)，又，，而在上單調遞減，在上單調遞增．由不等式在上有解，得：．因此，的取值范圍是．1