陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（二）教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（二）教學(xué)實(shí)錄北師大版選修2-2教學(xué)內(nèi)容陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（二）

北師大版選修2-2

本節(jié)課主要內(nèi)容包括反證法的應(yīng)用，通過實(shí)例分析和練習(xí)，讓學(xué)生掌握反證法的步驟和技巧，提高邏輯推理能力。具體內(nèi)容包括反證法的定義、應(yīng)用條件、步驟和常見錯(cuò)誤，以及反證法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用實(shí)例。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用反證法解決問題的能力。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解反證法的邏輯結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)推理能力，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-明確反證法的定義和適用條件：重點(diǎn)講解反證法的基本概念，包括假設(shè)、推導(dǎo)矛盾和結(jié)論成立的過程，以及反證法適用的條件，如命題的否定形式是可證的。

-理解反證法的邏輯推理過程：通過具體實(shí)例，讓學(xué)生理解反證法中假設(shè)和推導(dǎo)矛盾的關(guān)系，以及如何從矛盾推出原命題的真實(shí)性。

-應(yīng)用反證法解決實(shí)際問題：通過實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何將反證法應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題，如證明不等式、幾何證明等。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-反證法中矛盾推理的識(shí)別：難點(diǎn)在于識(shí)別反證法中假設(shè)的矛盾點(diǎn)，例如，在證明一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)時(shí)，如何從數(shù)能被其他數(shù)整除這一事實(shí)中找到矛盾。

-反證法應(yīng)用中的創(chuàng)造性思維：難點(diǎn)在于如何運(yùn)用創(chuàng)造性思維設(shè)計(jì)反證法的證明過程，特別是在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)如何構(gòu)建合適的假設(shè)。

-反證法與其他證明方法的對(duì)比理解：難點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解反證法與其他證明方法（如直接證明、歸納證明等）的區(qū)別和聯(lián)系，以及在何種情況下選擇使用反證法。教學(xué)資源-軟硬件資源：計(jì)算機(jī)教室、電子白板、投影儀

-課程平臺(tái)：學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)

-信息化資源：反證法教學(xué)課件、相關(guān)數(shù)學(xué)問題數(shù)據(jù)庫

-教學(xué)手段：多媒體教學(xué)、案例教學(xué)、小組討論教學(xué)過程設(shè)計(jì)總用時(shí)：45分鐘

一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中常見的悖論問題，如“一個(gè)人不能進(jìn)入房間，因?yàn)樗荒芡瑫r(shí)進(jìn)入和不在房間”，引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決這個(gè)問題。

2.提出問題：引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)問題的解決方法是否可以用于數(shù)學(xué)證明，從而引入反證法。

3.學(xué)生討論：讓學(xué)生分組討論，嘗試用反證法解決類似問題。

二、講授新課（15分鐘）

1.反證法定義（5分鐘）：介紹反證法的定義和基本步驟，通過PPT展示反證法的流程圖。

2.舉例講解（5分鐘）：通過具體例子講解反證法的應(yīng)用，如證明一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)。

3.反證法步驟（5分鐘）：詳細(xì)講解反證法的假設(shè)、推導(dǎo)矛盾和結(jié)論成立的步驟，強(qiáng)調(diào)每一步的重要性。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.練習(xí)題展示（5分鐘）：展示幾道反證法的練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成。

2.小組討論（5分鐘）：讓學(xué)生分組討論練習(xí)題，共同探討解題思路和過程。

3.分享答案（5分鐘）：各小組派代表分享解題過程和答案，教師點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充。

四、課堂提問（5分鐘）

1.隨機(jī)提問（3分鐘）：針對(duì)練習(xí)題中的難點(diǎn)，隨機(jī)提問學(xué)生，檢查他們對(duì)反證法的理解和應(yīng)用。

2.知識(shí)拓展（2分鐘）：提出一些反證法的拓展問題，引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)問題情境：教師提出一個(gè)實(shí)際問題，如證明某個(gè)幾何圖形的性質(zhì)，要求學(xué)生運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。

