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文檔簡介
陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法(二)教學(xué)實錄北師大版選修2-2科目授課時間節(jié)次--年—月—日(星期——)第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目(包括教材及章節(jié)名稱)陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法(二)教學(xué)實錄北師大版選修2-2教學(xué)內(nèi)容陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法(二)
北師大版選修2-2
本節(jié)課主要內(nèi)容包括反證法的應(yīng)用,通過實例分析和練習(xí),讓學(xué)生掌握反證法的步驟和技巧,提高邏輯推理能力。具體內(nèi)容包括反證法的定義、應(yīng)用條件、步驟和常見錯誤,以及反證法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用實例。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣,提高學(xué)生運用反證法解決問題的能力。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠理解反證法的邏輯結(jié)構(gòu),發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)推理能力,同時培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點
-明確反證法的定義和適用條件:重點講解反證法的基本概念,包括假設(shè)、推導(dǎo)矛盾和結(jié)論成立的過程,以及反證法適用的條件,如命題的否定形式是可證的。
-理解反證法的邏輯推理過程:通過具體實例,讓學(xué)生理解反證法中假設(shè)和推導(dǎo)矛盾的關(guān)系,以及如何從矛盾推出原命題的真實性。
-應(yīng)用反證法解決實際問題:通過實際問題,讓學(xué)生學(xué)會如何將反證法應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題,如證明不等式、幾何證明等。
2.教學(xué)難點
-反證法中矛盾推理的識別:難點在于識別反證法中假設(shè)的矛盾點,例如,在證明一個數(shù)不是素數(shù)時,如何從數(shù)能被其他數(shù)整除這一事實中找到矛盾。
-反證法應(yīng)用中的創(chuàng)造性思維:難點在于如何運用創(chuàng)造性思維設(shè)計反證法的證明過程,特別是在面對復(fù)雜問題時如何構(gòu)建合適的假設(shè)。
-反證法與其他證明方法的對比理解:難點在于幫助學(xué)生理解反證法與其他證明方法(如直接證明、歸納證明等)的區(qū)別和聯(lián)系,以及在何種情況下選擇使用反證法。教學(xué)資源-軟硬件資源:計算機教室、電子白板、投影儀
-課程平臺:學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)平臺
-信息化資源:反證法教學(xué)課件、相關(guān)數(shù)學(xué)問題數(shù)據(jù)庫
-教學(xué)手段:多媒體教學(xué)、案例教學(xué)、小組討論教學(xué)過程設(shè)計總用時:45分鐘
一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)(5分鐘)
1.創(chuàng)設(shè)情境:展示生活中常見的悖論問題,如“一個人不能進入房間,因為他不能同時進入和不在房間”,引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決這個問題。
2.提出問題:引導(dǎo)學(xué)生思考這個問題的解決方法是否可以用于數(shù)學(xué)證明,從而引入反證法。
3.學(xué)生討論:讓學(xué)生分組討論,嘗試用反證法解決類似問題。
二、講授新課(15分鐘)
1.反證法定義(5分鐘):介紹反證法的定義和基本步驟,通過PPT展示反證法的流程圖。
2.舉例講解(5分鐘):通過具體例子講解反證法的應(yīng)用,如證明一個數(shù)不是素數(shù)。
3.反證法步驟(5分鐘):詳細講解反證法的假設(shè)、推導(dǎo)矛盾和結(jié)論成立的步驟,強調(diào)每一步的重要性。
三、鞏固練習(xí)(15分鐘)
