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文檔簡介
陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法(二)教學實錄北師大版選修2-2科目授課時間節次--年—月—日(星期——)第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目(包括教材及章節名稱)陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法(二)教學實錄北師大版選修2-2教學內容陜西省石泉縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法(二)
北師大版選修2-2
本節課主要內容包括反證法的應用,通過實例分析和練習,讓學生掌握反證法的步驟和技巧,提高邏輯推理能力。具體內容包括反證法的定義、應用條件、步驟和常見錯誤,以及反證法在解決數學問題中的應用實例。核心素養目標培養學生邏輯推理能力和嚴謹的數學思維習慣,提高學生運用反證法解決問題的能力。通過本節課的學習,學生能夠理解反證法的邏輯結構,發展數學抽象和數學推理能力,同時培養數學建模和數學應用意識。教學難點與重點1.教學重點
-明確反證法的定義和適用條件:重點講解反證法的基本概念,包括假設、推導矛盾和結論成立的過程,以及反證法適用的條件,如命題的否定形式是可證的。
-理解反證法的邏輯推理過程:通過具體實例,讓學生理解反證法中假設和推導矛盾的關系,以及如何從矛盾推出原命題的真實性。
-應用反證法解決實際問題:通過實際問題,讓學生學會如何將反證法應用于解決數學問題,如證明不等式、幾何證明等。
2.教學難點
-反證法中矛盾推理的識別:難點在于識別反證法中假設的矛盾點,例如,在證明一個數不是素數時,如何從數能被其他數整除這一事實中找到矛盾。
-反證法應用中的創造性思維:難點在于如何運用創造性思維設計反證法的證明過程,特別是在面對復雜問題時如何構建合適的假設。
-反證法與其他證明方法的對比理解:難點在于幫助學生理解反證法與其他證明方法(如直接證明、歸納證明等)的區別和聯系,以及在何種情況下選擇使用反證法。教學資源-軟硬件資源:計算機教室、電子白板、投影儀
-課程平臺:學校數學教學平臺
-信息化資源:反證法教學課件、相關數學問題數據庫
-教學手段:多媒體教學、案例教學、小組討論教學過程設計總用時:45分鐘
一、導入環節(5分鐘)
1.創設情境:展示生活中常見的悖論問題,如“一個人不能進入房間,因為他不能同時進入和不在房間”,引導學生思考如何解決這個問題。
2.提出問題:引導學生思考這個問題的解決方法是否可以用于數學證明,從而引入反證法。
3.學生討論:讓學生分組討論,嘗試用反證法解決類似問題。
二、講授新課(15分鐘)
1.反證法定義(5分鐘):介紹反證法的定義和基本步驟,通過PPT展示反證法的流程圖。
2.舉例講解(5分鐘):通過具體例子講解反證法的應用,如證明一個數不是素數。
3.反證法步驟(5分鐘):詳細講解反證法的假設、推導矛盾和結論成立的步驟,強調每一步的重要性。
三、鞏固練習(15分鐘)
1.練習題展示(5分鐘):展示幾道反證法的練習題,引導學生獨立完成。
2.小組討論(5分鐘):讓學生分組討論練習題,共同探討解題思路和過程。
3.分享答案(5分鐘):各小組派代表分享解題過程和答案,教師點評和補充。
四、課堂提問(5分鐘)
1.隨機提問(3分鐘):針對練習題中的難點,隨機提問學生,檢查他們對反證法的理解和應用。
2.知識拓展(2分鐘):提出一些反證法的拓展問題,引導學生思考反證法在其他數學領域的應用。
五、師生互動環節(5分鐘)
1.創設問題情境:教師提出一個實際問題,如證明某個幾何圖形的性質,要求學生運用反證法進行證明。
2.學生嘗試證明:學生嘗試運用反證法解決問題,教師觀察并指導。
3.課堂辯論:教師與學生進行辯論,討論反證法的適用性和局限性。
六、核心素養能力的拓展要求(5分鐘)
1.數學抽象:引導學生將實際問題轉化為數學問題,運用反證法進行解決。
2.數學推理:通過反證法的講解和練習,培養學生的邏輯推理能力。
3.數學建模:引導學生學會將數學知識應用于實際問題,提高數學建模能力。
教學雙邊互動:
-教師在講解過程中,注重觀察學生的反應,及時調整教學節奏和內容。
-鼓勵學生積極參與討論,提出問題和觀點,增強課堂互動性。
-通過小組討論和課堂辯論,培養學生的團隊合作能力和溝通能力。
教學過程流程環節符合實際學情,緊扣實際教學過程中需要凸顯的重難點,解決問題及核心素養能力的拓展要求。拓展與延伸六、拓展與延伸
1.提供與本節課內容相關的拓展閱讀材料:
-《數學證明的藝術》:這本書詳細介紹了數學證明的歷史、方法和技巧,對于理解反證法的歷史背景和應用有很好的幫助。
