陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法（二）教學實錄北師大版選修2-2科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法（二）教學實錄北師大版選修2-2教學內容陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法（二）

北師大版選修2-2

本節課主要內容包括反證法的應用，通過實例分析和練習，讓學生掌握反證法的步驟和技巧，提高邏輯推理能力。具體內容包括反證法的定義、應用條件、步驟和常見錯誤，以及反證法在解決數學問題中的應用實例。核心素養目標培養學生邏輯推理能力和嚴謹的數學思維習慣，提高學生運用反證法解決問題的能力。通過本節課的學習，學生能夠理解反證法的邏輯結構，發展數學抽象和數學推理能力，同時培養數學建模和數學應用意識。教學難點與重點1.教學重點

-明確反證法的定義和適用條件：重點講解反證法的基本概念，包括假設、推導矛盾和結論成立的過程，以及反證法適用的條件，如命題的否定形式是可證的。

-理解反證法的邏輯推理過程：通過具體實例，讓學生理解反證法中假設和推導矛盾的關系，以及如何從矛盾推出原命題的真實性。

-應用反證法解決實際問題：通過實際問題，讓學生學會如何將反證法應用于解決數學問題，如證明不等式、幾何證明等。

2.教學難點

-反證法中矛盾推理的識別：難點在于識別反證法中假設的矛盾點，例如，在證明一個數不是素數時，如何從數能被其他數整除這一事實中找到矛盾。

-反證法應用中的創造性思維：難點在于如何運用創造性思維設計反證法的證明過程，特別是在面對復雜問題時如何構建合適的假設。

-反證法與其他證明方法的對比理解：難點在于幫助學生理解反證法與其他證明方法（如直接證明、歸納證明等）的區別和聯系，以及在何種情況下選擇使用反證法。教學資源-軟硬件資源：計算機教室、電子白板、投影儀

-課程平臺：學校數學教學平臺

-信息化資源：反證法教學課件、相關數學問題數據庫

-教學手段：多媒體教學、案例教學、小組討論教學過程設計總用時：45分鐘

一、導入環節（5分鐘）

1.創設情境：展示生活中常見的悖論問題，如“一個人不能進入房間，因為他不能同時進入和不在房間”，引導學生思考如何解決這個問題。

2.提出問題：引導學生思考這個問題的解決方法是否可以用于數學證明，從而引入反證法。

3.學生討論：讓學生分組討論，嘗試用反證法解決類似問題。

二、講授新課（15分鐘）

1.反證法定義（5分鐘）：介紹反證法的定義和基本步驟，通過PPT展示反證法的流程圖。

2.舉例講解（5分鐘）：通過具體例子講解反證法的應用，如證明一個數不是素數。

3.反證法步驟（5分鐘）：詳細講解反證法的假設、推導矛盾和結論成立的步驟，強調每一步的重要性。

三、鞏固練習（15分鐘）

1.練習題展示（5分鐘）：展示幾道反證法的練習題，引導學生獨立完成。

2.小組討論（5分鐘）：讓學生分組討論練習題，共同探討解題思路和過程。

3.分享答案（5分鐘）：各小組派代表分享解題過程和答案，教師點評和補充。

四、課堂提問（5分鐘）

1.隨機提問（3分鐘）：針對練習題中的難點，隨機提問學生，檢查他們對反證法的理解和應用。

2.知識拓展（2分鐘）：提出一些反證法的拓展問題，引導學生思考反證法在其他數學領域的應用。

五、師生互動環節（5分鐘）

1.創設問題情境：教師提出一個實際問題，如證明某個幾何圖形的性質，要求學生運用反證法進行證明。

2.學生嘗試證明：學生嘗試運用反證法解決問題，教師觀察并指導。

3.課堂辯論：教師與學生進行辯論，討論反證法的適用性和局限性。

六、核心素養能力的拓展要求（5分鐘）

1.數學抽象：引導學生將實際問題轉化為數學問題，運用反證法進行解決。

2.數學推理：通過反證法的講解和練習，培養學生的邏輯推理能力。

3.數學建模：引導學生學會將數學知識應用于實際問題，提高數學建模能力。

教學雙邊互動：

-教師在講解過程中，注重觀察學生的反應，及時調整教學節奏和內容。

-鼓勵學生積極參與討論，提出問題和觀點，增強課堂互動性。

-通過小組討論和課堂辯論，培養學生的團隊合作能力和溝通能力。

教學過程流程環節符合實際學情，緊扣實際教學過程中需要凸顯的重難點，解決問題及核心素養能力的拓展要求。拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節課內容相關的拓展閱讀材料：

-《數學證明的藝術》：這本書詳細介紹了數學證明的歷史、方法和技巧，對于理解反證法的歷史背景和應用有很好的幫助。

-《數學歸納法與反證法》：通過對比歸納法和反證法，讓學生更深入地理解不同證明方法的特點和適用場景。

-《數學悖論與反證法》：探討了數學中的一些著名悖論，以及如何使用反證法解決這些問題，激發學生對數學探索的興趣。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-學生可以嘗試閱讀上述拓展閱讀材料，進一步了解反證法的歷史和發展。