1.練習(xí)題展示(5分鐘):展示幾道反證法的練習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生獨立完成。
2.小組討論(5分鐘):讓學(xué)生分組討論練習(xí)題,共同探討解題思路和過程。
3.分享答案(5分鐘):各小組派代表分享解題過程和答案,教師點評和補充。
四、課堂提問(5分鐘)
1.隨機提問(3分鐘):針對練習(xí)題中的難點,隨機提問學(xué)生,檢查他們對反證法的理解和應(yīng)用。
2.知識拓展(2分鐘):提出一些反證法的拓展問題,引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。
五、師生互動環(huán)節(jié)(5分鐘)
1.創(chuàng)設(shè)問題情境:教師提出一個實際問題,如證明某個幾何圖形的性質(zhì),要求學(xué)生運用反證法進行證明。
2.學(xué)生嘗試證明:學(xué)生嘗試運用反證法解決問題,教師觀察并指導(dǎo)。
3.課堂辯論:教師與學(xué)生進行辯論,討論反證法的適用性和局限性。
六、核心素養(yǎng)能力的拓展要求(5分鐘)
1.數(shù)學(xué)抽象:引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,運用反證法進行解決。
2.數(shù)學(xué)推理:通過反證法的講解和練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。
3.數(shù)學(xué)建模:引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題,提高數(shù)學(xué)建模能力。
教學(xué)雙邊互動:
-教師在講解過程中,注重觀察學(xué)生的反應(yīng),及時調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和內(nèi)容。
-鼓勵學(xué)生積極參與討論,提出問題和觀點,增強課堂互動性。
-通過小組討論和課堂辯論,培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作能力和溝通能力。
教學(xué)過程流程環(huán)節(jié)符合實際學(xué)情,緊扣實際教學(xué)過程中需要凸顯的重難點,解決問題及核心素養(yǎng)能力的拓展要求。拓展與延伸六、拓展與延伸
1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料:
-《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》:這本書詳細介紹了數(shù)學(xué)證明的歷史、方法和技巧,對于理解反證法的歷史背景和應(yīng)用有很好的幫助。
-《數(shù)學(xué)歸納法與反證法》:通過對比歸納法和反證法,讓學(xué)生更深入地理解不同證明方法的特點和適用場景。
-《數(shù)學(xué)悖論與反證法》:探討了數(shù)學(xué)中的一些著名悖論,以及如何使用反證法解決這些問題,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)探索的興趣。
2.鼓勵學(xué)生進行課后自主學(xué)習(xí)和探究:
-學(xué)生可以嘗試閱讀上述拓展閱讀材料,進一步了解反證法的歷史和發(fā)展。
-讓學(xué)生嘗試解決一些涉及反證法的數(shù)學(xué)問題,如證明自然數(shù)集合中不存在最大的素數(shù)。
-鼓勵學(xué)生思考反證法在其他學(xué)科中的應(yīng)用,例如在物理學(xué)中的假設(shè)檢驗或邏輯學(xué)中的論證分析。
-設(shè)計一些開放性問題,如“如何將反證法應(yīng)用于解決實際問題?”或“反證法在數(shù)學(xué)證明中的優(yōu)勢和局限性”,引導(dǎo)學(xué)生進行深入思考。
-學(xué)生可以組成學(xué)習(xí)小組,共同探討反證法的應(yīng)用,分享各自的解題思路和經(jīng)驗。
-鼓勵學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或研討會,將反證法的知識應(yīng)用于實際競賽中,提升解題能力和競爭意識。板書設(shè)計①反證法定義
-反證法:假設(shè)命題的否定成立,通過推導(dǎo)出矛盾,證明原命題成立的方法。
-假設(shè):假設(shè)原命題的否定成立。
-推導(dǎo)矛盾:從假設(shè)出發(fā),通過邏輯推理得出矛盾。
-結(jié)論成立:由于假設(shè)導(dǎo)致矛盾,原命題的否定不成立,因此原命題成立。