-《數學歸納法與反證法》:通過對比歸納法和反證法,讓學生更深入地理解不同證明方法的特點和適用場景。
-《數學悖論與反證法》:探討了數學中的一些著名悖論,以及如何使用反證法解決這些問題,激發學生對數學探索的興趣。
2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究:
-學生可以嘗試閱讀上述拓展閱讀材料,進一步了解反證法的歷史和發展。
-讓學生嘗試解決一些涉及反證法的數學問題,如證明自然數集合中不存在最大的素數。
-鼓勵學生思考反證法在其他學科中的應用,例如在物理學中的假設檢驗或邏輯學中的論證分析。
-設計一些開放性問題,如“如何將反證法應用于解決實際問題?”或“反證法在數學證明中的優勢和局限性”,引導學生進行深入思考。
-學生可以組成學習小組,共同探討反證法的應用,分享各自的解題思路和經驗。
-鼓勵學生參與數學競賽或研討會,將反證法的知識應用于實際競賽中,提升解題能力和競爭意識。板書設計①反證法定義
-反證法:假設命題的否定成立,通過推導出矛盾,證明原命題成立的方法。
-假設:假設原命題的否定成立。
-推導矛盾:從假設出發,通過邏輯推理得出矛盾。
-結論成立:由于假設導致矛盾,原命題的否定不成立,因此原命題成立。
②反證法步驟
-步驟一:假設原命題的否定成立。
-步驟二:從假設出發,進行邏輯推理。
-步驟三:推導出矛盾。
-步驟四:得出結論,原命題成立。
③反證法應用
-應用條件:命題的否定形式是可證的。
-應用實例:證明一個數不是素數、證明幾何圖形的性質等。
-注意事項:反證法適用于可證的反面,需謹慎使用。重點題型整理1.題型一:證明一個數不是素數
-題目:證明27不是素數。
-解答思路:假設27是素數,那么它只能被1和自身整除。但是,27可以被3整除(27÷3=9),這與假設矛盾,因此27不是素數。
2.題型二:證明一個數是素數
-題目:證明37是素數。
-解答思路:假設37不是素數,那么它有一個因子p,其中1<p<37。由于37是奇數,p也必須是奇數。但是,如果p是37的因子,那么p的平方必然是37的倍數,這意味著37可以表示為兩個奇數的乘積,這與37是素數的定義矛盾。因此,37是素數。
3.題型三:證明一個不等式
-題目:證明對于所有正整數n,n^2+n+41是素數。
-解答思路:假設存在一個正整數n,使得n^2+n+41不是素數。那么它必然有一個因子p,其中1<p<n^2+n+41。由于n^2+n+41是一個線性表達式,我們可以嘗試找到一個整數k,使得p=k(n+1)。然后,通過分析p的可能值,我們可以發現p必然是41的倍數,這與p<n^2+n+41矛盾。因此,n^2+n+41對于所有正整數n都是素數。
4.題型四:證明一個幾何性質
-題目:在三角形ABC中,若AB=AC,證明角BAC是直角。
-解答思路:假設角BAC不是直角,那么它必然是銳角或鈍角。如果角BAC是銳角,那么角ABC和角ACB都是銳角,這意味著三角形ABC的內角和小于180度,與三角形內角和定理矛盾。如果角BAC是鈍角,那么角ABC和角ACB都是銳角,但這樣會導致角ABC和角ACB的和小于90度,同樣與三角形內角和定理矛盾。因此,角BAC必須是直角。
5.題型五:證明一個組合數學問題
-題目:在5個不同的數字中,任意取3個數字組成一個三位數,證明至少有兩個數位上的數字是相同的。
-解答思路:假設取出的三個數字各不相同,那么它們可以組成的三位數共有3!=6種排列。但是,由于只有5個不同的數字,無法組成6個不同的三位數,至少有兩個數位上的數字是相同的,這與假設矛盾。因此,至少有兩個數位上的數字是相同的。反思改進措施反思改進措施(一)教學特色創新
1.案例教學法的運用:在講解反證法時,我嘗試通過具體的數學案例來引導學生理解反證法的應用,這種教學方法能夠讓學生在實際問題中體會反證法的價值。
2.小組討論與協作學習:我鼓勵學生在小組內討論反證法的應用,這種協作學習的方式不僅提高了學生的參與度,也培養了他們的團隊協作能力。
反思改進措施(二)存在主要問題
1.學生對反證法的理解不夠深入:有些學生在應用反證法時,往往只是機械地套用步驟,而沒有真正理解反證法的邏輯思維過程。
2.練習題的難度分布不均:我發現部分練習題對學生來說過于簡單,而另一部分則過于復雜,沒有很好地滿足不同層次學生的學習需求。
3.課堂互動不足:在課堂提問環節,學生的參與度不高,可能是由于學生對問題的興趣不足或者是課堂氛圍不夠活躍。
反思改進措施(三)
1.深化反證法的教學:為了讓學生更深入地理解反證法,我計劃在課堂上增加對反證法邏輯推理過程的講解,并通過更多實例來幫助學生理解。
2.優化練習題設計:我將重新設計練習
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