2.學(xué)生嘗試證明：學(xué)生嘗試運(yùn)用反證法解決問題，教師觀察并指導(dǎo)。

3.課堂辯論：教師與學(xué)生進(jìn)行辯論，討論反證法的適用性和局限性。

六、核心素養(yǎng)能力的拓展要求（5分鐘）

1.數(shù)學(xué)抽象：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用反證法進(jìn)行解決。

2.數(shù)學(xué)推理：通過反證法的講解和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

3.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)建模能力。

教學(xué)雙邊互動(dòng)：

-教師在講解過程中，注重觀察學(xué)生的反應(yīng)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏和內(nèi)容。

-鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論，提出問題和觀點(diǎn)，增強(qiáng)課堂互動(dòng)性。

-通過小組討論和課堂辯論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通能力。

教學(xué)過程流程環(huán)節(jié)符合實(shí)際學(xué)情，緊扣實(shí)際教學(xué)過程中需要凸顯的重難點(diǎn)，解決問題及核心素養(yǎng)能力的拓展要求。拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)證明的藝術(shù)》：這本書詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)證明的歷史、方法和技巧，對(duì)于理解反證法的歷史背景和應(yīng)用有很好的幫助。

-《數(shù)學(xué)歸納法與反證法》：通過對(duì)比歸納法和反證法，讓學(xué)生更深入地理解不同證明方法的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景。

-《數(shù)學(xué)悖論與反證法》：探討了數(shù)學(xué)中的一些著名悖論，以及如何使用反證法解決這些問題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探索的興趣。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試閱讀上述拓展閱讀材料，進(jìn)一步了解反證法的歷史和發(fā)展。

-讓學(xué)生嘗試解決一些涉及反證法的數(shù)學(xué)問題，如證明自然數(shù)集合中不存在最大的素?cái)?shù)。

-鼓勵(lì)學(xué)生思考反證法在其他學(xué)科中的應(yīng)用，例如在物理學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)或邏輯學(xué)中的論證分析。

-設(shè)計(jì)一些開放性問題，如“如何將反證法應(yīng)用于解決實(shí)際問題？”或“反證法在數(shù)學(xué)證明中的優(yōu)勢(shì)和局限性”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考。

-學(xué)生可以組成學(xué)習(xí)小組，共同探討反證法的應(yīng)用，分享各自的解題思路和經(jīng)驗(yàn)。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研討會(huì)，將反證法的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際競(jìng)賽中，提升解題能力和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。板書設(shè)計(jì)①反證法定義

-反證法：假設(shè)命題的否定成立，通過推導(dǎo)出矛盾，證明原命題成立的方法。

-假設(shè)：假設(shè)原命題的否定成立。

-推導(dǎo)矛盾：從假設(shè)出發(fā)，通過邏輯推理得出矛盾。

-結(jié)論成立：由于假設(shè)導(dǎo)致矛盾，原命題的否定不成立，因此原命題成立。

②反證法步驟

-步驟一：假設(shè)原命題的否定成立。

-步驟二：從假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理。

-步驟三：推導(dǎo)出矛盾。

-步驟四：得出結(jié)論，原命題成立。

③反證法應(yīng)用

-應(yīng)用條件：命題的否定形式是可證的。

-應(yīng)用實(shí)例：證明一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)、證明幾何圖形的性質(zhì)等。

-注意事項(xiàng)：反證法適用于可證的反面，需謹(jǐn)慎使用。重點(diǎn)題型整理1.題型一：證明一個(gè)數(shù)不是素?cái)?shù)

-題目：證明27不是素?cái)?shù)。

-解答思路：假設(shè)27是素?cái)?shù)，那么它只能被1和自身整除。但是，27可以被3整除（27÷3=9），這與假設(shè)矛盾，因此27不是素?cái)?shù)。