②反證法步驟
-步驟一:假設(shè)原命題的否定成立。
-步驟二:從假設(shè)出發(fā),進行邏輯推理。
-步驟三:推導(dǎo)出矛盾。
-步驟四:得出結(jié)論,原命題成立。
③反證法應(yīng)用
-應(yīng)用條件:命題的否定形式是可證的。
-應(yīng)用實例:證明一個數(shù)不是素數(shù)、證明幾何圖形的性質(zhì)等。
-注意事項:反證法適用于可證的反面,需謹慎使用。重點題型整理1.題型一:證明一個數(shù)不是素數(shù)
-題目:證明27不是素數(shù)。
-解答思路:假設(shè)27是素數(shù),那么它只能被1和自身整除。但是,27可以被3整除(27÷3=9),這與假設(shè)矛盾,因此27不是素數(shù)。
2.題型二:證明一個數(shù)是素數(shù)
-題目:證明37是素數(shù)。
-解答思路:假設(shè)37不是素數(shù),那么它有一個因子p,其中1<p<37。由于37是奇數(shù),p也必須是奇數(shù)。但是,如果p是37的因子,那么p的平方必然是37的倍數(shù),這意味著37可以表示為兩個奇數(shù)的乘積,這與37是素數(shù)的定義矛盾。因此,37是素數(shù)。
3.題型三:證明一個不等式
-題目:證明對于所有正整數(shù)n,n^2+n+41是素數(shù)。
-解答思路:假設(shè)存在一個正整數(shù)n,使得n^2+n+41不是素數(shù)。那么它必然有一個因子p,其中1<p<n^2+n+41。由于n^2+n+41是一個線性表達式,我們可以嘗試找到一個整數(shù)k,使得p=k(n+1)。然后,通過分析p的可能值,我們可以發(fā)現(xiàn)p必然是41的倍數(shù),這與p<n^2+n+41矛盾。因此,n^2+n+41對于所有正整數(shù)n都是素數(shù)。
4.題型四:證明一個幾何性質(zhì)
-題目:在三角形ABC中,若AB=AC,證明角BAC是直角。
-解答思路:假設(shè)角BAC不是直角,那么它必然是銳角或鈍角。如果角BAC是銳角,那么角ABC和角ACB都是銳角,這意味著三角形ABC的內(nèi)角和小于180度,與三角形內(nèi)角和定理矛盾。如果角BAC是鈍角,那么角ABC和角ACB都是銳角,但這樣會導(dǎo)致角ABC和角ACB的和小于90度,同樣與三角形內(nèi)角和定理矛盾。因此,角BAC必須是直角。
5.題型五:證明一個組合數(shù)學(xué)問題
-題目:在5個不同的數(shù)字中,任意取3個數(shù)字組成一個三位數(shù),證明至少有兩個數(shù)位上的數(shù)字是相同的。
-解答思路:假設(shè)取出的三個數(shù)字各不相同,那么它們可以組成的三位數(shù)共有3!=6種排列。但是,由于只有5個不同的數(shù)字,無法組成6個不同的三位數(shù),至少有兩個數(shù)位上的數(shù)字是相同的,這與假設(shè)矛盾。因此,至少有兩個數(shù)位上的數(shù)字是相同的。反思改進措施反思改進措施(一)教學(xué)特色創(chuàng)新
1.案例教學(xué)法的運用:在講解反證法時,我嘗試通過具體的數(shù)學(xué)案例來引導(dǎo)學(xué)生理解反證法的應(yīng)用,這種教學(xué)方法能夠讓學(xué)生在實際問題中體會反證法的價值。
2.小組討論與協(xié)作學(xué)習(xí):我鼓勵學(xué)生在小組內(nèi)討論反證法的應(yīng)用,這種協(xié)作學(xué)習(xí)的方式不僅提高了學(xué)生的參與度,也培養(yǎng)了他們的團隊協(xié)作能力。
反思改進措施(二)存在主要問題
1.學(xué)生對反證法的理解不夠深入:有些學(xué)生在應(yīng)用反證法時,往往只是機械地套用步驟,而沒有真正理解反證法的邏輯思維過程。
2.練習(xí)題的難度分布不均:我發(fā)現(xiàn)部分練習(xí)題對學(xué)生來說過于簡單,而另一部分則過于復(fù)雜,沒有很好地滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。
3.課堂互動不足:在課堂提問環(huán)節(jié),學(xué)生的參與度不高,可能是由于學(xué)生對問題的興趣不足或者是課堂氛圍不夠活躍。
反思改進措施(三)
1.深化反證法的教學(xué):為了讓學(xué)生更深入地理解反證法,我計劃在課堂上增加對反證法邏輯推理過程的講解,并通過更多實例來幫助學(xué)生理解。
2.優(yōu)化練習(xí)題設(shè)計:我將重新設(shè)計練習(xí)
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