平面解析幾何第八章第3講圓的方程【考綱導學】1．掌握確定圓的幾何要素．2．掌握圓的標準方程與一般方程．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．圓的定義在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓．2．確定一個圓最基本的要素是______________．3．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______為圓心，r為半徑．圓心和半徑(a，b)5．確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數法，大致步驟為：(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；(2)根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F代入標準方程或一般方程．6．點與圓的位置關系點和圓的位置關系有三種．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：______________________；(2)點在圓外：_____________________；(3)點在圓內：_____________________.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

(x0－a)2＋(y0－b)2>r2

(x0－a)2＋(y0－b)2<r2

1．(2017年福建模擬)圓x2＋y2－2x＝0的圓心坐標和半徑分別為(

)A．(1,0)，1

B．(0,1)，1C．(－1,0)，1

D．(1,0)，2【答案】A【解析】圓x2＋y2－2x＝0即

(x－1)2＋y2＝1，表示以(1,0)為圓心、半徑等于1的圓．故選A．2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是(

)A．x＋y－1＝0

B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0

D．x－y＋3＝0【答案】C【解析】要使直線平分圓，只要直線經過圓的圓心即可，圓心的坐標為(1,2)．A，B，C，D四個選項中，只有C選項中的直線經過圓心．故選C．3．(2016年長沙模擬)已知兩點P(4,0)，Q(0,2)，則以線段PQ為直徑的圓的方程是(

)A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

B．(x－2)2＋(y－1)2＝10C．(x－2)2＋(y－1)2＝5

D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝10【答案】C4．(教材習題改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________．【答案】(x－2)2＋y2＝101．求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程．2．過圓外一定點，求圓的切線，應該有兩個結果，若只求出一個結果，應該考慮切線斜率不存在的情況．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標準方程是(x－3)2＋(y－1)2＝25.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)(4)已知⊙C：x2＋y2－2x－2y＝0，則點P(3,1)在圓上．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√課堂考點突破2求圓的方程

根據下列條件，求圓的方程．(1)經過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上；(2)經過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；(3)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)．【規律方法】求圓的方程的方法：(1)方程選擇原則：求圓的方程時，如果由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要用圓心坐標列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關系，常選用一般方程．(2)求圓的方程的方法和步驟：確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟如下：①根據題意，選擇標準方程或一般方程；②根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；③解出a，b，r或D，E，F代入標準方程或一般方程．【跟蹤訓練】1．(2016年湖南一模)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為(

)A．(x－1)2＋y2＝1

B．x2＋(y＋1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1

D．(x＋1)2＋y2＝1【答案】C【解析】圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線y＝x對稱，可得圓的圓心坐標(0,1)，圓的方程為：x2＋(y－1)2＝1.故選C．與圓有關的最值問題或者范圍問題【考向分析】與圓有關的最值問題也是命題的熱點內容，它著重考查數形結合與轉化思想．常見命題角度有：(1)斜率型最值問題；(2)截距型最值問題；(3)距離型最值問題．斜率型最值問題

在例2－1的條件下，求y－x的最大值．截距型最值問題

在例2－1的條件下，求x2＋y2的最大值和最小值．距離型最值問題與圓有關的軌跡問題

已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．【解析】(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點的坐標為(2x－2,2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設PQ的中點為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.【規律方法】求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．【跟蹤訓練】2．(2017年貴溪校級測試)設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP(O為坐標原點)，求點P的軌跡．課后感悟提升33個性