-讓學生嘗試解決一些涉及反證法的數學問題，如證明自然數集合中不存在最大的素數。

-鼓勵學生思考反證法在其他學科中的應用，例如在物理學中的假設檢驗或邏輯學中的論證分析。

-設計一些開放性問題，如“如何將反證法應用于解決實際問題？”或“反證法在數學證明中的優勢和局限性”，引導學生進行深入思考。

-學生可以組成學習小組，共同探討反證法的應用，分享各自的解題思路和經驗。

-鼓勵學生參與數學競賽或研討會，將反證法的知識應用于實際競賽中，提升解題能力和競爭意識。板書設計①反證法定義

-反證法：假設命題的否定成立，通過推導出矛盾，證明原命題成立的方法。

-假設：假設原命題的否定成立。

-推導矛盾：從假設出發，通過邏輯推理得出矛盾。

-結論成立：由于假設導致矛盾，原命題的否定不成立，因此原命題成立。

②反證法步驟

-步驟一：假設原命題的否定成立。

-步驟二：從假設出發，進行邏輯推理。

-步驟三：推導出矛盾。

-步驟四：得出結論，原命題成立。

③反證法應用

-應用條件：命題的否定形式是可證的。

-應用實例：證明一個數不是素數、證明幾何圖形的性質等。

-注意事項：反證法適用于可證的反面，需謹慎使用。重點題型整理1.題型一：證明一個數不是素數

-題目：證明27不是素數。

-解答思路：假設27是素數，那么它只能被1和自身整除。但是，27可以被3整除（27÷3=9），這與假設矛盾，因此27不是素數。

2.題型二：證明一個數是素數

-題目：證明37是素數。

-解答思路：假設37不是素數，那么它有一個因子p，其中1<p<37。由于37是奇數，p也必須是奇數。但是，如果p是37的因子，那么p的平方必然是37的倍數，這意味著37可以表示為兩個奇數的乘積，這與37是素數的定義矛盾。因此，37是素數。

3.題型三：證明一個不等式

-題目：證明對于所有正整數n，n^2+n+41是素數。

-解答思路：假設存在一個正整數n，使得n^2+n+41不是素數。那么它必然有一個因子p，其中1<p<n^2+n+41。由于n^2+n+41是一個線性表達式，我們可以嘗試找到一個整數k，使得p=k(n+1)。然后，通過分析p的可能值，我們可以發現p必然是41的倍數，這與p<n^2+n+41矛盾。因此，n^2+n+41對于所有正整數n都是素數。

4.題型四：證明一個幾何性質

-題目：在三角形ABC中，若AB=AC，證明角BAC是直角。

-解答思路：假設角BAC不是直角，那么它必然是銳角或鈍角。如果角BAC是銳角，那么角ABC和角ACB都是銳角，這意味著三角形ABC的內角和小于180度，與三角形內角和定理矛盾。如果角BAC是鈍角，那么角ABC和角ACB都是銳角，但這樣會導致角ABC和角ACB的和小于90度，同樣與三角形內角和定理矛盾。因此，角BAC必須是直角。

5.題型五：證明一個組合數學問題

-題目：在5個不同的數字中，任意取3個數字組成一個三位數，證明至少有兩個數位上的數字是相同的。

-解答思路：假設取出的三個數字各不相同，那么它們可以組成的三位數共有3!=6種排列。但是，由于只有5個不同的數字，無法組成6個不同的三位數，至少有兩個數位上的數字是相同的，這與假設矛盾。因此，至少有兩個數位上的數字是相同的。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.案例教學法的運用：在講解反證法時，我嘗試通過具體的數學案例來引導學生理解反證法的應用，這種教學方法能夠讓學生在實際問題中體會反證法的價值。

2.小組討論與協作學習：我鼓勵學生在小組內討論反證法的應用，這種協作學習的方式不僅提高了學生的參與度，也培養了他們的團隊協作能力。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對反證法的理解不夠深入：有些學生在應用反證法時，往往只是機械地套用步驟，而沒有真正理解反證法的邏輯思維過程。

2.練習題的難度分布不均：我發現部分練習題對學生來說過于簡單，而另一部分則過于復雜，沒有很好地滿足不同層次學生的學習需求。

3.課堂互動不足：在課堂提問環節，學生的參與度不高，可能是由于學生對問題的興趣不足或者是課堂氛圍不夠活躍。

反思改進措施（三）

1.深化反證法的教學：為了讓學生更深入地理解反證法，我計劃在課堂上增加對反證法邏輯推理過程的講解，并通過更多實例來幫助學生理解。

2.優化練習題設計：我將重新設計練習