2.題型二：證明一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)

-題目：證明37是素?cái)?shù)。

-解答思路：假設(shè)37不是素?cái)?shù)，那么它有一個(gè)因子p，其中1<p<37。由于37是奇數(shù)，p也必須是奇數(shù)。但是，如果p是37的因子，那么p的平方必然是37的倍數(shù)，這意味著37可以表示為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，這與37是素?cái)?shù)的定義矛盾。因此，37是素?cái)?shù)。

3.題型三：證明一個(gè)不等式

-題目：證明對(duì)于所有正整數(shù)n，n^2+n+41是素?cái)?shù)。

-解答思路：假設(shè)存在一個(gè)正整數(shù)n，使得n^2+n+41不是素?cái)?shù)。那么它必然有一個(gè)因子p，其中1<p<n^2+n+41。由于n^2+n+41是一個(gè)線性表達(dá)式，我們可以嘗試找到一個(gè)整數(shù)k，使得p=k(n+1)。然后，通過分析p的可能值，我們可以發(fā)現(xiàn)p必然是41的倍數(shù)，這與p<n^2+n+41矛盾。因此，n^2+n+41對(duì)于所有正整數(shù)n都是素?cái)?shù)。

4.題型四：證明一個(gè)幾何性質(zhì)

-題目：在三角形ABC中，若AB=AC，證明角BAC是直角。

-解答思路：假設(shè)角BAC不是直角，那么它必然是銳角或鈍角。如果角BAC是銳角，那么角ABC和角ACB都是銳角，這意味著三角形ABC的內(nèi)角和小于180度，與三角形內(nèi)角和定理矛盾。如果角BAC是鈍角，那么角ABC和角ACB都是銳角，但這樣會(huì)導(dǎo)致角ABC和角ACB的和小于90度，同樣與三角形內(nèi)角和定理矛盾。因此，角BAC必須是直角。

5.題型五：證明一個(gè)組合數(shù)學(xué)問題

-題目：在5個(gè)不同的數(shù)字中，任意取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，證明至少有兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是相同的。

-解答思路：假設(shè)取出的三個(gè)數(shù)字各不相同，那么它們可以組成的三位數(shù)共有3!=6種排列。但是，由于只有5個(gè)不同的數(shù)字，無法組成6個(gè)不同的三位數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是相同的，這與假設(shè)矛盾。因此，至少有兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是相同的。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法的運(yùn)用：在講解反證法時(shí)，我嘗試通過具體的數(shù)學(xué)案例來引導(dǎo)學(xué)生理解反證法的應(yīng)用，這種教學(xué)方法能夠讓學(xué)生在實(shí)際問題中體會(huì)反證法的價(jià)值。

2.小組討論與協(xié)作學(xué)習(xí)：我鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)討論反證法的應(yīng)用，這種協(xié)作學(xué)習(xí)的方式不僅提高了學(xué)生的參與度，也培養(yǎng)了他們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生對(duì)反證法的理解不夠深入：有些學(xué)生在應(yīng)用反證法時(shí)，往往只是機(jī)械地套用步驟，而沒有真正理解反證法的邏輯思維過程。

2.練習(xí)題的難度分布不均：我發(fā)現(xiàn)部分練習(xí)題對(duì)學(xué)生來說過于簡(jiǎn)單，而另一部分則過于復(fù)雜，沒有很好地滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

3.課堂互動(dòng)不足：在課堂提問環(huán)節(jié)，學(xué)生的參與度不高，可能是由于學(xué)生對(duì)問題的興趣不足或者是課堂氛圍不夠活躍。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深化反證法的教學(xué)：為了讓學(xué)生更深入地理解反證法，我計(jì)劃在課堂上增加對(duì)反證法邏輯推理過程的講解，并通過更多實(shí)例來幫助學(xué)生理解。

2.優(yōu)化練習(xí)題設(shè)計(jì)：我將重新設(shè)計(jì)練習(xí)